Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



3. символьні обчислення

Скачати 139.54 Kb.

3. символьні обчислення




Скачати 139.54 Kb.
Дата конвертації03.06.2017
Розмір139.54 Kb.

3. СИМВОЛЬНІ ОБЧИСЛЕННЯ


Системи комп'ютерної алгебри забезпечуються спеціальним процесором для виконання аналітичних (символьних) обчислень.
Аналітика (від грец. άναλυτικά ) - основа інтелектуальної, логіко-мисленевої діяльності, спрямованої на рішення практичних завдань. У її основі лежить не стільки принцип констатації фактів, скільки принцип «випередження подій», що дозволяє організації або індивідові прогнозувати майбутній стан об'єкту аналізу.
Його основою є ядро, що зберігає всю сукупність формул і формульних перетворень, за допомогою яких робляться аналітичні обчислення. Чим більше цих формул у ядрі, тим більш надійна робота символьного процесора і тем імовірніше, що поставлена задача буде розв’язана , якщо такий розв’язок існує в принципі (що буває далеко не завжди).

Ядро символьного процесора системи MathCAD — трохи спрощений варіант ядра відомої системи символьної математики Maple V фірми Waterloo Maple Software, у якої фірма MathSoft (розроблювач MathCAD) придбала ліцензію на його застосування, завдяки чому MathCAD стала (починаючи з версії 3.0) системою символьної математики. Символьні обчислення виконуються настільки ж просто (для користувача), як обчислення квадрата х.

Застосунок, застосовна програма або прикладна програма (англ. application, application software, app) - користувацька комп'ютерна програма, що дає змогу вирішувати конкретні прикладні задачі користувача.
Кори́стува́ч - той, хто користується чим-небудь - майном, землею, комп'ютером тощо.
Символьні обчислення - це перетворення і робота з математичними рівностями та формулами як з послідовністю символів. Вони відрізняються від числових розрахунків, які оперують наближеними числовими значеннями, що знаходяться поза математичними виразами.

Символьні операції можна виконувати двома способами:


  • Безпосередньо в командному режимі (використовуючи операції меню Символи);

  • За допомогою операторів символьного перетворення (використовуючи палітру інструментів Символи ).
    Інструме́нт (лат. instrumentum - знаряддя) - технологічне оснащення (знаряддя або пристрій), які в процесі праці безпосередньо стикаються з предметом праці з метою зміни чи контролю його форми, стану, властивостей тощо.


Розглянемо перший спосіб.

3.1. Виділення виразів для символьних обчислень


Щоб символьні операції виконувалися, процесору необхідно вказати, над яким виразом ці операції повинні виконуватись, тобто треба виділити вираз. Для ряду операцій треба не тільки указати вираз, до якого вони відносяться, але і вказати змінну, щодо якої виконується та чи інша символьна операція. Сам вираз в такому випадку не виділяється.

Таким чином, для виконання операцій із символьним процесором потрібно виділити об'єкт (цілий вираз чи його частину) синіми суцільними лініями.

Символьні операції розбиті на п'ять розділів. Першими йдуть найбільш часто використовувані операції. Вони можуть виконуватися з виразами, що містять комплексні числа чи мають розв’язок в комплексному виді.


3.2. Символьні операції

3.2.1. Операції з виділеними виразами


Якщо в документі є виділений вираз, то з ним можна виконувати різні операції, представлені нижче:

Розрахунки — перетворити вираз з вибором виду перетворень з підменю;

Символічні [Shift] F9 – виконати символьне перетворення виділеного виразу;

З плаваючою точкою – обчислити виділений вираз в дійсних числах;
Число з рухомою комою - форма представлення дійсних чисел, в якій число зберігається у формі мантиси і показника степеня.
Ко́мпле́ксні чи́сла - розширення поля дійсних чисел, зазвичай позначається C } . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума x + i y , де x і y - дійсні числа, i - уявна одиниця.
Дійсні числа - елементи числової системи, яка містить у собі раціональні числа і, в свою чергу, є підмножиною комплексних чисел. Математична абстракція, яка виникла з потреб вимірювання геометричних і фізичних величин навколишнього світу, а також виконання таких математичних операцій як добування кореня, обчислення логарифмів, розв'язування алгебраїчних рівнянь.


