Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Фрактальна графіка

Скачати 83.27 Kb.

Фрактальна графіка




Скачати 83.27 Kb.
Дата конвертації28.04.2017
Розмір83.27 Kb.

ФРАКТАЛЬНА ГРАФІКА

Створення фрактальної художньої композиції полягає не в малюванні, а в програмуванні. У програмних засобах зображення автоматично генеруються шляхом математичних розрахунків. Цей вид графіки використовується при створенні заставки на ТВ.

Базовим елементом фрактальної графіки є сама математична формула, ніяких об’єктів в пам’яті комп’ютера не зберігається і зображення будується по рівняннях.

У математиці та інших науках, формула (лат. formula - форма, правило) - коротка форма символічного запису інформації (як у математиці чи хімії), або загальне відношення між величинами. Одна з найпопулярніших формул належить Альберту Ейнштейну E = mc².

Згідно означення фрактал – це структура, що складається з частин, які подібні до цілого.

Поняття фрактал вперше ввів Мандельброт. Ще до нього видатними вченими були відкриті класичні фрактали: множини Кантора, криві Пеано, функції Вейєрштрасса, сніжинки Коха, і коврик Серпинського. Але тільки Мандельброт та його учні зуміли звести розрізнені фрактали в єдину струнку науку, відкривши при цьому нові фрактали, які моделювали різні природні об’єкти та явища. Завдяки виходу фундаментальних праць по фрактальній геометрії розпочалося її широке застосування для опису різноманітних явищ та процесів – від фрактального броунівського руху до кіноіндустрії [1,2].

Крива́ Ко́ха - фрактальна крива, описана в 1904 році шведським математиком Хельге фон Кохом. Крива Коха цікава тим, що ніде не має дотичних, тобто ніде не диференційована, хоча всюди неперервна.

Множина Кантора - підмножина відрізку дійсних чисел [0,1], запропонована німецьким математиком Георгом Кантором.

Бро́унівський рух - невпорядкований, хаотичний рух частинки під дією нерівномірних ударів молекул речовини з різних сторін в розчинах. Названий на честь ботаніка Роберта Броуна, який спостерігав це явище під мікроскопом у 1827 р..

В основі концепції фрактальності лежить властивість виділяти об’єкти різного масштабу згідно ієрархічного принципу організації Всесвіту. Основна гіпотеза, що лежить в основі фракталів – це само подібність. тобто вигляд фрактальної структури не змінюється при обмежених масштабних перетвореннях. Фрактальним підходом можна описувати структури неживої природи: лінії берегів, рельєф місцевості [3], обриси хмар, структури корисних копалин, так і живої: системи кровообігу людини, будови нирок і легенів, які нагадують по структурі дерева з кроною, процесів: економічних, водоспадів, турбулентних процесів, які використовуються при прогнозі погоди.

Ко́рисні копáлини - мінеральні утворення земної кори, хімічний склад і фізичні властивості яких дають змогу ефективно використовувати їх у сфері матеріального виробництва. За В .С .Білецьким та В. О. Смирновим, корисними копалинами називають природні мінеральні речовини, які за сучасного рівня розвитку техніки можна з достатньою ефективністю використовувати у господарстві безпосередньо або після попередньої обробки.

Кровоо́біг - процес постійної циркуляції крові в організмі, що забезпечує його життєдіяльність. Кровоносну систему організму іноді об'єднують із лімфатичною системою в серцево-судинну систему.

Алгоритми фрактальної геометрії використовують для стиснення зображень [4], дистанційному зондуванні і радіолокації [5], моделюванні фракталоподібних розсіювальних систем [6], еволюційних обчисленнях [7], тощо.

Сти́снення зобра́жень - використання алгоритмів стиснення даних до зображень, що зберігаються в цифровому виді. В результаті стиснення зменшується розмір зображення, що зменшує час передачі зображення по мережі і економить простір для зберігання.

Фракта́л (лат. fractus - подрібнений, дробовий) - нерегулярна, самоподібна структура. В широкому розумінні фрактал означає фігуру, малі частини якої в довільному збільшенні є подібними до неї самої. Термін фрактал увів 1975 року Бенуа Мандельброт.


Самоподібність фракталів використовується для синтезу зображень об’єктів природи, яким теж властива самоподібність, наприклад, листу папороті (рисунок 1.8 ).

