Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Го порядку Загальні властивості лінійних однорідних диференціальних рівнянь

Го порядку Загальні властивості лінійних однорідних диференціальних рівнянь




Сторінка1/3
Дата конвертації28.04.2017
Розмір0.59 Mb.
  1   2   3

Розділ 5. Лінійні диференціальні рівняння n го порядку

5.1.
Лінійне диференціальне рівняння - звичайне диференціальне рівняння, в яке невідома функція та її похідні входять лінійно, тобто рівняння вигляду
Загальні властивості лінійних однорідних диференціальних рівнянь
n-го порядку

5.1.1. Властивості лінійного диференціального оператора

Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду



, (5.1)

де , i = 1,2,, n, f(x) задані функції, неперервні на (a,b).

При цих умовах диференціальне рівняння (5.1) має єдиний розвязок y=y(x), який задовольняє початковим умовам

.

Цей розвязок визначений і n раз неперервно диференційований на (a,b).

Особливих розвязків диференціальне рівняння (5.1) не має. Будь-який розвязок при конкретних початкових умовах є частинним. Якщо при стоїть , то точки, в яких =0, називаються особливими.

Якщо f(x)=0, то диференціальне рівняння (5.1) називають однорідним



. (5.2)

Для скорочення запису введемо лінійний диференціальний оператор



. (5.
Абревіатура (лат. abbrevio - скорочую) - складноскорочені слова, похідне слово, що виникає внаслідок абревіації - утворення з перших літер або з інших частин слів, що входять до складу назви чи поняття.
3)


Властивості оператора L :

  1. L (ky)=k L (y), k = const;

  2. L ( )=L ( ) L ( );

  3. L , де деякі числа.

Використовуючи оператор L диференціальні рівняння (5.1) і (5.2) перепишемо у вигляді

L (y) = f (x),

L (y) = 0 .

Означення 5.1. Функція y=y(x) називається розвязком диференціального рівняння (5.1), якщо L(y) f(x) (для диференціального рівняння (5.2) ).

Лінійне диференціальне рівняння (5.1) залишається бути лінійним при будь-якій заміні незалежної змінної .

Лінійне диференціальне рівняння (5.1) залишається бути лінійним при будь-якій лінійній заміні шуканої функції



(5.4)

при певних обмеженнях на функції та .

5.1.2. Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння n–го порядку

Наша задача полягає в тому, щоб знайти всі дійсні розв’язки диференціального рівняння



. (5.5)

Для розв’язування такої задачі доцільно знайти деякі комплексні розв’язки.



Означення 5.2. Функцію z(x) = w(x) iv(x), де w(x), v(x) дійсні функції, , будемо називати комплексною функцією від дійсної змінної х (w(x) дійсна частина, v(x) уявна частина).

Приклад 5.1. Показати справедливість формул

, . (5.6)

Розв'язання. Формули (5.6) доводяться шляхом розкладу відповідних експонент в ряд, наприклад.



.

Похідна n-го порядку від z(x) дорівнює



. (5.7)

Приведемо формули для обчислення похідних:



а) . (5.
Обчи́слення - є гілкою математики, зосередженою на функціях, похідних, інтегралах, і нескінченному ряду чисел. Цей предмет являє собою важливу частину сучасної математичної освіти. Воно складається з двох основних галузей - диференціального і інтегрального численнь, які пов'язують основні теореми обчислення.
Похідна́ - основне поняття диференціального числення, що характеризує швидкість зміни функції. Визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує).
8)

Дійсно




б) для дійсного і будь-якого справедлива формула

; (5.9)

в) використовуючи (5.9) можна показати



, (5.10)

де поліноми степеня n;

г) при будь-якому (дійсному або комплексному) справедлива формула

. (5.11)

Формула (5.11) доводиться шляхом представлення і використання формули (5.8).

Означення 5.3. Комплексна функція

(5.12)

називається розв’язком однорідного диференціального рівняння (5.5), якщо



.

Комплексний розвязок (5.12) утворює два дійсних розвязки (x), (x). Дійсно

L (y(x)) = L ( (x) i (x)) = L( (x)) iL( (x)) = 0 .