Комплексні – виконати обчислення в комплексному вигляді;

Спростити — спростити виділений вираз з виконанням таких операцій, як скорочення подібних, приведення до спільного знаменника, використання основних тригонометричних тотожностей і т д.
Абревіатура (лат. abbrevio - скорочую) - складноскорочені слова, похідне слово, що виникає внаслідок абревіації - утворення з перших літер або з інших частин слів, що входять до складу назви чи поняття.
Тригономе́трія (від грец. τρίγονο - трикутник та μετρειν - вимірюю, тобто буквально вимірювання трикутників) - розділ елементарної математики, що лежить на перетині алгебри та геометрії і вивчає співвідношення між сторонами й кутами трикутників, дозволяючи проводити кутові обчислення через спеціально визначені функції кутів.
Знаменник - число, або алгебраїчний вираз, який стоїть під рискою у записі дробу.
;

Розширити — розкрити вираз [наприклад, для (Х Y) (Х - Y) одержуємо X 2- Y 2];

Фактор — розкласти чи число вираз на множники [наприклад, X 2- Y 2 дасть (Х Y) (Х - Y)];

Подібні — зібрати доданки, подібні до виділеного виразу, що може бути окремою змінною чи функцією зі своїм аргументом (результатом буде вираз, поліноміальне щодо обраного виразу);

Коефіцієнти Полінома — по заданій змінній знайти коефіцієнти полінома, що апроксимує вираз, у якому ця змінна використана.

3.2.2. Операції з виділеними змінними


Для ряду операцій треба знати, щодо якої змінної вони виконуються. У цьому випадку необхідно виділити змінну, установивши на ній маркер введення. Після цього стають доступними наступні операції підміню Змінні:

Обчислити — знайти значення виділеної змінної, при яких вираз, що містить її, стає рівним нулю;

Заміна — замінити зазначену змінну вмістом буфера обміну;
Коефіціє́нт - характеристика процесу, явища, речовини або поля, яка має відносно сталий характер.
Кліпборд (англ. clipboard) або сховок - проміжне сховище даних, що призначається для переносу або копіювання між програмами або частинами однієї програми.


Диференціали — диференціювати вираз, що містить виділену змінну, по цій змінній (інші змінні розглядаються як константи);

Інтеграція — інтегрувати весь вираз, що містить змінну, по цій змінній;

Розкласти на складові... — знайти кілька членів розкладання виразу в ряд Тейлора щодо виділеної змінної;

Перетворення в Часткові Частки — розкласти на елементарні дроби вирази, що розглядається як раціональний дріб щодо виділеної змінної.
Раціональність (від лат. Ratio - розум) - термін у найширшому сенсі означає розумність, свідомість, протилежність ірраціональності. У більш вузкому значенні - характеристика знання з точки зору його відповідності деяким принципам мислення.
Константа (лат. constans - стала величина, інша назва - стала) - величина, що не змінює свого значення протягом певного процесу (на відміну від змінної, значення якої може змінюватись). Прикладами констант є число пі, коефіцієнти многочленів, температура під час ізотермічного процесу.
Дріб - у математиці це представлення чисел або математичних величин у вигляді результату операції ділення. Найчастіше дріб подається у формі a b , де a називають чисельником, а b - знаменником дробу. Також рівнозначно застосовують форму a:b або a/b.

3.2.3. Операції з виділеними матрицями


Операції з виділеними матрицями представлені позицією підменю Матриці, що має своє підменю з наступними операціями:

Транспонування — одержати транспоновану матрицю;
Опера́ція (лат. operatio - дія, вплив) - дії, заходи, що виконуються за певним планом і спрямовані на вирішення якогось завдання, досягнення якоїсь мети або належить до кола функцій даного підприємства, установи, відділу, окремого працівника, певного обладнання тощо.
Транспонована матриця - матриця A T } , що виникає з матриці A в результаті унарної операції транспонування: заміни її рядків на стовпчики.


