Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Л. С. Ванжула відомі та невідомі функціональні рівняння

Скачати 432.17 Kb.

Л. С. Ванжула відомі та невідомі функціональні рівняння




Скачати 432.17 Kb.
Сторінка1/5
Дата конвертації02.05.2017
Розмір432.17 Kb.
  1   2   3   4   5

Управління освіти виконавчого комітетуd:\documents\private\desktop\vfntvfnbrf\student with math problems.jpg

Кременчуцької міської ради

Полтавської області

КРЕМЕНЧУЦЬКА ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА

І – ІІІ СТУПЕНІВ № 16

КРЕМЕНЧУЦЬКОЇ МІСЬКОЇ РАДИ

ПОЛТАВСЬКОЇ ОБЛАСТІ

Л. С. ВАНЖУЛА

ВІДОМІ ТА НЕВІДОМІ

ФУНКЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ

  • підготовка до математичних олімпіад

  • проведення факультативних занять

  • розвиток здібностей та обдарувань учнів

  • піднесення ролі математичних знань

  • зацікавленість учнів математикою

Кременчук – 2013

Ванжула Лілія Станіславівнаd:\фото і медиофайли\ванжула лс\img_2865.jpg

учитель математики Кременчуцької загальноосвітньої школи І – ІІІ ступенів № 16 Кременчуцької міської ради Полтавської області

Стаж за фахом – 14 років

Кваліфікаційна категорія - вища


У посібнику зібрано і систематизовано способи розв’язування функціональних рівнянь зі шкільного курсу математики,   котрий  надасть методичну допомогу вчителям та учням у розвитку вміння розв’язування цих рівнянь та доводити тотожності.

Тотожність (в математиці) - рівність, що виконується на всій множині значень змінних (рівність, що виконується для будь-яких значень змінної), наприклад
Систематиза́ція - процес зведення розрізнених знань про предмети (явища) об'єктивної дійсності в єдину наукову систему, встановлення їхньої єдності. С. є відображенням матеріальної єдності світу і ґрунтується на вивченні суттєвих зв'язків, які об'єднують ці предмети (явища).
Полта́вська о́бласть - адміністративно-територіальна одиниця України з центром у місті Полтава. Утворена 22 вересня 1937 року. Розташована у середній частині Лівобережної України. Більша частина області лежить у межах Придніпровської низовини та Полтавської рівнини.
Загальноосві́тня шко́ла - масовий тип навчально-виховних закладів, які дають загальну освіту.

      Посібник містить потрібні теоретичні відомості, зразки розв’язування функціональних рівнянь та завдання для їх самостійного розв’язку.

        Подані матеріали стануть в нагоді учням 9 -11 класів ЗНЗ при підготовці до олімпіад; вчителям математики - при підготовці та проведенні факультативних занять по даній темі та при організації роботи зі здібними та обдарованими дітьми.

Матеріа́л - речовина, або суміш речовин, первинний предмет праці, який використовують для виготовлення виробу (основний матеріал), або які сприяють якимось діям. У останньому випадку уточнюють, що це допоміжний, чи витратний матеріал.
Тео́рія (від грец. θεωρία - розгляд, дослідження) - сукупність висновків, що відображає відносини і зв'язки між явищами реальності у вигляді інформаційноі моделі. Теорією стає гіпотеза, що має відтворюване підтвердження явищ та механізмів і дозволяє спостерігачу прогнозувати наслідки дій чи зміни стану об'єкта спостережень.
Обдарованість - поняття загальної психології; високий рівень задатків, схильностей. Обдарованість є результатом і свідченням високого рівня інтелектуального розвитку індивіда.


Рец ензенти:

Кравчук Т.М. – методист з математики Кременчуцького міського науково-методичного центру, старший учитель

Піддубна Ю.Г.