Звідки L( (x)) = 0, L( (x)) = 0.
Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння (5.5):

а) Якщо (x) розвязок, тобто L( ) 0, то y=c (x), де с довільна константа, теж розвязок диференціального рівняння (5.5)

L(с ) = сL( ) = 0;

б) якщо (x), (x) розвязки диференціального рівняння (5.5) , то

у= (x) (x) теж розвязок . Дійсно L ( ) = L ( ) L ( ) = 0;

в) якщо (x), (x), ... , розвязки диференціального рівняння (5.5), то їх лінійна комбінація також є розвязком

.

Приклад 5.2. Записати двопараметричне сімейство розвязків диференціального рівняння

.

Розв'язання. Очевидно, що , розвязки, тоді розвязок.

5.1.3. Необхідні і достатні умови лінійної незалежності n розв’язків лінійного однорідного рівняння n – го порядку

Означення 5.4. Функції (x), (x), ..., називаються лінійно незалежними на (a, b), якщо між ними не існує співвідношення виду

, (5.13)

де , ... , постійні числа не рівні нулю одночасно . В противному випадку функції називають лінійно залежними на (a, b).

Для двох функцій поняття лінійної незалежності на (a,b) зводиться до того, щоб відношення функцій , ( ) не було постійним на (a,b).

Зауваження 5.1. Якщо одна із функцій на (a,b) тотожно дорівнює нулю, то ці функції лінійно залежні.

Приклад 5.3. Функції =1, =x, ... , - лінійно незалежні на будь-якому інтервалі (a,b) .

Дійсно, співвідношення 1 x ... x =0 , в якому не всі дорівнюють нулю, не може виконуватися для будь-яких x, так як рівняння

(n-1) – го степеня має не більше (n-1) – го кореня.
Сте́пінь - математичний термін, що означає результат дії піднесення до степеня.
Ко́рінь - підземний, вегетативний орган рослини з необмеженим ростом, який забезпечує закріплення рослин у субстраті, поглинання і транспорт води та розчинених у ній мінеральних речовин та продуктів життєдіяльності ґрунтових мікроорганізмів і коренів інших рослин, первинний синтез органічних речовин, виділення в ґрунт продуктів обміну речовин і вегетативне розмноження.


Приклад 5.4. Функції , лінійно незалежні, так як співвідношення , де не рівні одночасно нулю, виконуються не більше ніж в одній точці. Це випливає з = .

Приклад 5.5. Функції =sin x, =cos x , =1 лінійно залежні на , так як для будь-якого х справджується співвідношення

sin x cos x 1 = 0 .

Розглянемо необхідні умови лінійної залежності n функцій .

Лінійно незалежні вектори (лінійна незалежність множини векторів) - множина векторів, які не утворюють тривіальних лінійних комбінацій рівних нулю.



Теорема 5.1. Якщо функції (x), (x), ... , лінійно залежні на (a,b), то їх вронскіан W (x) тотожно дорівнює нулю на (a,b) . Тут

W(x) = . (5.14)

Доведення. Згідно умови теореми

(x) (x) ... 0, a < x < b, де не всі одночасно рівні нулю . Нехай , тоді

. (5.15)

Диференціюємо (5.15) (n-1) раз і підставляємо в (5.14)



. (5.16)

Розкладаючи визначник (5.16) на суму визначників, будемо мати в кожному з них два однакові стовпці, тому всі визначники будуть рівні нулю і отже



W (x) 0 , a < x < b.

Теорема доведена.

Доведення у математиці - процедура, за допомогою якої встановлюють істинність гіпотези чи будь-якого твердження.
Тотожність (в математиці) - рівність, що виконується на всій множині значень змінних (рівність, що виконується для будь-яких значень змінної), наприклад


Нехай кожна з функцій (x), (x), ... , розвязок диференціального рівняння (5.5). Тоді необхідні і достатні умови лінійної незалежності цих розвязків даються теоремою 5.1 і наступною теоремою.

Теорема 5.2. Якщо функції (x), (x), ... , суть лінійно незалежні розвязки диференціального рівняння (5.5), всі коефіцієнти якого неперервні на (a,b) , то вронскіан цих розвязків W не дорівнює нулю в жодній точці інтервалу (a,b).

Доведення. Припустимо протилежне, що в точці (a,b) . Складемо систему рівнянь

. (5.17)

Так як визначник системи (5.17) , то вона має ненульовий розвязок . Розглянемо функцію

y = , (5.18)

яка є розв’язком диференціального рівняння (5.5).