Інвертування — обчислити обернену матрицю;

Визначник — обчислити детермінант (визначник) матриці.

Результати символьних операцій з матрицями часто виявляються надмірно громіздкими і тому погано обчислюються.


3.2.3. Операції перетворення


У позиції Перетворення міститься розділ операцій перетворення, що створює підменю з наступними можливостями:

Фур'є — виконати пряме перетворення Фур'є щодо виділеної змінної;

Фур'є Оберненє — виконати обернене перетворення Фур'є щодо виділеної змінної;

Лапласа — виконати пряме перетворення Лапласа щодо виділеної змінної (результат — функція змінної s);
Можливість - це дія, що може відбутися або ні (можливо, приїду, а, можливо, і ні). Можливість можна забезпечити чи покладатись на «авось» та якось буде. Альтернатива дає шанс, але не гарантує без відповідних дій забезпечення результату і адекватності та конструктиву діяльності.
Перетворення Лапла́са - інтегральне перетворення, що зв'язує функцію F ( s ) комплексної змінної (зображення) з функцією f ( x ) дійсної змінної (оригінал). З його допомогою досліджуються властивості динамічних систем і розв'язуються диференціальні і інтегральні рівняння.


Лапласа Обернене — виконати обернене перетворення Лапласа щодо виділеної змінної (результат — функція змінної t);

Z — виконати пряме Z-перетворення виразу щодо виділеної змінної (результат — функція змінної z);

Оберненє Z — виконати обернене Z-перетворення щодо виділеної змінної (результат — функція змінної n) .

3.3. Стиль представлення результатів обчислень


На наочність обчислень впливає стиль представлення їхніх результатів.
Результат, пі́дсумок, (заст. ску́ток, вислід) - кінцевий наслідок послідовності дій. Можливі результати містять перевагу, незручність, вигоду, збитки, цінність і перемогу. Результат є етапом діяльності, коли визначено наявність переходу якості в кількість і кількості в якість.
Наступна команда дозволяє задати той чи інший стиль:




Рисунок 1. Стиль Обчислень

Стиль Обчислень... — задати вивод результату символьної операції під основним виразом, поруч з ним чи замість нього (Рисунок 9).

3.4. Приклади символьних операцій у командному режимі


Більшість символьних операцій легко виконуються, так що нижче ми зупинимося лише на деяких прикладах. Символьна операція Розрахунки забезпечує роботу з математичними виразами, що містять вбудовані в систему функції і представленими в різному виді: поліноміальному, дрібно-раціональному, у виді сум і добутків, похідних і інтегралів і т.д. (Рисунок 10). Операція прагне зробити всі можливі чисельні обчислення і представити вирази в найбільш простому вигляді. Вона можлива над матрицями із символьними елементами. Похідні і визначені інтеграли, символьні значення яких обчислюються, повинні бути представлені у своїй природній формі.
Елеме́нт (лат. elementum - стихія, первинна речовина) - нерозкладний (у даній системі) компонент складних тіл, матеріальних систем, теоретичних побудов; будь-який об'єкт, пов'язаний певними відношеннями з іншими об'єктами в єдиний комплекс.
Інтеграл - центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі.





Рисунок 2. Символьні обчислення

Особливо слід зазначити можливість виконання чисельних обчислень з підвищеною точністю — 20 знаків після коми. Для переходу в такий режим обчислень потрібно числові константи в об'єктах, що обчислюються, задавати з обов'язковою вказівкою десяткової крапки, наприклад 10.0 чи 3.0, а не 10 чи 3. Ця ознака є вказівкою на проведення обчислень такого типу.

На рисунку 10 показані типові приклади дії операції Розрахунки.

Тут ліворуч показані вихідні вирази, що піддаються символьним перетворенням, а праворуч — результат цих перетворень.

