Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Алгебра та теорія чисел

Скачати 55.93 Kb.

Алгебра та теорія чисел




Скачати 55.93 Kb.
Дата конвертації08.05.2017
Розмір55.93 Kb.


АЛГЕБРА ТА ТЕОРІЯ ЧИСЕЛ

Умови рейтингу:



  1. на 61і вище бал НЕОБХІДНИМ є знання всіх означень,

алгоритмів і методів розвязку задач, відзначених знаком «!
Теорія чисел або вища арифметика - галузь математики, яка розпочалась з вивчення деяких властивостей натуральних чисел, пов'язаних з питаннями подільності і розв'язання алгебраїчних рівнянь у натуральних (а згодом також цілих) числах.
»

  1. на 76 балів і вище- НЕОБХІДНИМ є знання всіх означень, алгоритмів і методів розвязку задач

  2. на 91 бал і вище – весь матеріал з вказаними доведеннями

Розділ 1. Поле комплексних чисел.

Ко́мпле́ксні чи́сла - розширення поля дійсних чисел, зазвичай позначається C } . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума x + i y , де x і y - дійсні числа, i - уявна одиниця.

1.! Означення комплексних чисел, дії над комплексними числами в алгебраїчній формі.

2.! Поле комплексних чисел.

3.! Геометричне зображення комплексного числа.

4.! Тригонометрична форма комплексного числа. Модуль і аргумент комплексного числа. Множення і ділення комплексних чисел в тригонометричній формі.

Тригонометрія Тригономе́трія (від грец. τρίγονο - трикутник та μετρειν - вимірюю, тобто буквально вимірювання трикутників) - розділ елементарної математики, що лежить на перетині алгебри та геометрії і вивчає співвідношення між сторонами й кутами трикутників, дозволяючи проводити кутові обчислення через спеціально визначені функції кутів.

5.! Піднесення до степеня комплексних чисел в тригонометричній формі. Формула Муавра.

6.! Видобування кореня з комплексних чисел в тригонометричній формі. Корені з одиниці,

7. Первісні корені з одиниці, показники.

8.! Властивості спряжених комплексних чисел.

9.! Показникова форма комплексного числа. Формули Ейлера.

10. Логарифм від комплексного числа.



Література: обов’язкова 1,2,4;
Розділ 2. Арифметика натуральних чисел

10.! Подільність натуральних чисел. Властивості.

11.! НСД, НСК: означення, обчислення.

12.! Алгоритм Евкліда.

Формула Ейлера - співвідношення, що пов'язує комплексну експоненту з тригонометричними функціями. Названа на честь Леонарда Ейлера, який її запропонував.
Алгоритм Евкліда Алгоритм Евкліда (також називається евклідів алгоритм) - ефективний метод обчислення найбільшого спільного дільника (НСД). Названий на честь грецького математика Евкліда, котрий описав його в книгах VII та X Начал.

13.!Прості числа та їх властивості.

14. Теорема Евкліда (про нескінченість множини простих чисел.)

15. Взаємно прості числа та їх властивості.

16.! Основна теорема арифметики.

17. Решето Ератосфена, розподіл простих чисел.

18.! Ділення з остачею. Властивості лишків.

19. Китайська теорема про лишки.

20.! Класи лишків. Повна і зведена системи лишків.

21! Зведена система лишків і примітивні класи. Теорема Ейлера, мала теорема Ферма.

Решето́ Ератосфе́на в математиці - простий стародавній алгоритм знаходження всіх простих чисел менших деякого цілого числа n , що був створений давньогрецьким математиком Ератосфеном.
Взаємно прості числа - натуральні або цілі числа, які не мають спільних дільників більших за 1, або, інакше кажучи, якщо їх найбільший спільний дільник дорівнює 1. Таким чином, 2 і 3 - взаємно прості, а 2 і 4 - ні (діляться на 2).
Мала теорема Ферма - одне з основних тверджень елементарної теорії чисел. Вперше була сформульована в листі французького математика П'єра де Ферма до свого друга Френікля де Бессі 18 жовтня 1640 року. В листі проте не було наведено доведення.

22! Поняття фактор-кільця. Кільця лишків.

23. Прості поля.

24. Лінійні порівняння з однією змінною.

25. Порівняння з однією змінною вищих степенів.

26 Квадратичні лишки та квадратичні нелишки

27. Застосування конгруенцій до розв’язування лінійних діофантових рівнянь.

Література: обов’язкова 1,2; додаткова 5,6,8.
Розділ 3. Алгебраїчні структури.

Модульна арифметика - це система арифметики цілих чисел, в якій числа «обертаються навколо» деякого значення - модуля.
Діофантові рівняння - невизначені поліноміальні рівняння з цілими коефіцієнтами, в яких невідомі змінні можуть набувати тільки цілих значень. Названі на честь давньогрецького математика Діофанта Александрійського.
Алгебраїчна система (алгебраїчна структура) - в математиці це непорожня множина з заданим на ній набором операцій та відношень, що задовільняють деякій системі аксіом.

28.! Основні алгебраїчні структури: поле, кільце, група. Означення, приклади.

29. Група, підгрупа, нормальна підгрупа: означення, приклади.

Нормальна підгрупа (інваріантна підгрупа) - це особлива підгрупа, в яких лівий і правий клас суміжності збігаються. Інваріантні підгрупи дозволяють будувати факторгрупу по заданій групі.

30. Гомоморфізм груп: означення, приклади.

31. Гомоморфізм кілець: означення, приклади.

