Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Дікарєв О. В. Цифрова обробка сигналів

Дікарєв О. В. Цифрова обробка сигналів




Сторінка1/16
Дата конвертації16.06.2017
Розмір1.45 Mb.
ТипПротокол засідання
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16



Дікарєв О.В.

ЦИФРОВА
ОБРОБКА СИГНАЛІВ


  1. Учбово-методичний посібник


2009

Державний комітет зв’язку та інформатизації України

Міністерство освіти і науки України

Державний університет інформаційно-комунікаційних технологій


Дікарєв О.

Інформатиза́ція - сукупність взаємопов'язаних організаційних, правових, політичних, соціально-економічних, науково-технічних, виробничих процесів, що спрямовані на створення умов для задоволення інформаційних потреб громадян та суспільства на основі створення, розвитку і використання інформаційних систем, мереж, ресурсів та інформаційних технологій, які побудовані на основі застосування сучасної обчислювальної та комунікаційної техніки.

Інформац́ійно-комун́ікаційні технол́огії (ІКТ, від англ. Information and communications technology, ICT) - часто використовується як синонім до інформаційних технологій (ІТ), хоча ІКТ це загальніший термін, який підкреслює роль уніфікованих технологій та інтеграцію телекомунікацій (телефонних ліній та бездротових з'єднань), комп'ютерів, підпрограмного забезпечення, програмного забезпечення, накопичувальних та аудіовізуальних систем, які дозволяють користувачам створювати, одержувати доступ, зберігати, передавати та змінювати інформацію. Іншими словами, ІКТ складається з ІТ, а також телекомунікацій, медіа-трансляцій, усіх видів аудіо і відеообробки, передачі, мережевих функцій управління та моніторингу. Вираз вперше було використано в 1997 році у доповіді Денніса Стівенсона для уряду Великої Британії, який посприяв створенню нового Національного навчального плану Великої Британії в 2000 році.

В.


ЦИФРОВА
ОБРОБКА СИГНАЛІВ


  1. Учбово-методичний посібник



2009

Учбово-методичний посібник О.В.ДікарєваЦифрова обробка сигналівбув затверджений на кафедрі обчислювальній техніки ДУІКТ.
Протокол засідання кафедри №1 від 1.09.2009 р.

  • Тема №1



Математичний апарат цифрової

обробки сигналів
Ціль. Вивчення особливостей математичного апарата опису сигналів і лінійних систем.
ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ
У 1933р. у матеріалах 1-му Всесоюзному з'їзду по електротехніці В.О. Котельніков сформулював свою відому теорему про дискретизацію сигналів: “Будь-яку функцію f(t), що складається з частот від 0 до f(max) можна передавати з будь-якою точністю за допомогою чисел, що випливають друг за другом через інтервали 1/2f(max) секунд”. Як числа фігурують миттєві значення функції. З цього часу цифрова обробка сигналів одержала своє визнання як наука.

Дискретиза́ція - перетворення функцій неперервних змінних у функції дискретних змінних, за якими початкові неперервні функції можуть бути відновлені із заданою точністю. Роль відліків виконують квантовані значення функцій.

Електроте́хніка (рос. электротехника, англ. electrical engineering, нім. Elekrotechnik f) - галузь науки і техніки, пов'язана із застосуванням електричних і магнітних явищ для перетворення енергії, добування і зміни складу хімічних речовин, виробництва та обробки матеріалів; галузь, що охоплює питання отримання (виробництва), розподілу, перетворення і застосування електроенергії.

Матеріа́л - речовина, або суміш речовин, первинний предмет праці, який використовують для виготовлення виробу (основний матеріал), або які сприяють якимось діям. У останньому випадку уточнюють, що це допоміжний, чи витратний матеріал.

Поло́ження - нормативно-правовий або локально-правовий акт, що визначає основні правила організації та діяльності державних органів, структурних підрозділів органу, а також установ, організацій і підприємств (філій), що їм підпорядковуються, тимчасово створюваних комісій, груп, бюро і т. ін.