Операція Розрахунки одна з самих потужних. Як видно з рисунка 6, вона дозволяє в символьному виді обчислювати суми (і добутки) рядів, похідні і невизначені інтеграли, виконувати символьні і чисельні операції з матрицями.

Ця операція містить підменю. Команда Символьні тут найбільш важлива. Призначення інших команд очевидно: вони потрібні, якщо результат потрібно одержати у формі комплексного чи дійсного числа. Наприклад, якщо ви хочете замість числа  одержати 3.141..., використовуйте команду З коми, що… плаває... У режимі символьних обчислень результат може перевершувати машинну нескінченність системи — див. приклад на обчислення ехр(1000.0) на Малюнку 10. При цьому число точних значущих цифр результату практично не обмежене (чи, точніше кажучи, залежить від ємності ОЗУ).




Рисунок 3. Розкладання функції в ряд Тейлора

Операція Розкласти на складові... повертає розкладання в ряд Тейлора виразу щодо виділеної змінної з заданим по запиті числом членів ряду n (число визначається по ступенях ряду). За замовчуванням задане п = 6. У розкладанні вказується залишкова погрішність розкладання. На рисунку 11 представлене застосування цієї операції для розкладання функції . Мінімальна погрішність виходить при малих х (див. графічне представлення функції і її ряду).

3.5. Оператори обчислення границь функцій


Для обчислення границь функцій у систему введений символьний оператор limit. Крім введення зі складальної панелі Матаналіз, його в трьох формах можна ввести натисканням наступних комбінацій клавіш:

[Ctrl] L — введення шаблона оператора обчислення границь функції при х, що прямує до заданого значення,

[Ctrl] A — введення шаблона обчислення границі функції ліворуч від заданої точки,

[Ctrl] B — введення шаблона обчислення границі функції праворуч від заданої точки.

Границя функції в точці - фундаментальне поняття математичного аналізу, зокрема аналізу функцій дійсної змінної, число, до якого прямує значення функції, якщо її аргумент прямує до заданої точки. Строге математичне означення границі функції дається мовою δ-ε.

На рисунку 12 показані приклади обчислення границі. При обчисленні границі потрібно заповнити шаблони, що входять у головний шаблон для обчислення меж, а потім ввести функцію, ім'я змінної, по якій шукається границя , і значення змінної — аргументу функції.




Рисунок 4. Обчислення границі

Для одержання результату встановіть після блоку обчислення границі стрільцю з вістрям, спрямованим вправо. Границя (якщо вона існує) буде обчислена і з'явиться в шаблоні у вістря стрілки. Якщо функція не має границі, замість результату з'явиться напис Undefine.

3.6. Завдання операторів користувача


Ще одна екзотична можливість, властива новим версіям системи MathCAD, — завдання нових операторів користувача. Такий оператор задається практично так само, як функція користувача, але замість імені вибирається який-небудь придатний знак. Наприклад, можна задати оператор розподілу у виді:

- завдання нового оператора розподілу;

— застосування функції розподілу;
Функція розподілу ймовірностей - В теорії ймовірностей це функція, яка повністю описує розподіл ймовірностей випадкової величини.


— застосування нового оператора розподілу.

При зовнішній простоті такого завдання тут є проблеми. Вбудовані в систему оператори не можна перевизначити. Тому набір доступних знаків для позначення нових операторів обмежений. Не можна задати новий оператор розподілу знаком / (він уже використаний), але можна взяти знак оскільки цей символ системою не використовується.

Друга проблема пов'язана з введенням символу нового оператора.

Вве́дення у храм Пресвято́ї Ді́ви Марії́ - велике християнське богородичне свято. Святкується 21 листопада за юліанським календарем, 4 грудня - за григоріанським.
Скоріш за все, його прямо ввести не можна. Прийдеться скористатися типовими прийомами введення нових символів у документи Windows. Один з цих прийомів — використання додатка, що видає таблицю символів, з можливістю його експорту з цієї таблиці в документ іншого додатка (у нашому випадку — у документ MathCAD).