Рисунок 1.8 – Самоподібність листа папороті


Для порівняння, на рисунку 1.9 показано зображення листа папороті, згенерованого за допомогою фрактальної графіки. Помітно, що і в даному випадку яскраво простежується самоподібність.

Рисунок 1.9 – Самоподібність фракталу (лист папороті)


В самому загальному випадку невелика частина фрактального зображення містить інформацію про весь фрактал.

Звідси випливає, що елементарним примітивом фрактальної графіки є фрактал. В зв’язку з великою різноманітністю фракталів, використання засобів фрактальної графіки для синтезу реалістичних зображень стає дуже складною справою.

Роль фракталів в машинній графіці на цей час є досить великою. За їх допомогою можна задати криві або поверхні дуже складної форми. Фрактальна графіка активно використовується при генерації зображень, яким властива самоподібність – хмар, гір, поверхні моря.

Фрактальна графіка - технологія створення зображень на основі фракталів. Фрактальна графіка базується на фрактальній геометрії.


В загальному, в залежності від способу побудови зображення фракталу, всі фрактали поділяються на дві великі групи [19]:

- детерміновані (або класичні) фрактали;

- стохастичні (або випадкові) фрактали.

Детерміновані фрактали розділяють на геометричні та алгебраїчні.



Геометричні фрактали – це найбільш наглядні і найпростіші для розуміння. В двовимірному випадку їх отримують за допомогою деякої ламаної кривої (або поверхні для тривимірного випадку). За кожен крок побудови кожен відрізок ламаної замінюється на „криву-генератор” з відповідною зміною масштабу. В результаті великої кількості повторень цих кроків , ми отримаємо геометричний фрактал. На рисунку 1.10 показано побудову геометричного фракталу, відомого під назвою „тріадна крива Коха” для кількості кроків .

Рисунок 1.10 – Побудова тріадної кривоі Коха


Побудова кривої починається з відрізку одиничної довжини – це нульове покоління кривої Коха. Далі кожен відрізок (в нульовому поколінні одинична лінія) замінюється на „генератор”, який позначений через .

В результаті такої заміни отримується наступне покоління кривої Коха. В першому поколінні – це крива з чотирьох прямих відрізків, кожний з яких довжиною 1/3. Для генерації наступного покоління виконуються ті самі дії – кожен відрізок замінюється на зменшений утворюючий елемент або „генератор”.

Отже, для отримання кожного наступного покоління, всі відрізки попереднього покоління необхідно замінити зменшеним утворюючим елементом. Крива n-го покоління при будь-якому кінцевому n не є фракталом, а тільки передфрактальним об’єктом. Лише при крива Коха стає фрактальним об’єктом.

Розмірність даної кривої визначається як:



(1.3),

де - кількість рівних частин початкового відрізку;



- коефіцієнт подібності.

В даному випадку За формулою (1.3) розмірність даного фракталу буде .

В результаті отримується крива нескінченної довжини, яка заповнює обмежену множину на площині.

Тріадна крива Коха також використовується для побудови іншого фракталу – сніжинки Коха (рисунок 1.11). Для цього будується рівносторонній трикутник, і описані вище операції проводяться над кожною з його сторін.

Обмежена множина у математичному аналізі, і прилеглих розділах математики - множина, яка у певному сенсі має скінченний розмір. Базовим є поняття обмеженості числової множини, яке узагальнюється на випадок довільного метричного простору, а також на випадок довільної частково упорядкованої множини.

Рівносторонній трикутник - трикутник, усі сторони якого рівні. В Евклідовій геометрії всі три кути рівностороннього трикутника також рівні. Тому рівносторонні трикутники є правильними многокутниками і мають назву правильних.

При отримується замкнена крива нескінченної довжини, яка охоплює скінченну площу.


Рисунок 1.11 – Побудова „сніжинки” Коха (0, 1, 2 кроки)


Такий підхід для побудови зображень геометричних фракталів використовується в алгоритмах L-систем (L-systems). Поняття L-систем було розроблено біологом Арістидом Ліндермауером, який використовував їх для побудови зображень, які дуже схожі на природні – листки, траву і т. д. (рисунок 1.12). Метод для побудови зображення отримав назву “turtle-method” або „метод черепашки”.

