Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Частина І комплексні числа та дії над ними

Скачати 320.96 Kb.

Частина І комплексні числа та дії над ними




Скачати 320.96 Kb.
Сторінка1/3
Дата конвертації28.04.2017
Розмір320.96 Kb.
  1   2   3

http://antibotan.com/ - Всеукраїнський студентський архів

ЧАСТИНА І

    1. Комплексні числа та дії над ними

Комплексним числом називається впорядкована пара дійсних чисел і , якщо для них визначені поняття рівності та операції додавання і множення наступним чином:

  1. Два комплексних числа та є рівними тоді і тільки тоді, якщо і .
    Додавання - бінарна арифметична операція, суть якої полягає в об'єднанні математичних об'єктів.
    Студе́нт (лат. studens, родовий відмінок studentis - «ретельно працюючий», «такий, що займається») - учень вищого, у деяких країнах і середнього навчального закладу.
    Ко́мпле́ксні чи́сла - розширення поля дійсних чисел, зазвичай позначається C } . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума x + i y , де x і y - дійсні числа, i - уявна одиниця.
    Впорядкована пара - в теорії множин така пара елементів a та b, для якої, на відміну від двоелементної множини, задається черговість (порядок) цих елементів. Для впорядкованої пари (a, b)=(b, a) ⇔ a = b, тобто в загальному випадку (а, b) ≠ (b, a).
    Дійсні числа - елементи числової системи, яка містить у собі раціональні числа і, в свою чергу, є підмножиною комплексних чисел. Математична абстракція, яка виникла з потреб вимірювання геометричних і фізичних величин навколишнього світу, а також виконання таких математичних операцій як добування кореня, обчислення логарифмів, розв'язування алгебраїчних рівнянь.


  2. Сумою (різницею) двох комплексних числа називається комплексне число .

  3. Добутком двох комплексних числа називається комплексне число .

Комплексне число називається уявною одиницею та позначається буквою.

За допомогою формули добутку комплексних чисел знайдемо :



.

Із формул суми та добутку комплексних чисел випливають рівності :



;

.

Таким чином, кожне комплексне число можна подати у вигляді . Такий запис називається алгебраїчною формою комплексного числа. Комплексне число виду називається чисто уявним.

Комплексне число прийнято позначати однією буквою , тобто . Число називається дійсною частиною, а число уявною частиною комплексного числа і позначаються відповідно: та .
Комплексне число називається комплексно спряженими до комплексного числа і позначається :

.

Очевидно, що тоді і тільки тоді коли - дійсне число.

Число називається модулем комплексного числа і позначається :

.

Очевидно, що , причому тоді і тільки тоді коли . Відмітимо ще такі формули, які випливають із означень модуля та спряженого комплексного числа:



, .

Операції додавання і множення володіють властивостями:



  1. Комутативності: ; ;

  2. Асоціативності: ; ;

  3. Дистрибутивності: .

Операція обернена до множення називається діленням, а діленим двох чисел та називається таке число , яке задовольняє рівнянню і позначається .

Якщо , то :



.

В прямокутній системі координат комплексне число зображується точкою площини із координатами і позначається тією ж буквою . Існує взаємнооднозначне відображення між комплексними числами та точками площини. Вісь абсцис називають дійсною віссю, а вісь ординатуявною віссю.