Можна також скористатися придатним знаком з набору MATH SYMBOL, що є в складі Шпаргалок, доступ до яких дає Ресурс Центр (? Ресурс Центр Довідковий стіл і коротке керівництво Додаткові математичні символи).

Докуме́нт - базова теоретична конструкція, яка відноситься до всього, що може бути збережене або представлене, щоб служити як доказ для певної мети.
Символіка - сукупність символів, які використовуються певною групою осіб, організацією, громадським чи політичним утворенням, державою тощо.
Керівн́ицтво - (адміністрування, розпорядництво) є однією з функцій управління, а в умовах командно-адміністративної системи саме тією функцією, що разом з контролем включила в себе всі інші функції.
На Малюнку 8 показаний такий варіант завдання нового оператора користувача. Для перетаскування знака можна скопіювати його в буфер обміну за допомогою операції Копіювати, а потім ввести в документ, використовуючи операцію Вставка.






Рисунок 5. Завдання оператора користувача з вибором імені з набору знаків

Після того як оператор заданий, його можна використовувати, як функцію і як оператор. Приклади показані на рисунку 13.

Для застосування нового оператора треба вивести його шаблон за допомогою панелі математичних знаків (вона також показана рисунку 13). У нашому випадку варто натиснути кнопку цієї панелі — вона виводить особливий шаблон виду   . Введіть операнди, наприклад 6 і 3 у крайні прямокутники, а символ оператора — у середній. Поставивши після цієї конструкції знак рівності, побачите результат — число 2.

Прямоку́тник - це чотирикутник, усі кути якого прямі. Протилежні сторони прямокутника рівні. Є окремим випадком паралелограма.
Будо́ва - сукупність будівель та споруд, об'єктів будівництва, розширення та реконструкція яких здійснюється, як правило, за єдиною проектно-кошторисною документацією зі зведеним кошторисним розрахунком вартості будівництва, на які у встановленому порядку затверджується титул будови.
Знак рівності (=) - це математичний символ, що використовується для позначення рівності. Він був винайдений в 1557 році Робертом Рекордом . У рівнянні, знак рівності поміщається між двома виразами, які мають те ж саме значення.

Можна задати й інші оператори, наприклад, для роботи з одним операндом. Так, ви можете задати оператор для перерахування значення температури по шкалі Цельсію для того, щоб визначити відповідне йому значення по шкалі Фаренгейта, у такий спосіб

Потім, використовуючи кнопку складальної панелі символів відношень, можна виконувати операцію перерахування у виді.



Є області математики і фізики, де завдання нових операторів необхідно, оскільки є частиною специфічної мови їхнього опису.

Данієль Габрієль Фаренгейт (24 травня 1686(16860524), Данціг - 16 вересня 1736, Гаага) - німецький хімік і фізик, автор температурної шкали його імені.
Перерахування - це тексти, розбиті на пункти й підпункти, що мають цифрове чи буквенне позначення.
Температу́ра (від лат. temperatura - належне змішування, нормальний стан) - фізична величина, яка описує стан термодинамічної системи.
Матема́тика (грец. μάθημα - наука, знання, вивчення) - наука, яка первісно виникла як один з напрямків пошуку істини (у грецькій філософії) у сфері просторових відношень (землеміряння - геометрії) і обчислень (арифметики), для практичних потреб людини рахувати, обчислювати, вимірювати, досліджувати форми та рух фізичних тіл.


3.8. Вправи для самостійної роботи.

Вправа 1. Використовуючи операцію Символи РозрахункиЗ коми, що…, представте:

  1. число  у 7 позиціях;

  2. число 12, 345667 у 3 позиціях.

Вправа 2. Виведіть наступні числа в комплексній формі, використовуючи операцію РозрахункиКомплексні меню Символи:

  1. ;

  2. tg (a );

  3. ;

  4. для виразу 3) послідовно виконаєте операції РозрахункиКомплексні і Спростити меню Символи.