Старший учитель - педагогічне звання, яке може присвоюватись педагогічним працівникам, які мають кваліфікаційну категорію «спеціаліст вищої категорії» або «спеціаліст I категорії», а за наявності освіти в обсязі вищого навчального закладу I-II рівня акредитації та іншого навчального закладу еквівалентного рівня - стаж безпосередньої педагогічної роботи не менше 8 років та найвищий відповідний посадовий оклад (ставку заробітної плати).
– заступник директора з навчально-виховної роботи Кременчуцької ЗОШ І – ІІІ ступенів № 1, учитель математики, учитель-методист
©Ванжула Лілія Станіславівна,

©Кременчуцька загальноосвітня школа

І – ІІІ ступенів № 16

ЗМІСТ

Вступ……………………………………………………….……....4

Розділ 1

1.1. Знайомство з функціональними рівняннями………….6

1.2. Поняття функції…………..……………………………....7

1.3.  Означення оберненої функції……….…………………10

1.4. Знаходження та побудова композицій елементарних 

функцій………………………………………………..…12

1.5. Поняття групи та їх приклади ………………………... 15

Розділ 2


2.1. Способи та зразки розв’язування деяких

функціональних рівнянь………………………………..17

2.2. Завдання для самостійної роботи…….………………..33

Список використаної літератури……………..………..…………36



ВСТУП

d:\мамыно\школьние картинки\apple math.png

«Зацікавити розум дитини – ось що є одним з основних положень

нашої доктрини, і ми нічим не нехтуємо, щоб прищепити учневі смак, ми сказали, б навіть пристрасть до навчання»
М.В.Остроградський

Сучасний розвиток науки і техніки потребує від школярів міцних знань в області математики та достатніх умінь і навичок володіння інноваційними технологіями.

Іннова́ція (англ. innovation - нововведення)- ідея, новітній продукт в галузі техніки, технології, організації праці, управління, а також у інших сферах наукової та соціальної діяльності, засноване на використанні досягнень науки і передового досвіду, є кінцевим результатом інноваційної діяльності.
Техноло́гія (від грец. τεχνολογια, що походить від грец. τεχνολογος; грец. τεχνη - майстерність, техніка; грец. λογος - (тут) передавати) - наука («корпус знань») про способи (набір і послідовність операцій, їх режими) забезпечення потреб людства за допомогою (шляхом застосування) технічних засобів (знарядь праці).
Матема́тика (грец. μάθημα - наука, знання, вивчення) - наука, яка первісно виникла як один з напрямків пошуку істини (у грецькій філософії) у сфері просторових відношень (землеміряння - геометрії) і обчислень (арифметики), для практичних потреб людини рахувати, обчислювати, вимірювати, досліджувати форми та рух фізичних тіл.
Запорукою досягнення позитивних результатів є ефективне застосування новітніх методик при розв’язуванні складних задач. На допомогу педагогам та учням приходять шкільні підручники, які укладено згідно з навчальними програмами. Крім того, старшокласники намагаються самостійно опрацьовувати деякий теоретичний матеріал. Так, наприклад, про значення нових наукових термінів, якими насичені підручники, чи про способи розв’язування деяких задач ми можемо довідатись із науково-популярної літератури та із пошукової системи Інтернет.
Гара́нтія - порука в чомусь, забезпечення чого-небудь; умови, що забезпечують успіх чого-небудь.
Результат, пі́дсумок, (заст. ску́ток, вислід) - кінцевий наслідок послідовності дій. Можливі результати містять перевагу, незручність, вигоду, збитки, цінність і перемогу. Результат є етапом діяльності, коли визначено наявність переходу якості в кількість і кількості в якість.
Програма (фр. programme письмове оголошення, порядок денний, від грец. prógramma вказівка) - заздалегідь затверджена (визначена) дія.
Застосунок, застосовна програма або прикладна програма (англ. application, application software, app) - користувацька комп'ютерна програма, що дає змогу вирішувати конкретні прикладні задачі користувача.
Підру́чник (калька з пол. podręcznik) - книжка, у якій системно викладено інформацію з певної галузі знань і яку використовують в системі освіти на різних рівнях, а також для самостійного навчання. Різновид навчального видання.
Науково-популярне видання - видання відомостей теоретичних та (чи) експериментальних досліджень у галузі науки, культури і техніки, викладених у формі, зрозумілій читачам-нефахівцям.
Пошуко́ва систе́ма (або скорочено пошукови́к) певна база даних - онлайн-служба (апаратно-програмний комплекс з веб-інтерфейсом), що надає можливість пошуку інформації в Інтернеті. У просторіччі під пошуковою системою розуміють веб-сайт, на котрому розміщено інтерфейс (фронт-енд) системи.
Але для самостійної роботи над обраною темою цієї інформації, на жаль, не достатньо.