Цифрова обробка сигналів (ЦОС - англ. digital signal processing, DSP) - перетворення сигналів, представлених у цифровій формі.



§1. Комплексні числа
Сигнали, з якими приходиться мати справу в ЦОС, звичайно мають значення з області дійсних чисел.

Дійсні числа - елементи числової системи, яка містить у собі раціональні числа і, в свою чергу, є підмножиною комплексних чисел. Математична абстракція, яка виникла з потреб вимірювання геометричних і фізичних величин навколишнього світу, а також виконання таких математичних операцій як добування кореня, обчислення логарифмів, розв'язування алгебраїчних рівнянь.

Ко́мпле́ксні чи́сла - розширення поля дійсних чисел, зазвичай позначається C } . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума x + i y , де x і y - дійсні числа, i - уявна одиниця.

Однак математичні вираження для ряду Фур'є в комплексній формі набагато простіше і з ними постійно приходиться працювати.

Пра́ця - цілеспрямована діяльність людей зі створення матеріальних і духовних благ, необхідних для задоволення потреб кожного індивіда і суспільства в цілому.



Комплексне число z представляється як z=a jb, де j-мнима одиниця, значення модуля дорівнює , а аргумент кут між вектором z і віссю абсцис: φ=arctg(b/a). Два числа z=a jb і z=a-jb називаються комплексно-сполученими. Вісь абсцис називається дійсною, а вісь ординат мнимою. Розміщення комплексного числа у виді вектора в комплексній формі предсавлено на рис.1. Поруч показана тригонометрична форма представлення комплексного числа з модулем (радіусом), що дорівнює 1.
Im Im

Комплексна область

z=a jb

Два комплексно-

Re сполучені числа

z=a-jb
Рис.1. Графічне представлення комплексно-сполучених чисел і формули Ейлера
На підставі тригонометричної форми комплексного числа можливий перехід до його показової форми і формули Ейлера.

Її легко получити, якщо тригонометричні функції й експоненту представити їх розкладанням у ряд Тейлора і порівняти результати:

На підставі формули Ейлера тригонометричні функції записуються як:



Відзначимо, що функції exp(jkx) і exp(-jkx) є сполученими.

Тригономе́трія (від грец. τρίγονο - трикутник та μετρειν - вимірюю, тобто буквально вимірювання трикутників) - розділ елементарної математики, що лежить на перетині алгебри та геометрії і вивчає співвідношення між сторонами й кутами трикутників, дозволяючи проводити кутові обчислення через спеціально визначені функції кутів.

Формула Ейлера - співвідношення, що пов'язує комплексну експоненту з тригонометричними функціями. Названа на честь Леонарда Ейлера, який її запропонував.

Тригонометри́чні фу́нкції - це функції кута. Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін та кута трикутника або як відношення координат точок кола.


§ 2. Три способи опису аналогових і дискретних

лінійних систем і сигналів
На практиці для спрощення обчислень використовується три способи математичного опису аналогових і дискретних лінійних систем і сигналів, між якими не скрізь мається взаємо-однозначна відповідність:
  1. а) Перетворення Лапласа. Математичний опис аналогових сигналів і лінійних систем виконується в деякій абстрактній комплексній р(чи s) – області Лапласа. Використовуються однобічні і двосторонні перетворення Лапласа.


Оператор Лапласа р= jк. Однобічне пряме і зворотне перетворення Лапласа для функцій f(t), задовольняющих умові Дирихле, має вид:



Перетворення F(p) зветься ‘зображенням’ функції f(t), а f(t)- оригіналом функції.

Практика (грец. πράξις «діяльність») - доцільна і цілеспрямована діяльність, яку суб'єкт здійснює для досягнення певної мети. Практика має суспільно-історичний характер і залежить від рівня розвитку суспільства, його структури.

Оригінал - (від лат. originalis - первісний) - первісний, справжній.

Обчи́слення - є гілкою математики, зосередженою на функціях, похідних, інтегралах, і нескінченному ряду чисел. Цей предмет являє собою важливу частину сучасної математичної освіти. Воно складається з двох основних галузей - диференціального і інтегрального численнь, які пов'язують основні теореми обчислення.

