Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Алгебра та теорія чисел

Алгебра та теорія чисел




Дата конвертації03.04.2017
Розмір46.5 Kb.


АЛГЕБРА ТА ТЕОРІЯ ЧИСЕЛ

АНОТАЦІЯ


Курс має на меті ознайомлення з основними поняттями загальної алгебри такі, як поля і кільця, та їх властивостями.
Теорія чисел або вища арифметика - галузь математики, яка розпочалась з вивчення деяких властивостей натуральних чисел, пов'язаних з питаннями подільності і розв'язання алгебраїчних рівнянь у натуральних (а згодом також цілих) числах.
Розглядаються поле комплексних чисел,
кільце цілих чисел, кільця многочленів, будуються скінчені поля і поля часток.
Кільце многочленів - кільце в абстрактній алгебрі, утворене множиною многочленів (однієї або декількох змінних) з коефіцієнтами з деякого іншого кільця.
Ко́мпле́ксні чи́сла - розширення поля дійсних чисел, зазвичай позначається C } . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума x + i y , де x і y - дійсні числа, i - уявна одиниця.
Досліджуються алгебраїчні рівняння над вказаними полями та кільцями,

Примітка: Питання 38 - 43 виносяться на самостійне відпрацювання.

.

Розділ 1. Поле комплексних чисел.



1.! Означення комплексних чисел, дії над комплексними числами в алгебраїчній формі.

2.! Поле комплексних чисел.

3.! Геометричне зображення комплексного числа.

4.! Тригонометрична форма комплексного числа. Модуль і аргумент комплексного числа. Множення і ділення комплексних чисел в тригонометричній формі.

Тригономе́трія (від грец. τρίγονο - трикутник та μετρειν - вимірюю, тобто буквально вимірювання трикутників) - розділ елементарної математики, що лежить на перетині алгебри та геометрії і вивчає співвідношення між сторонами й кутами трикутників, дозволяючи проводити кутові обчислення через спеціально визначені функції кутів.

5.! Піднесення до степеня комплексних чисел в тригонометричній формі. Формула Муавра.

6.! Видобування кореня з комплексних чисел в тригонометричній формі. Корені з одиниці,

7. Первісні корені з одиниці, показники.

8.! Властивості спряжених комплексних чисел.

9.! Показникова форма комплексного числа. Формули Ейлера.

Формула Ейлера - співвідношення, що пов'язує комплексну експоненту з тригонометричними функціями. Названа на честь Леонарда Ейлера, який її запропонував.

10. Логарифм від комплексного числа.



Література: обов’язкова 1,2,4;
Розділ 2. Арифметика натуральних чисел

11.! Подільність натуральних чисел. Властивості.

12.! НСД, НСК: означення, обчислення.

13.! Алгоритм Евкліда.

14.!Прості числа та їх властивості.

15. Теорема Евкліда (про нескінченість множини простих чисел.)

16. Взаємно прості числа та їх властивості.

17.! Основна теорема арифметики.

18. Решето Ератосфена, розподіл простих чисел.

19.! Ділення з остачею. Властивості лишків.

20.! Класи лишків. Повна і зведена системи лишків.

21! Зведена система лишків і примітивні класи.Теорема Ейлера, мала теорема Ферма.

Решето́ Ератосфе́на в математиці - простий стародавній алгоритм знаходження всіх простих чисел менших деякого цілого числа n , що був створений давньогрецьким математиком Ератосфеном.
Алгоритм Евкліда Алгоритм Евкліда (також називається евклідів алгоритм) - ефективний метод обчислення найбільшого спільного дільника (НСД). Названий на честь грецького математика Евкліда, котрий описав його в книгах VII та X Начал.
Взаємно прості числа - натуральні або цілі числа, які не мають спільних дільників більших за 1, або, інакше кажучи, якщо їх найбільший спільний дільник дорівнює 1. Таким чином, 2 і 3 - взаємно прості, а 2 і 4 - ні (діляться на 2).
Мала теорема Ферма - одне з основних тверджень елементарної теорії чисел. Вперше була сформульована в листі французького математика П'єра де Ферма до свого друга Френікля де Бессі 18 жовтня 1640 року. В листі проте не було наведено доведення.

