Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



4 Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами

4 Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами




Дата конвертації28.04.2017
Розмір28.7 Kb.

4.3. Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами.


Система диференціальних рівнянь вигляду

де - сталі величини, називається лінійною однорідною системою з сталими коефіцієнтами.

Лі́нія (нім. Linie) (рос. линия, англ. line, нім. Linie f) - геометричний об'єкт, геометричне місце точок, що задовільняє певне рівняння.
Величина́ - одне з основних математичних понять, узагальнення понять довжина, розмір, площа, об'єм тощо. Неформально, величини – це те, що можна порівнювати між собою. Формально, це елементи впорядкованої множини.
Коефіціє́нт - характеристика процесу, явища, речовини або поля, яка має відносно сталий характер.
У матричному вигляді вона записується



.

4.3.1. Розв’язування систем однорідних рівнянь з сталими коефіцієнтами методом Ейлера.


Розглянемо один з методів побудови розв’язку систем з сталими коефіцієнтами.

Розв’язок системи шукаємо у вигляді вектора



.

Підставивши в систему диференціальних рівнянь, одержимо



Скоротивши на , і перенісши всі члени вправо, запишемо



Отримана однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь має розв’язок тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто



.
Алгебра (від араб. الجبر‎ аль-джебр - відновлення) - розділ математики, що вивчає математичні операції і відношення, та утворення, що базуються на них: многочлени, алгебраїчні рівняння, алгебраїчні структури.
Диференціа́льні рівня́ння - рівняння, що встановлює залежність між незалежними змінними, числами (параметрами), невідомими функціями та їх похідними. Невідома функція може бути як скалярною, так і векторною.

Це рівняння, може бути записаним у векторно-матричній формі



і воно називається характеристичним (чи віковим) рівнянням. Розкриємо його



.

Алгебраїчне рівняння -го ступеня має -коренів. Розглянемо різні випадки.

1. Всі корені характеристичного рівняння (власні числа матриці ) дійсні і різні.

Ма́триця - математичний об'єкт[en], записаний у вигляді прямокутної таблиці чисел (чи елементів кільця), він допускає операції (додавання, віднімання, множення та множення на скаляр). Зазвичай матриці представляються двовимірними (прямокутними) таблицями.
Вік - тривалість життя людини, тварини, рослини; період часу, який виділяється за певними ознаками.
Ко́рінь - підземний, вегетативний орган рослини з необмеженим ростом, який забезпечує закріплення рослин у субстраті, поглинання і транспорт води та розчинених у ній мінеральних речовин та продуктів життєдіяльності ґрунтових мікроорганізмів і коренів інших рослин, первинний синтез органічних речовин, виділення в ґрунт продуктів обміну речовин і вегетативне розмноження.
Характеристичний поліном квадратної матриці A розміру n × n - це многочлен степеня n від змінної λ , який дорівнює
Підставляючи їх по черзі в систему алгебраїчних рівнянь

одержуємо відповідні ненульові розв’язки системи



, , … ,

що являють собою власні вектори, які відповідають власним числам , .

Вла́сний ве́ктор (англ. eigenvector) квадратної матриці A (з вла́сним зна́ченням (англ. eigenvalue) λ ) - це ненульовий вектор v , для якого виконується співвідношення

У такий спосіб одержимо - розв’язків

, , … , ...

Причому оскільки -різні а - відповідні їм власні вектори, то розв’язки - лінійно незалежні, і загальний розв’язок системи має вигляд



.
Лінійно незалежні вектори (лінійна незалежність множини векторів) - множина векторів, які не утворюють тривіальних лінійних комбінацій рівних нулю.

Або у векторно - матричної формі запису



,

де - довільні сталі.

2. Нехай пара комплексно спряжених коренів. Візьмемо один з них, наприклад . Комплексному власному числу відповідає комплексний власний вектор

і, відповідно, розв’язок



Використовуючи залежність , перетворимо розв’язок до вигляду:







.

І, як випливає з властивості 4 розв’язків однорідних систем, якщо комплексна функція дійсного аргументу є розв’язком однорідної системи, то окремо дійсна і уявна частини також будуть розв’язками, тобто комплексним власним числам відповідають лінійно незалежні розв’язки



,.

3. Якщо характеристичне рівняння має кратний корінь кратності , тобто , то розв’язок системи рівнянь має вигляд



.

Підставивши його у вихідне диференціальне рівняння і прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях, одержимо - рівнянь, що містять -невідомих. Тому що корінь характеристичного рівняння має кратність , то ранг отриманої системи . Уводячи довільних сталих і розв’язуючи систему, одержимо



, , .



  • 4.3.1. Розв’язування систем однорідних рівнянь з сталими коефіцієнтами методом Ейлера.