Перетворення Лапла́са - інтегральне перетворення, що зв'язує функцію F ( s ) комплексної змінної (зображення) з функцією f ( x ) дійсної змінної (оригінал). З його допомогою досліджуються властивості динамічних систем і розв'язуються диференціальні і інтегральні рівняння.

С – замкнутий контур в області збіжності інтеграла по контуру існування функції.

Інтеграл - центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі.

Існува́ння (від екзистенція) - центральне поняття екзистенціалізму, унікальна особистісна сутність людини, що втілює в собі духовну, психоемоційну неповторність особи.



Перетворення Лапласа існує для дійсної області Re(p)=c, якщо при деякім значенніСсходиться інтеграл для абсолютного значення подинтегральной функції f(t): .

б) Перетворення Фур'є. Математичний опис аналогових сигналів і лінійних систем виконується в конкретній частотно-часовий комплексній р(чи s) області, де р=j, тут ω -кругова частота ω=2πf, f=1/T, T-період повторення сигналу.

Ана́логовий сигна́л - сигнал (напруга, струм тощо), неперервний на всьому проміжку часу. Аналоговий сигнал є або вираженим синусоїдальним коливанням, або, у загальному випадку, розкладеним у ряд (Фур'є) накладанням синусоїдальних коливань певної амплітуди і частоти.

j-мнима одиниця. Оскільки р=jω, перетворення Фур'є тотожно перетворенню Лапласа на комплексній осі jω р-плоскості. Відповідно, однобічне пряме і зворотне перетворення Фур'є для функцій f(t), задовольняющих умові Дирихле, має вигляд:



  1. в) Z-перетворення. При дослідженні дискретних сигналів і лінійних дискретних систем замість аналогового і дискретного перетворення Лапласа математики використовують так називане Z-перетворення, що виходить з перетворення Лапласа шляхом заміни перемінних z=exp(p).

    Дослі́дження, до́сліди - (широко розуміючи) пошук нових знань або систематичне розслідування з метою встановлення фактів; (вузько розуміючи) науковий метод (процес) вивчення чого-небудь.

    При цьому аналогова функція f(t) розбивається на дискрети згідно теореми Котельнікова-Найквиста і стає ґратчастою f(n), T-інтервал дискретизації, n-номер вибірки. Вихідна аналогова функція f(t) у результаті дискретизації представляється у виді ґратчастої функції f(n), а F(z)- її z-перетворення має вид:

  2. .


В останній формулі n-номер дійсної чи комплексної вибірки сигналу, f(n) – оригінал- послідовність дійсних або комплексних відліків, а F(z)-z-зображення функції f(n).

Вибірка - це множина об'єктів, подій, зразків або сукупність вимірів, за допомогою визначеної процедури вибраних з статистичної популяції або генеральної сукупності для участі в дослідженні. Зазвичай, розміри популяції дуже великі, що робить прийняття до уваги всіх членів популяції непрактичним або неможливим.

Послідо́вність - функція визначена на множині натуральних чисел яка набуває значення на об'єктах довільної природи. f : N → X \,\rightarrow \,\!X} .

Результат, пі́дсумок, (заст. ску́ток, вислід) - кінцевий наслідок послідовності дій. Можливі результати містять перевагу, незручність, вигоду, збитки, цінність і перемогу. Результат є етапом діяльності, коли визначено наявність переходу якості в кількість і кількості в якість.


§ 3. Співвідношення між р- і Z-площинами
Z-перетворення через оператор Лапласа р= jк задається як z=exp(p) і є комплексною величиною, яку можна записати в такий спосіб

z=m jn,

або в полярних координатах z=r*exp(j*Θ), де



Доведено, що z-перетворення має сенс тільки в тому випадку, якщо сходиться інтеграл
  1. ,


а критерієм цього є збіжність (кінцевість) z – перетворення F(z) часової функції f(t) і збіжності її до деякого радіуса збіжності R, що задаєтся у такий спосіб:



Умовно графічно це показано на рис.

