Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



1. Означення функціонального рівняння і його розв’язки. Розв'язання функціонального рівняння способом заміни та утворенням системи лінійних рівнянь

Скачати 233.98 Kb.

1. Означення функціонального рівняння і його розв’язки. Розв'язання функціонального рівняння способом заміни та утворенням системи лінійних рівнянь




Скачати 233.98 Kb.
Сторінка1/3
Дата конвертації02.05.2017
Розмір233.98 Kb.
  1   2   3

Зміст

І. Вступ. .................................................................................................................. 2
ІІ. Функціональні рівняння. …………………………………………….
Функціона́льне рівня́ння (функці́йне рівня́ння) - рівняння, яке виражає зв'язок між значенням функції в одній точці з її значеннями в інших точках. Багато які з властивостей функцій можна отримати, досліджуючи функційні рівняння, яким ці функції задовільняють.
3 - 13


1. Означення функціонального рівняння і його розв’язки.

2. Розв'язання функціонального рівняння способом заміни та утворенням системи лінійних рівнянь.
Лінійне рівняння - рівняння, обидві частини якого визначаються лінійними функціями. Найпростіший випадок має вигляд


3. Задачі про існування функції при певних умовах.
Існува́ння (від екзистенція) - центральне поняття екзистенціалізму, унікальна особистісна сутність людини, що втілює в собі духовну, психоемоційну неповторність особи.


4. Розв'язання нестандартних функціональних рівнянь.
ІII. Функціональні рівняння і групи. …………………………………. 14 - 18

  1. Композиція функцій.

  2. Функціональні рівняння.

  3. Зявляються групи.

  4. Підведення підсумків.


IV. Метод підстановок. ………………………………………………….. 19 - 20
V. Графічне розв’язання функціонального рівняння f(x)= f(f(x))… 21 - 23
VI.
Підстановка - довільна функція з однієї скінченної множини в іншу: f : X → Y . Часто X = Y , якщо ж при цьому f - бієкція, то f називають перестановкою.
Гра́фіка (нім. Graphik, грец. graphikos «написаний») - вид образотворчого мистецтва, для якого характерна перевага ліній і штрихів, використання контрастів білого і чорного та менше, ніж у живописі, використання кольору.
Література …………………………………………………………………
24

I. Вступ.
Ніяке людське дослідження не може бути назване істиною, якщо воно не проходить через математичні доведення”

Леонардо да Вінчі
Головним видом математичної діяльності є розвязання проблем, тобто завдань пошукового і дослідницького характеру, а також математичний опис моделей реальних ситуацій.
Характер (термін «характер» - грецького походження, він означає «риса», «ознака», «відбиток»)- це сукупність відносно стійких індивідуально-своєрідних якостей особистості, що виявляються у поведінці, діяльності та ставленні до людей, колективу, до себе, речей, роботи і тощо.
У процесі вивчення та дослідження різноманітних явищ природи, розв’язування технічних задач тощо, доводиться розглядати не стільки змінні величини, взяті окремо, скільки зв’язок між ними, залежність однієї величини від іншої. Ці актуальні питання допомогають вирішити створення функціональних рівнянь та їх розв’язки.

Предмет дослідженняфункціональні рівняння, які повною мірою є математичною моделю опису реальних ситуацій.
Мета роботисистематизувати методи розвязування функціональних рівнянь;
Актуа́льність (від лат. actualis - справжній, теперішній, сучасний, важливий у даний момент, злободенний, назрілий) - абстрактний іменник до прикметника «актуальний». Актуальність - важливість, значимість чого-небудь на сьогодні, сучасність, злободенність.
Систематиза́ція - процес зведення розрізнених знань про предмети (явища) об'єктивної дійсності в єдину наукову систему, встановлення їхньої єдності. С. є відображенням матеріальної єдності світу і ґрунтується на вивченні суттєвих зв'язків, які об'єднують ці предмети (явища).
показати, що розв’язки функціональних рівнянь є результат ідеалізації реальних операцій над предметами та виділення їх властивостей.
Ідеалізація - творення ідеалу через виокремлення та узагальнення деяких ознак реальних явищ.