Рисунок 1.12 – Зображення, створені за допомогою L-систем


Для генерації деяких інших геометричних фракталів, наприклад, для трикутника (або ковра) Серпінського використовується інший підхід. Він базується на ітеративному алгоритмі, що полягає в дії на початкову множину стискаючими відображеннями, які на великій кількості ітерацій зводять початкове зображення до зображення фракталу. Цей алгоритм був розроблений американським вченим Майклом Барнслі і отримав назву система ітерованих функцій (СІФ). На рисунку 1.13 зображено фрактал, який називається ковром Серпінського.

Рисунок 1.13 – Трикутник Серпінського


Розмірність даного фракталу за формулою (1.

Трикутник Серпінського - фрактал, один із двовимірних аналогів множини Кантора. Був запропонований польським математиком Вацлавом Серпінським в 1915 році. Цей трикутник один з найбільш ранніх відомих прикладів фракталів.

3):
.

Алгебраїчні фрактали є найбільшою групою фракталів. Їх отримують за допомогою нелінійних процесів в n-мірних просторах. Найчастіше використовуються двовимірні простори.

Нелінійні динамічні системи мають кілька стабільних станів.

Динамі́чна систе́ма - математична абстракція, призначена для опису і вивчення систем, що еволюціонують з часом. Прикладом можуть служити механічні системи (рухомі групи тіл) або фізичні процеси.

Той стан, в який перейшла динамічна система після деякої кількості ітерацій, залежить від її початкового стану. Кожен стабільний стан, або атрактор, володіє деякою областю початкових станів, із яких система обов’язково потрапить в цей кінцевий стан (атрактор). Таким чином фазовий простір системи розбивається на області протягування атракторів. Якщо фазовим є двовимірний простір, то присвоюючи кожній області протягування свій колір можна отримати кольоровий фазовий портрет цієї системи (ітераційного процесу).

Найвідоміший алгебраїчний фрактал – це множина Мандельброта (рисунок 1.15).

Рисунок 1.15 – Множина Мандельброта


Алгоритм побудови цієї множини базується на ітеративному виразі:
, (1.10)
де , комплексні числа.

Фáзовий прóстір - багатовимірний простір змінних динамічної системи.

Множина Мандельброта - обмежена та зв’язна множина на комплексній площині, межа якої утворює фрактал. Названа на честь Бенуа Мандельброта, який вивчав і популяризував її.

Ко́мпле́ксні чи́сла - розширення поля дійсних чисел, зазвичай позначається C } . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума x + i y , де x і y - дійсні числа, i - уявна одиниця.


Ітерації виконуються для кожної стартової точки прямокутної чи квадратної області – підмножини комплексної площини.

Комплексна площина C } - множина впорядкованих пар ( x , y ) , де x , y ∈ R } . Зазвичай проводиться утотожнення комплексної площини і поля комплексних чисел C } за принципом ( x , y ) ≡ x + i y .

Ітераційний процес обчислення за формулою (1.10) продовжується до тих пір, поки не вийде за межі кола радіусу 2, центр якого знаходиться в точці (0,0) (рисунок 1.15). В такому випадку це означає, що атрактор динамічної системи знаходиться в нескінченності.

Якщо протягом великої кількості ітерацій (200-500) сходиться до якої-небудь точки кола, то це означає що система перейшла в стабільний стан (знайдено атрактор в межах кола).

Змінювати колір можна в залежності від кількості ітерацій, протягом яких точка знаходилась в колі 2. якщо система перейшла в стабільний стан, то колір точки можна позначити чорним.

Описаний метод побудови дає наближення до множини Мандельброта. До множини Мандельброта належать ті точки, які протягом нескінченної кількості ітерацій не „вилітають” в нескінченність. За допомогою описаного метода, використовуючи різні функції комплексної змінної, можна отримати безліч різноманітних алгебраїчних фракталів.

Всі алгебраїчні фрактали базуються на комплексній динаміці.

Множина Мандельброта є частковим випадком множини Жюліа. В загальному випадку множину Жюліа можна записати у вигляді



(1.11)
де – деяка комплексна функція (як правило, квадратична),

– комплексна змінна.
Тобто зображення алгебраїчного фракталу – це точки на комплексній площині, які визначаються атракторами нелінійної динамічної системи, що представляється ітеративним обчисленням деякої функції від комплексного числа (1.11).

Стохастичні фрактали отримуються в тому випадку, коли в ітераційному процесі побудови детермінованого фракталу випадково змінювати які-небудь його параметри. Отримані „рандомізовані” фрактали можуть бути використані для генерування берегової лінії, поверхні моря.