Ордината - одна з координат точки в декартовій системі координат. На (х, у)-графіку відповідає осі у, тоді як х відповідає абсцисі точки. Наприклад, точка з координатами (6, 3) має ординату 3.
Система координат - спосіб задання точок простору за допомогою чисел. Кількість чисел, необхідних для однозначного визначення будь-якої точки простору, визначає його вимірність. Обов'язковим елементом системи координат є початок координат - точка, від якої ведеться відлік відстаней.
Абсциса (лат. abscissa - відрізок) - одна з координат точки в декартовій системі координат. На (х, у)-графіку відповідає горизонтальній осі х, тоді як у відповідає ординаті точки. Наприклад, точка з координатами (6, 3) має абсцису 6.
Площина, на якій зображуються комплексні числа, називається комплексною площиною. Комплексне число зображується також вектором з початком в точці і кінцем в точці . Довжина вектора дорівнює модулю . Положення точки на комплексній площині однозначно визначається не тільки декартовими координатами , але і полярними координатами , де - відстань від точки до точки , а - кут між дійсною віссю та вектором , який відраховується від додатного напрямку дійсної осі.
Поло́ження - нормативно-правовий або локально-правовий акт, що визначає основні правила організації та діяльності державних органів, структурних підрозділів органу, а також установ, організацій і підприємств (філій), що їм підпорядковуються, тимчасово створюваних комісій, груп, бюро і т. ін.
Нор́ма - це функція, що задана на лінійному просторі і є узагальненням поняття довжини вектора.
Комплексна площина C } - множина впорядкованих пар ( x , y ) , де x , y ∈ R } . Зазвичай проводиться утотожнення комплексної площини і поля комплексних чисел C } за принципом ( x , y ) ≡ x + i y .
Полярна система координат - двовимірна система координат, в якій кожна точка на площині визначається двома числами - кутом та відстанню. Полярна система координат особливо корисна у випадках, коли відношення між точками найпростіше зобразити у вигляді відстаней та кутів; в більш поширеній, Декартовій, або прямокутній системі координат, такі відношення можна встановити лише шляхом застосування тригонометричних рівнянь.
При цьому якщо відлік ведеться проти годинникової стрілки, то величина кута є додатною.
Годинник (арх.: дзиґа́р, дзиґарі́) - пристрій для вимірювання часу.
Цей кут називається аргументом комплексного числа і позначається .

Аргумент комплексного числа є багатозначним і визначається з точністю до значення, кратного . Те значення , яке задовольняє нерівність , називається головним значенням аргументу і позначається :

Для обчислення головного значення аргументу комплексного числа можна використати формули



Зауважимо, що для комплексного числа його модуль дорівнює нулю, а аргумент не визначений.

Нерівність - твердження про те, що два математичні об'єкти є різними, тобто не дорівнюють один одному. Для елементів упорядкованих множин нерівність може додатково стверджувати, що один із двох елементів менший або більший від іншого.
Обчи́слення - є гілкою математики, зосередженою на функціях, похідних, інтегралах, і нескінченному ряду чисел. Цей предмет являє собою важливу частину сучасної математичної освіти. Воно складається з двох основних галузей - диференціального і інтегрального численнь, які пов'язують основні теореми обчислення.

Будь-яке комплексне число можна подати у тригонометричній формі

.

При матимемо . Комплексне число позначається символом , тобто функція для будь-якого дійсного числа визначається формулою Ейлера : . На основі цієї формули будь-яке комплексне число можна подати у показниковій формі:



.

Функція володіє звичайними властивостями показникової функції.

Озна́чення, ви́значення чи дефіні́ція (від лат. definitio) - роз'яснення чи витлумачення значення (сенсу) терміну чи поняття. Слід зауважити, що означення завжди стосується символів, оскільки тільки символи мають сенс що його покликане роз'яснити означення.
Показнико́ва або ж Експоненці́йна фу́нкція - функція виду f ( x ) = a x \,\!} , де a - стале число (додатне, але не дорівнює одиниці).
Подамо операції множення та ділення комплексних чисел у тригонометричній та показниковій формах. Нехай задано два комплексних числа:



.

Тоді


,

.

Комплексне число називається коренем степені із числа (позначається ), якщо . Для добування кореня -го степеня з комплексного числа використовують формулу:



У результаті отримаємо різних значень , які будуть вершинами правильного - кутника, вписаного в коло радіуса з центром у точці нуль.

Результат, пі́дсумок, (заст. ску́ток, вислід) - кінцевий наслідок послідовності дій. Можливі результати містять перевагу, незручність, вигоду, збитки, цінність і перемогу. Результат є етапом діяльності, коли визначено наявність переходу якості в кількість і кількості в якість.