Методи дослідження:

теоретичні — вивчення та аналіз відповідної наукової літератури;

практичні — оволодіння методами розв’язування функціональних рівнянь.
Практичне значення цієї роботи полягає в тому, що надає можливість молоді розвинути науковий світогляд, поняття про математичну модель, що відображає реальну картину навколишнього світу;
Можливість - це дія, що може відбутися або ні (можливо, приїду, а, можливо, і ні). Можливість можна забезпечити чи покладатись на «авось» та якось буде. Альтернатива дає шанс, але не гарантує без відповідних дій забезпечення результату і адекватності та конструктиву діяльності.
Математи́чна моде́ль - система математичних співвідношень, які описують досліджуваний процес або явище. Математична модель має важливе значення для таких наук, як: економіка, екологія, соціологія, фізика, хімія, механіка, інформатика, біологія та ін.
Науко́ва карти́на сві́ту (одне з основоположних понять в природознавстві) - особлива форма систематизації знань, якісне узагальнення і світоглядний синтез різних наукових теорій. Будучи цілісною системою уявлень про загальні властивості і закономірності об'єктивного світу, наукова картина світу існує як складна структура, що включає в себе як складові частини загальнонаукову картину світу і картини світу окремих наук (фізична картина світу, біологічна картина світу, геологічна картина світу). Картини світу окремих наук, у свою чергу, включають в себе відповідні численні концепції - певні способи розуміння і трактування будь-яких предметів, явищ і процесів об'єктивного світу, що існують у кожній окремій науці.
Наукова публікація - це опублікований опис наукового дослідження, що містить аналіз сутності певної наукової проблеми, методи і результати її дослідження, науково обґрунтовані висновки. Завданням наукових публікацій є знайомити науковий світ з результатами досліджень окремих вчених та груп науковців.
Світ - назва планети Земля з людської точки зору, як місце заселене людськими істотами. Термін часто вживається для означення суми людського досвіду та історії, людського стану взагалі. На земній кулі проживає понад 7 мільярдів людей.


допоможе розвинути аналітично-синтетичне та графічне мислення, а також розумові дії, як аналіз, порівняння, узагальнення, абстрагування, встановлення та використання аналогій;
Узага́льнення - основний елемент логіки та міркувань людини. Узагальнення бере за основу існування множини елементів та однієї або декількох властивостей, спільних для цих елементів. Це є основою дедуктивних міркувань.
Анало́гія - (грец. αναλογια - «відповідність») - подібність, схожість у цілому відмінних предметів, явищ за певними властивостями, ознаками або відношеннями.


застосовувати мову функціональних рівнянь для узагальнення спостережень над конкретними прикладами і їх взаємозвязками.
Спостере́ження (англ. observation, рос. наблюдение) - метод наукового дослідження, що полягає в активному (систематичному, цілеспрямованому, планомірному) та навмисному сприйнятті об'єкта, в ході якого здобувається знання про зовнішні сторони, властивості й відносини досліджуваного об'єкта.


II. Функціональні рівняння
1. Означення функціонального рівняння і його розвязки.1
1. Функціональними рівняннями називаються рівняння в яких невідома функція пов'язана з відомими функціями з допомогою операції композиції.

Приклад 1. Рівняння
та
де у - незалежна змінна, будуть функціональними.
Зале́жна змі́нна - У математичному моделюванні - змінна, яка розраховується за модельним рівнянням або відповідними правилами з використанням незалежних змінних (вхідних даних). Змінна, величина якої є чутливою до змін незалежних змінних.

2. Функція f(х) називається розв'язком функціонального рівняння на множині Д, якщо вона задовольняє його для всіх значень незалежних змінних із цієї множини.
Множина́ - одне з основних понять сучасної математики. Строго воно не визначається, але може бути дано інтуїтивне визначення множини як сукупності певних і різних об'єктів довільної природи, яка розглядається як одне ціле.