Крите́рій (від лат. critērium, яке зводиться до грец. χριτήριον - здатність розрізнення; засіб судження, мірило, пов'язаного з грец. χρινω - розділяю, розрізняю) - мірило, вимоги, випробування для визначення або оцінки людини, предмета, явища; ознака, взята за основу класифікації.

Полярна система координат - двовимірна система координат, в якій кожна точка на площині визначається двома числами - кутом та відстанню. Полярна система координат особливо корисна у випадках, коли відношення між точками найпростіше зобразити у вигляді відстаней та кутів; в більш поширеній, Декартовій, або прямокутній системі координат, такі відношення можна встановити лише шляхом застосування тригонометричних рівнянь.

2:

Вісь jn

jR


-R R

Вісь m


Область збіжності

│z│>R>0


-jR
Рис.2. Область збіжності z-перетворення
Продовжимо розгляд взаємозв'язку p- і z-площин, що визначається наступним ланцюжком рівностей:

З урахуванням формули Ейлера і величини одного періоду множника, що повертає, exp(-j)=2, останнє вираження перетвориться таким чином:



Найбільш характерні точки відповідності p- і z-площин:

  • Точка р-площини з координатами m=0 і n=0 відображається в точку z-площини з координатами d=1 і g=0:



  • Точка р-площини з координатами m=0 і n=π/2T відображається в точку z-площини з координатами d=0 і g=1:



Точки р-площини з координатами m=0 і n=±π/T відображається в точку z-площини з координатами d=-1 і g=-1:



Усі ці точки р-площини лежать на мнимій осі (m=0) [n-π/T, n π/T]. Цим точкам відповідають такі точки z-площини:



Ці точки відповідають одиничної окружності, коли мнима вісь збігається з нескінченним числом одиничних співпадаючих кіл, що проектуються на мниму вісь.

  • Точки лівої р-полуплоскості з координатами m=<0 відображається усередину кола одиничного радіуса, оскільки:



  • Центру кола на z-площині (z=0) відповідає точка р-площини з координатами m=-∞ і n=0, тому що:


Завдання 1


  1. Вивчити математичний апарат опису лінійних аналогових систем і сигналів.

    Матема́тика (грец. μάθημα - наука, знання, вивчення) - наука, яка первісно виникла як один з напрямків пошуку істини (у грецькій філософії) у сфері просторових відношень (землеміряння - геометрії) і обчислень (арифметики), для практичних потреб людини рахувати, обчислювати, вимірювати, досліджувати форми та рух фізичних тіл.



  2. Пояснити необхідність опису дійсних сигналів математичним апаратом комплексних чисел.

    Необхідність - система зв'язків і відносин, що зумовлює зміну, поступальний рух, розвиток у жорстко визначеному напрямку з жорстко визначеними результатами. Іншими словами, необхідність - це такий зв'язок, що обов'язково призводить до певної події.

    Математичний апарат - сукупність математичних знань, понять і методів, що застосовуються в деякій області науки, а тому необхідних для її розуміння й успішної в ній роботи. Наприклад, математичним апаратом класичної механіки є математичний аналіз та теорія диференціальних рівнянь, математичним апаратом квантової механіки є функціональний аналіз, математичним апаратом статистики є теорія ймовірності тощо.



  3. Чим заміняються аналогові сигнали в ЦОС?

  4. Що дає використання формули Ейлера.

  5. Пояснити доцільність переходу від опису дискретних сигналів дискретним перетворенням Фур'є до z-перетворення.

Висновки за завданням 1 повинні містити порівняльну оцінку способів і методів опису аналогових і дискретних сигналів і лінійних систем, прийнятих у ЦОС.

Задача - проблемна ситуація з чітко визначеною метою, яку необхідно досягти; в більш вузькому сенсі задачею називають також цю саму мету, що дана в рамках проблемної ситуації, тобто те, що необхідно виконати.



  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16



  • Учбово-методичний посібник
  • Тема №1