22! Поняття фактор-кільця. Кільця лишків.

23. Прості поля. Поле лишків за простим модулем

24.

Модульна арифметика - це система арифметики цілих чисел, в якій числа «обертаються навколо» деякого значення - модуля.
В абстрактній алгебрі простий модуль (також незвідний модуль) - ненульовий унітарний модуль M над кільцем R з одиницею, що містить лише два підмодулі - нульовий і сам M.
Лінійні порівняння з однією змінною.

25. Китайська теорема про лишки.

26. Порівняння з однією змінною вищих степенів.

27. Квадратичні лишки та квадратичні нелишки.

28. Застосування конгруенцій до розв’язування лінійних діофантових рівнянь.

29. Індекси за простим модулем. Поняття про дискретний логарифм.

30. Символ Лежандра та його властивості.

Література: обов’язкова 1,2; додаткова 5,6,8.
Розділ 3. Алгебраїчні структури.

31.! Основні алгебраїчні структури: поле, кільце, група. Означення, приклади.

32. Група, підгрупа, нормальна підгрупа, фактор-група: означення, приклади.

33. Циклічні групи: означення, приклади.

В математиці, особливо в абстрактній алгебрі і її застосуваннях, дискретний логарифм - теоретико-груповий аналог звичайного логарифму. Зокрема, звичайний логарифм loga(b) - це розв'язок рівняння ax = b у полі дійсних або комплексних чисел.
Нормальна підгрупа (інваріантна підгрупа) - це особлива підгрупа, в яких лівий і правий клас суміжності збігаються. Інваріантні підгрупи дозволяють будувати факторгрупу по заданій групі.
Діофантові рівняння - невизначені поліноміальні рівняння з цілими коефіцієнтами, в яких невідомі змінні можуть набувати тільки цілих значень. Названі на честь давньогрецького математика Діофанта Александрійського.
Алгебраїчна система (алгебраїчна структура) - в математиці це непорожня множина з заданим на ній набором операцій та відношень, що задовільняють деякій системі аксіом.
Циклічна група - це група, яка може бути породжена одним із своїх елементів. Тобто всі елементи групи є степенями даного елемента (або, використовуючи термінологію адитивних груп, всі елементи групи рівні ng, де g ∈ G , n ∈ Z } ).

34. Гомоморфізм кілець: означення, приклади.

Література: обов’язкова 1,3,
Розділ 4. Многочлени.
35. Побудова кільця многочленів від однієї змінної. Степінь многочлена.

36.! Теорема про ділення з остачею. Схема Хорнера

Теорема Безу.

37. Алгебраїчна і функціональна рівності многочленів.

38.! Кількість коренів полінома в комутативному кільці, яке не має дільників нуля.

Степінь многочлена - це найбільший із степенів всіх членів многочлена. Іноді степінь многочлена також називають порядком многочлена.
Комутативне кільце - кільце, в якому операція множення є комутативною.

39.! Подільність многочленів. 40.! НСД, НСК многочленів.

41.! Взаємно прості многочлени, їх властивості.

42.! Незвідні многочлени, їх властивості.

43.! Теорема про розклад многочлена на незвідні множники.

ОБОВ’ЯЗКОВА ЛІТЕРАТУРА

1.Фаддеев Д.А. Лекции по алгебре. – М.: Наука, 1984.

2.Уткіна С.В., Наришкіна Л.С. Алгебра і числові системи. – К.: Вища школа,1995

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977.

4 Виноградов И.М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1964


ДОДАТКОВА ЛІТЕРАТУРА

5. Ван дер Варден Б. Алгебра, – М.: Наука, 1979.

6. Ленг С. Алгебра. – М.: Мир, 1968.

7. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1975.



8. Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. – М.: Наука, 1980.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Символ_Лежандра
http://ru.wikipedia.org/wiki/RSA#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_RSA
http://ru.wikipedia.org/wiki/Циклическая_группа
http://ru.wikibooks.org/wiki/Комплексные_числа
і так далі



  • Примітка: Питання 38 - 43 виносяться на самостійне відпрацювання.
  • Алгоритм Евкліда
  • Кільця лишків
  • Алгебраїчні структури