Система (5.17) показує, що в точці розвязок (5.18) перетворюється в нуль разом із своїми похідними до (n-1) го порядку . В силу теореми існування і єдиності це значить, що має місце тотожність

y(x)= , a < x < b,

де не всі дорівнюють нулю . Останнє означає, що розвязки лінійно залежні на (a,b). Це протиріччя і доводить теорему.

З теорем 5.1 і 5.2 випливає: для того, щоб n розвязків диференціального рівняння (5.5) були лінійно незалежними на (a,b) необхідно і достатньо, щоб їх вронскіан не дорівнював нулю в жодній точці цього інтервалу.

Виявляється, для вияснення лінійної незалежності n розвязків диференціального рівняння (5.5) достатньо переконатися, що W(x) не дорівнює нулю хоча б в одній точці інтервалу (a,b) . Це випливає з наступних властивостей вронскіана від n розвязків диференціального рівняння (5.5):

а) якщо вронскіан дорівнює нулю в одній точці (a,b) і всі коефіцієнти диференціального рівняння (5.5) є неперервними, то на (a,b).

Дійсно, якщо , то по теоремі 5.2 функції - лінійно залежні на (a,b). Тоді, по теоремі 5.1 на (a,b);

б) якщо вронскіан n розвязків диференціального рівняння (5.5) відмінний від нуля в одній точці (a,b), то на (a,b).

Дійсно, якби W(x) дорівнював в одній точці з (a,b) нулю, то згідно а) на (a,b), в тому числі і в точці (a,b), що суперечить умові.

Звідси випливає, якщо n розвязків диференціального рівняння (5.5) лінійно незалежні на (a,b), то вони будуть лінійно незалежні на будь-якому (a,b).

5.1.4. Формула Остроградського – Ліувілля

Ця формула має вигляд



. (5.
Формула Острогра́дського - формула, що виражає потік векторного поля через замкнену поверхню через інтеграл від дивергенції цього поля по об'єму, замкнутий під поверхнею.
19)


Доведення. Розглянемо вронскіан W(x) = і обчислимо його похідну



.

Перших (n-1) - визначників рівні нулю, так як всі вони мають по дві однакових стрічки. Далі домножимо перші (n-1) рядки останнього визначника відповідно на і складемо всі n стрічок . В силу диференціального рівняння (5.5) маємо

= .

Звідки маємо формулу (5.19).



5.1.5. Фундаментальна система розв’язків та її існування

Означення 5.
Існува́ння (від екзистенція) - центральне поняття екзистенціалізму, унікальна особистісна сутність людини, що втілює в собі духовну, психоемоційну неповторність особи.
5
Сукупність n розвязків диференціального рівняння (5.5) визначених і лінійно незалежних на (a,b) називається фундаментальною системою розвязків .

З попереднього випливає, для того, щоб система n розвязків диференціального рівняння (5.5) була фундаментальною системою розвязків необхідно і достатньо, щоб вронскіан цих розвязків був відмінний від нуля хоч в одній точці інтервалу неперервності коефіцієнтів диференціального рівняння (5.5). Всі ці розвязки повинні бути ненульовими.

Теорема 5.3 (про існування фундаментальної системи розвязків). Якщо коефіцієнти диференціального рівняння (5.5) є неперервними на (a,b), то існує фундаментальна система розвязків на цьому інтервалі.

Доведення. Візьмемо точку (a,b) і побудуємо, використовуючи метод Пікара, розвязки :

з початковими умовами ;

з початковими умовами ;

………………………………………………



з початковими умовами .

Очевидно, що , отже побудовані розвязки лінійно незалежні.

Теорема доведена.

З методу побудови лінійно незалежних функцій випливає, що таких функцій можна побудувати безліч.

Побудована система розвязків називається нормованою в точці .

Для будь-якого диференціального рівняння (5.5) існує тільки одна фундаментальна система розвязків, нормована по моменту .

5.1.6. Загальний розв’язок. Число лінійно незалежних розв’язків

Теорема 5.4. Якщо - фундаментальна система розвязків диференціального рівняння (5.5), то формула

(5.20)

де - довільні константи, дає загальний розвязок диференціального рівняння (5.5) в області

, , (5.21)

тобто в області визначення диференціального рівняння (5.5).

Область визначення Область визначення (старіший термін - область задавання[Джерело?]) - множина допустимих значень аргументу функції. Позначатиметься як D(y), якщо вказується область визначення функції y=f(x).


  1   2   3