Приклад 2. Розв'язком рівняння


є рівняння
Функціональними рівняннями






задають такі властивості функції, як парність, непарність і періодичність.
Пері́од (грец. περίοδος - кружний шлях, обертання, чергування) може означати: Проміжок часу, протягом якого повторюється якийсь циклічний процес: Період коливання Період обертання Горизонтальний ряд хімічних елементів, розміщених у порядку зростання їх атомних мас, що розпочинається лужним металічним елементом, та закінчується інертним газом.


Більшість функціональних рівнянь задають не одну конкретну функцію, а визначають цілий клас таких функцій.

Приклад 3. Рівнянням
може бути задана одна з функцій:
а)

б)

в)

г)

д)

3. Частинним розв'язком функціонального рівняння є функція або система функцій, що задовольняє рівняння на заданій множині.

4. Загальним розв'язком функціонального рівняння є сукупність усіх функцій, що задовольняють рівняння.
2. Розв'язання функціонального рівняння способом заміни та утворенням системи лінійних рівнянь.
1) Знайдіть функцію у = f (х) з областю визначення D, якщо виконуються такі рівності:

для
Розв'язування:

Нехай Тоді
Отже,
Маємо систему рівнянь:







Відповідь:

3.
Область визначення (старіший термін - область задавання[Джерело?]) - множина допустимих значень аргументу функції. Позначатиметься як D(y), якщо вказується область визначення функції y=f(x).
Задачі про існування функції при певних умовах.

2) Доведіть, що не існує функції, яка для всіх дійсних значень х



задовольняє нерівність і не набуває жодного значення більше ніж в одній точці

Розв'язування:

Для х = 0 маємо:

Для х = 1 маємо:



Отже, f (0) і f (1) набувають однакових значень, що суперечить умові.
Нерівність - твердження про те, що два математичні об'єкти є різними, тобто не дорівнюють один одному. Для елементів упорядкованих множин нерівність може додатково стверджувати, що один із двох елементів менший або більший від іншого.
Тому такої функції
f (х) не існує.
Відповідь: Не існує.
4. Розв'язання нестандартних функціональних рівнянь.
3) Розв'яжіть рівняння:

Розв'язування:
Замінимо х на 1- х, маємо:

Нехай , тоді



Нехай тоді
Отже, маємо систему рівнянь:







звідки




;
Перевіркою переконуємось, що знайдена функція задовольняє дане рівняння.

Відповідь:
4) Розв'язати рівняння:

Розв'язування:



Нехай Тоді



Маємо систему рівнянь:




Перевіркою переконуємось, що знайдена функція задовольняє дане рівняння.

Відповідь:
5) Відомо, що



Знайдіть усі можливі значення та
Розв'язування:
Нехай існує таке, що Тоді для х = 0 із рівності (3) маємо:



Оскільки то
якщо


Нехай .Тоді із рівності (4) маємо




Якщо, то для маємо, що g(0) = 0


Тоді з рівності (3) для маємо, що



Перевірка:

звідки дістанемо, що стала, а це суперечить умові.

6) Розв'яжіть рівняння де
Розв'язування:



Якщо існує таке, що то і тоді для х = 0
маємо:
Якщо х = 0, то маємо:

Перевірка: Якщо то маємо:


Якщо то маємо:
Тому функція не задовольняє умову.
Відповідь:
7) Розв'яжіть рівняння:

Розв'язування



Якщо існує таке, що то


Якщо то розв'язок рівняння.


Якщо то


Перевірка:



Відповідь:
8) Розв'яжіть рівняння:


Розв'язування

Нехай Тоді

Отже,

Нехай Тоді

Нехай Тоді




Маємо систему рівнянь:



звідки

Відповідь:

9) Розв'яжіть рівняння: де

Розв'язування

Нехай Тоді

Маємо систему рівнянь:





звідки




З першого рівняння системи для х = 2 маємо:

Для х = -1 маємо:
  1   2   3


Скачати 233.98 Kb.