Приклади:


  1. Знайти модуль та головне значення аргументу комплексного числа .

Розв’язування:

.

  1. Знайти дійсну та уявну частини комплексного числа .

Розв’язування:



  1. Знайти дійсну та уявну частини комплексного числа:



  1. Знайти всі корені рівняння

Розв’язування:




    1. Функції комплексної змінної

Кожному комплексному числу відповідає точка комплексної площини С.
Рівняння - аналітичний запис задачі знаходження аргументів, при яких дві задані функції рівні між собою.
Якщо змінюється відповідно до тих чи інших умов, то в цьому випадку ми маємо справу з комплексними змінними . Всім значенням комплексної змінної , де , взаємно однозначно відповідає сукупність всіх точок площини С, яку називають площиною комплексної змінної . Комплексна площина, доповнена нескінченно віддаленою точкою , називається розширеною площиною комплексної змінної і позначається .

Нехай - множина точок комплексної площини. Точка називається внутрішньою точкою множини , якщо досить малий окіл цієї точки повністю належить множині . Множина називається відкритою, якщо кожна її точка є внутрішньою для неї.



Проколеним -околом точки називають множини точок , які задовольняють нерівність і позначається .

Непорожня множина комплексної площини чи розширеної комплексної площини називається областю, якщо виконуються такі умови:

- вона відкрита, тобто разом з кожною своєю точкою містить деякий окіл цієї точки;

- вона зв’язна, тобто будь-які дві її точки можна сполучити деякою ламаною , всі точки якої належать цій множині .

Точка називається межовою точкою області , якщо в кожному її околі містяться точки, що належать і що не належать цій області.

Множина всіх межових точок області називається межею цієї області.

Якщо при русі вздовж межі область весь час залишається зліва, то такий напрям орієнтації межі називається додатним обходом.

Орієнтація, в класичному випадку - вибір одного класу систем координат, пов'язаних між собою «додатньо» в деякому певному сенсі. Кожна система задає орієнтацію, визначаючи клас, до якого вона належить.

Об’єднання області з її межею , називається замкненою областю (замиканням області ) і позначається .

Область, для якої будь-який замкнений контур, що повністю належить області, можна неперервно деформувати в точку, не виходячи за межі області називається однозв’язною. У протилежному випадку область називається багатозв’язною.

Нехай на множині комплексної площини визначена комплекснозначна функція комплексної змінної , тобто кожній точці поставлено у відповідність комплексне число . Цю функцію можна подати у вигляді , де , . Таким чином, комплекснозначну функцію комплексної змінної можна розглядати як пару дійсних функцій двох дійсних змінних. Наприклад, функція ставить у відповідність кожному комплексному числу число ; ця функція визначена у всій скінченій комплексній площині, а якщо покласти , то вона буде визначеною і у всій розширеній площині.

Функція комплексної змінної називається однозначною, якщо вона кожній точці ставить у відповідність лише одне значення .

Множину значень функції в точці називають образом точки при відображенні .



Основні елементарні функції комплексної змінної

  • Показникова функція: .
    Елемента́рні фу́нкції - клас функцій, що містить в собі степеневі функції, многочлени, показникові функції, логарифмічні функції, тригонометричні функції, обернені тригонометричні функції, а також функції, що отримуються із перелічених вище за допомогою чотирьох арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення) та композиції, застосованих скінченну кількість разів.


  • Тригонометричні функції: ,

, .

  • Гіперболічні функції: .

  • Логарифмічна функція:

де - головне значення функції .

  • Загальна степенева функція: ,

де - головне значення функції.
Степене́ва функція - функція вигляду f ( x ) = x a \!\ } , де a - дійсне число.


  • Загальна показникова функція:

де - головне значення функції.

Приклад

Знайти вирази для дійсної та уявної частин функції .

Розв’язування:



.

Звідки




  1   2   3


Скачати 320.96 Kb.

  • Вісь абсцис
  • Довжина вектора
  • Функції комплексної змінної
  • Основні елементарні функції