32. Підкільце, ідеал кільця, лівий ідеал, правий ідеал

34.

Ідеал - підструктура з певними властивостями в абстрактній алгебрі. Спочатку виникло поняття ідеал кільця, пізніше було узагальнено для інших алгебраїчних структур.
Ядро гомоморфізму кілець: означення, приклади, властивості.

35!. Просте поле. Поле лишків за простим модулем.


Розділ 4. Многочлени.
36. Побудова кільця многочленів від однієї змінної. Степінь многочлена.

  1. ! Теорема про ділення з остачею. Схема Хорнера. Теорема Безу.

  2. Алгебраїчна і функціональна рівності многочленів.

  3. ! Кількість коренів полінома в комутативному кільці, яке не має дільників нуля.
    В абстрактній алгебрі простий модуль (також незвідний модуль) - ненульовий унітарний модуль M над кільцем R з одиницею, що містить лише два підмодулі - нульовий і сам M.
    Кільце многочленів - кільце в абстрактній алгебрі, утворене множиною многочленів (однієї або декількох змінних) з коефіцієнтами з деякого іншого кільця.
    Степінь многочлена - це найбільший із степенів всіх членів многочлена. Іноді степінь многочлена також називають порядком многочлена.
    Теорема Безу - теорема про остачу від ділення многочлена на двочлен, названа на честь французького математика Етьєна Безу.
    Комутативне кільце - кільце, в якому операція множення є комутативною.


  4. ! Подільність многочленів. Ділення з остачею.

  5. ! НСД, НСК многочленів.

  6. ! Взаємно прості многочлени, їх властивості.

  7. ! Незвідні многочлени, їх властивості.

  8. Теорема про розклад многочлена на незвідні множники.


Питання до заліку (2 частина)

  1. Поле раціональних дробів над областю цілісності.

  2. Поле раціональних дробів над кільцем многочленів.

  3. Значення раціональних дробів

  4. Подільність в довільному кільці. Одиниці, асоційовані елементи. Означення і приклади факторіальних кілець.

  5. Кільце лишків за поліномом

  6. Примітивні класи лишків за модулем полінома та їх властивості.

  7. Кільце лишків за незвідним поліномом

  8. Просте розширення поля.
    Область цілісності - поняття абстрактної алгебри: асоціативне комутативне кільце з одиницею, в якому 0≠1 і добуток двох ненульових елементів не рівний нулю. Умова 0≠1 виключає з розгляду тривіальне кільце .
    Розширення поля - поле L для якого поле K є підполем. Для позначення факту, що поле L є розширенням поля K (і відповідно K є підполем L) використовується позначення L/K.


  9. Побудова простого трансцендентного розширення поля.

  10. Побудова простого алгебраїчного розширення поля.

  11. Виключення ірраціональності в знаменнику.

  12. Теорема про ізоморфізм простих алгебраїчних розширень поля

  13. Теорема про ізоморфізм простих трансцендентних розширень поля.

  14. ! Означення кільця многочленів від багатьох змінних як сум одночленів

  15. ! Найвищий член поліному від багатьох змінних. Найвищий член добутку двох поліномів (з доведенням).

  16. Індуктивна побудова кільця многочленів від багатьох змінних

  17. Значення поліномів від багатьох змінних

  18. Теорема про тотожність для многочленів багатьох змінних.

  19. ! Симетричні поліноми. Основні або елементарні симетричні поліноми:

  20. Лема про показники в вищому члені симетричного полінома ( з дов.)

  21. Довести, що відмінний від нуля поліном від основних симетричних поліномів відмінний від нуля і як поліном від .

  22. Основна теорема теорії симетричних поліномів (з дов.).

  23. ! Узагальнена теорема Вієта (з дов).
    Теоре́ма Віє́та - формули, названі на честь Франсуа Вієта, що виражають коефіцієнти многочлена через його корені.


  24. Дискримінант многочлена як симетрична функція коренів многочлена.
    В математиці, корінь (або нуль) функції ƒ - це елемент х із області визначення в якому функція приймає нульове значення. Наприклад, для функцуії ƒ заданої формулою


  25. Результант двох многочленів. Теорема про різні подання результанта.

  26. Подання результанта у вигляді визначника.

  27. Застосування результанта до розв’язування системи 2-х алгебраїчних рівнянь з 2-ма невідомими.


ОБОВ’ЯЗКОВА ЛІТЕРАТУРА

1.Фаддеев Д.А. Лекции по алгебре. – М.: Наука, 1984.

2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977.

3 Виноградов И.М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1964

4. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Наука, 1971.

5. Завало С.Т., Левищенко С.С., Пылаев В.В., Рокицкий И.А. “Алгебра и теория чисел. Практикум. Частина 2. – К.: Вища шк., 1986.



ДОДАТКОВА ЛІТЕРАТУРА

1.Уткіна С.В., Наришкіна Л.С. Алгебра і числові системи. – К.: Вища школа,1995

2. Ван дер Варден Б. Алгебра, – М.: Наука, 1979.

3. Ленг С. Алгебра. – М.: Мир, 1968.

4. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1975.

5. Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. – М.: Наука, 1980.



6. Прасолов В.В. Многочлены. М: МЦНМО, 1999, 2001, 2003


Скачати 55.93 Kb.

  • Взаємно прості числа
  • Теорема Безу . Алгебраїчна і функціональна рівності многочленів. ! Кількість коренів полінома в комутативному кільці
  • Питання до заліку (2 частина) Поле раціональних дробів над областю цілісності