Вправа 3. Для полінома g(x) (див. Таблиця 1) виконати наступні дії:

  1. розкласти на множники, використовуючи операцію Символи Фактор;

  2. підставте вираз x = y z у g(x), використовуючи операцію Символи Змінні Заміна (попередньо скопіювавши вираз, що підставляється, у буфер обміну, виділивши його і натиснувши комбінацію клавіш Ctrl C);

  3. використовуючи операцію Символи Розширити, розкладете по ступенях вираз, отримане в 2);

  4. використовуючи операцію Символи Подібні, згорніть вираз, отриманий в 3), по змінній z.

Таблиця 1

Варіанти вправи 3

варіанту

g(x)


варіанту



g(x)



x4 - 2x3 x2 - 12x 20



x4 x3 - 17x2 - 45x - 100



x4 6x3 x2 - 4x - 60



x4 - 5x3 x2 - 15x 50



x4 - 14x2 - 40x - 75



x4 - 4x3 - 2x2 - 20x 25



x4 - x3 x2 - 11x 10



x4 5x3 7x2 7x - 20



x4 - x3 - 29x2 - 71x -140



x4 - 7x3 7x2 - 5x 100



x4 7x3 9x2 13x - 30



x4 10x3 36x2 70x 75



x4 3x3 - 23x2 - 55x - 150



x4 9x3 31x2 59x 60



x4 - 6x3 4x2 10x 75







Вправа 4. Розкладете вираз на елементарні дроби використовуючи операцію Символи Змінні Перетворення в часткові частки:

  1. ;

  1. ;

  1. ;

  1. .

Вправа 5. Розкладіть вираз в ряд із заданою точністю, використовуючи операцію Символи Змінні Розкласти на складові:

  1. ln ( 1 x), х0 = 0, порядок розкладання 6;

  2. sin (x)2, х0 = 0, порядок розкладання 6.

Вправа 6. Знайти первісну аналітично заданої функції f(x) (Таблиця 4), використовуючи операцію Символи Змінні Інтеграція.

Вправа 7. Визначити символьне значення першої і другої похідних f(x) (Таблиця 4), використовуючи команду Символи Змінні Диференціали.

Таблиця 4

Варіанти вправ 6 і 7

варіанту



f(х)

варіанту



f(х)

варіанту



f(х)







x2



(2x 3) sin x











2



1/(x)



2



1/(1 x x2)







(x 1) sin x







x2



5x x lg x





Вправа 8.

  1. Транспонуйте матрицю М

за допомогою операції Символи Матриці Транспонування.



  1. Інвертуйте матрицю

за допомогою операції Символи Матриці Інвертування.



  1. Обчислить визначник матриці М

за допомогою операції Символи Матриці Визначник.

Визна́чник або детерміна́нт - це число; вираз складений за певним законом з n² елементів квадратної матриці. Одна з найважливіших характеристик квадратних матриць.



Вправа 8. Обчислить границі:



















3.7. Контрольні запитання


  1. Назвіть способи виконання символьних операцій у MathCAD.

  2. Що необхідно зробити з виразом перед застосуванням символьних перетворень у командному режимі?

  3. Перелічите символьні операції з виділеними виразами.

  4. Перелічите символьні операції з виділеними змінними.

  5. Перелічите символьні операції з виділеними матрицями.

  6. Перелічите символьні операції перетворення.

  7. Які параметри визначає стиль представлення результатів обчислень і де він задається?

  8. У яких випадках результат символьних перетворень міститься в буфер обміну?

  9. Яким образом можна обчислити границю в MathCAD?

  10. Для чого необхідне завдання операторів користувача?

  11. Як задати оператор користувача?


Скачати 139.54 Kb.

  • 3.1. Виділення виразів для символьних обчислень
  • 3.2. Символьні операції
  • 3.2.2. Операції з виділеними змінними
  • 3.2.3. Операції з виділеними матрицями
  • 3.2.3. Операції перетворення
  • 3.3. Стиль представлення результатів обчислень
  • 3.4. Приклади символьних операцій у командному режимі
  • 3.5. Оператори обчислення границь функцій
  • 3.6. Завдання операторів користувача
  • 3.8. Вправи для самостійної роботи.
  • 3.7. Контрольні запитання