Але для моделювання широкого спектру „природніх” фракталів, таких як гори, хмари, поверхні лісових масивів, простої випадкової зміни одного із параметрів побудови статичного фракталу, не завжди достатньо.

Береговá лíнія (або ще бережина, бережиця) - межа між суходолом та поверхнею будь-якої водойми (моря, озера, водосховища тощо). Берегова лінія невпинно змінюється внаслідок припливів та відпливів, абразії, евстатичних (постійних) коливань рівня Світового океану та тектонічних рухів.

Ліс - це сукупність землі, рослинності, в якій домінують дерева та чагарники, тварини, мікроорганізми та інші природні компоненти, що в своєму розвитку біологічно взаємопов'язані, впливають один на одного і на навколишнє середовище.

Для цієї цілі використовують інший клас фрактальних об’єктів, які базуються на фрактальному броунівському русі – випадковому процесі, який дуже широко представлений в природі (броунівський рух маленьких твердих часток в воді).

Найпростішою дискретною апроксимацією броунівського руху є одномірне випадкове блукання. В цьому випадку частка спочатку розташовується в точці на прямій. Частка виконує одиничний шаг вправо чи вліво в залежності від випадкового вибору. Цей процес проходить ітеративно. Для кожного виконується:

, (1.12)

де , - точки прямої.

Точнішим наближенням до реального броунівського руху є заміна кроків ±1 випадковими величинами , які мають розподіл Гауса.

Випадкове блукання - математичний формалізм, описуючий траєкторію, яка утворюється при здійсненні послідовних випадкових кроків. Багато різних типів випадкових блукань представляють інтерес. Найчастіше розглядаються випадкові блукання, які є ланцюгами Маркова, але інші, складніші види блукань також представляють інтерес.

Випадкова величина (англ. Random variable) - одне з основних понять теорії ймовірностей.

В такому випадку вираз (1.12) перепишеться як

(1.13)

На рисунку 1.16 показаний графік броунівського руху.


Рисунок 1.16 – Графік броунівського руху


За допомогою реалізації броунівського руху на площині, моделюється гірський рельєф (рисунок 1.17).

Рисунок 1.17 – Моделювання гірського рельєфу (броунівський рух на площині)



Для синтезу зображень фрактальної графіки існує не дуже багато програмних продуктів.

Програ́мний проду́кт (англ. programming product) - це: програмний засіб, програмне забезпечення, які призначені для постачання користувачеві (покупцеві, замовникові). програма, яку може запускати, тестувати, виправляти та змінювати будь-яка людина.

Рельє́ф (англ. relief; нім. Relief; фр. relief від лат. relevo - піднімаю) - сукупність нерівностей поверхні суходолу, дна океанів і морів, різноманітних за обрисами, розмірами, походженням, будовою, віком та історією розвитку.

Серед них немає визнаного лідера, як в програмах растрової і векторної графіки.

Ве́кторна гра́фіка (також геометричне моделювання або об'єктно-орієнтована графіка) - створення зображення в комп'ютерній графіці з сукупності геометричних примітивів - (точок, ліній, кривих, полігонів), тобто об'єктів, які можна описати математичними виразами.

Також особливістю цих програм є те, що вони використовують фрактальний підхід до синтезу зображень разом із звичним набором інструментів растрової і векторної графіки. Відомі фрактальні редактори – Fractal Design Painter, Bruce, Fractint.

Fractal Design Painter – це програма для створення растрових ілюстрацій засобами фрактальної графіки. Окрім генератора фрактальних зображень, в цій програмі наявна велика кількість різноманітних фільтрів від Adobe Photoshop. Також реалізована можливість використовувати для побудови фрактальних зображень інструменти синтезу простої растрової графіки („олівець”, „кисть” і т. д.).
Каталог: my downloads -> learning
learning -> 1. Основи моделювання інформаційних систем Загальне поняття системи. Еволюційні системи
learning -> Технічні пристрої, що використовуються в комп'ютерній графіці
learning -> Лабораторна робота №3 Тема роботи: прототипування інтерфейсів веб-сайтів
learning -> Програма з курсу "Web-дизайн"
learning -> Тема Вступ до нейронних мереж Самоадаптація та організація прикладних нейронних систем
learning -> Вступ до компютерної графіки різновиди комп'ютерної графіки
learning -> Тема Предмет І метод історії економіки та економічної думки
learning -> Конспект лекцій з дисципліни " дискретна математика" для студентів заочної форми навчання спеціальностей


Скачати 83.27 Kb.