Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Комплексні числа

Скачати 26.45 Kb.

Комплексні числа




Скачати 26.45 Kb.
Дата конвертації28.04.2017
Розмір26.45 Kb.

Комплексні числа.


  1. Тригонометрична форма комплексного числа.

  2. Піднесення комплексного числа до степеня.

  3. Показникова форма комплексного числа.




  1. Розглянемо трикутник (рис) і запишемо такі співвідношення між його сторонами:

Звідси


тобто маємо:











Зображення комплексного числа у вигляді називається тригонометричною формою комплексного числа.

Приклад. Записати комплексне число у

тригонометричній формі (рис).

Згідно з формулами маємо:

Отже,


Додавання і віднімання комплексних чисел простіше і зручніше виконувати, коли вони задані в алгебраїчній формі. Для інших алгебраїчних дій зручніша тригонометрична форма.

Наприклад, добуток двох чисел

і

Подається так:



2. Піднесення комплексного числа до степеня

Степенем комплексного числа є число , де - будь-яку ціле число. Ця формула легко виводиться за означеннями добутку комплексних чисел.

Приклад. Знайти , якщо

Розв’язок.



  1. Якщо (- ціле число) і , дістаємо формулу Муавра:



  1. Якщо - ірраціональне, то -й степінь будь-якого числа має нескінченну множину значень.

Приклад. Подати та через та .

Розв’язок.





Прирівнюючи відповідні абсциси і ординати, дістаємо:







  1. Якщо маємо:



Приклад. Знайти

Розв’язок. Оскільки , , то



Одержані значення і показані на рис.




        1. 3. Показникова форма комплексного числа.

Формула Ейлера:

Згідно з цією формулою комплексне число можна подати в показниковій формі:

Справді, нехай - модуль комплексного числа , а - головний аргумент.

Ко́мпле́ксні чи́сла - розширення поля дійсних чисел, зазвичай позначається C } . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума x + i y , де x і y - дійсні числа, i - уявна одиниця.
Тоді:

Беручи до уваги формулу Ейлера, дістаємо:



.

Приклад 3.18. Обчислити дійсне значення .

Розв’язок.




      1. Приклади для самостійного розв’язку



Приклад 1. Записати в тригонометричній формі комплексні числа:

1) 2)

3) 4)

5)

Приклад 2.

Умовно істинне значення (фізичної величини); дійсне істинне значення (фізичної величини) (англ. conventional true value (of a quantity)) - значення фізичної величини, знайдене експериментальним шляхом і настільки наближене до істинного значення, що його можна використати замість істинного для даної мети.
Формула Ейлера - співвідношення, що пов'язує комплексну експоненту з тригонометричними функціями. Названа на честь Леонарда Ейлера, який її запропонував.
Тригономе́трія (від грец. τρίγονο - трикутник та μετρειν - вимірюю, тобто буквально вимірювання трикутників) - розділ елементарної математики, що лежить на перетині алгебри та геометрії і вивчає співвідношення між сторонами й кутами трикутників, дозволяючи проводити кутові обчислення через спеціально визначені функції кутів.
Обчислити степені, застосовуючи формулу Муавра:

1) 2)

3) 4)

Приклад 3. Знайти всі значення:

а) б) в)

Приклад 4. Знайти всі корені рівняння:

1) 2)

3) 4)






Скачати 26.45 Kb.

  • Приклади для самостійного розв’язку Приклад 1. Записати в тригонометричній формі