З-поміж інших вправ, запропонованих авторами підручників для 10-11 кл., завдання побудувати графік, довести тотожність, розв’язати рівняння, в яких змінною виступає сама функція, викликають в учнів певні труднощі. На жаль, виявилося, що додаткова навчальна та методична література до підручників відсутня, а науково-популярні видання, хоча і містять багато різних методів розв’язування завдань такого типу, зорієнтовані на більш підготовленого читача, тож знань старшокласника не досить, щоб самостійно зрозуміти хід розв’язування поданих рівнянь.

Розумі́ння - психологічний стан, який виражає собою правильність ухваленого рішення і супроводжуваний відчуттям упевненості в точності сприйняття або інтерпретації якої-небудь події, явища, факту.

Тож, щоб розв’язати цю проблему, я вирішила більш детально дослідити проблемне питання.

Метою моєї роботи стало створення посібника, в якому зібрано і систематизовано способи розв’язування функціональних рівнянь зі шкільного курсу математики,   котрий надасть методичну допомогу вчителям та учням у розвитку вміння розв’язування функціональних рівнянь.

      Посібник містить потрібні теоретичні відомості, зразки розв’язування функціональних рівнянь, завдання для самостійної роботи.

      Актуальність цієї роботи тісно пов’язана з необхідністю розширювати та поглиблювати знання старшокласників з математики, оскільки кожен випускник зустрінеться з великою конкуренцією на ринку вищої освіти.

Актуа́льність (від лат. actualis - справжній, теперішній, сучасний, важливий у даний момент, злободенний, назрілий) - абстрактний іменник до прикметника «актуальний». Актуальність - важливість, значимість чого-небудь на сьогодні, сучасність, злободенність.
Необхідність - система зв'язків і відносин, що зумовлює зміну, поступальний рух, розвиток у жорстко визначеному напрямку з жорстко визначеними результатами. Іншими словами, необхідність - це такий зв'язок, що обов'язково призводить до певної події.

        Подані матеріали стануть в нагоді учням 9 -11 класів ЗНЗ при підготовці до олімпіад; вчителям математики - при підготовці та проведенні факультативних занять по даній темі та при організації роботи зі здібними та обдарованими дітьми.




РОЗДІЛ 1
  1.1.  Знайомство з функціональними рівняннями

Давайте спочатку розберемось, що називають функціональним рівнянням. По ідеї, якщо рівняння, то повинна бути рівність і невідома величина чи декілька таких величин. Що ж повинно бути в рівнянні, щоб воно називалося функціональним?

Рівняння, призначене для визначення невідомої функції, називається функціональним.

Взагалі наукове визначення функціонального рівняння є дуже складним і є одним із основних понять розділу математики, який зараз інтенсивно розвивається і називається функціональним аналізом. Звичайно, глибоко вивчати функціональні рівняння мені, вчителю школи, немає смислу, але зрозуміти дещо і навчитися розв’язувати деякі з них можна і, навіть, цікаво.

Величина́ - одне з основних математичних понять, узагальнення понять довжина, розмір, площа, об'єм тощо. Неформально, величини – це те, що можна порівнювати між собою. Формально, це елементи впорядкованої множини.
Функціона́льний ана́ліз - математична дисципліна, яка фактично є поширенням лінійної алгебри на нескінченновимірні простори. З другого боку, характер питань, які при цьому розглядаються, дозволяє вважати цю науку частиною математичного аналізу.
Функціона́льне рівня́ння (функці́йне рівня́ння) - рівняння, яке виражає зв'язок між значенням функції в одній точці з її значеннями в інших точках. Багато які з властивостей функцій можна отримати, досліджуючи функційні рівняння, яким ці функції задовільняють.

З найпростішими функціональними рівняннями знайомимося при вивченні властивостей функцій в шкільному курсі алгебри і початків аналізу.

Найпростіші (лат. Protozoa, від дав.-гр. πρῶτος «перший» і ζῷα, форми множини ζῷον - «жива істота») - парафілетична або поліфілетична група одноклітинних або колоніальних еукаріотів, які мають гетеротрофний тип живлення.
Так парність, непарність, періодичність записані у вигляді









є найпростіші функціональні рівняння, розв’язками яких є парні, непарні і періодичні функції відповідно.

Є функціональні рівняння, розв’язки яких випливають із властивостей функцій. Так розв’язками рівняння

- є всі показникові функції, а

- логарифмічні функції.

Пері́од (грец. περίοδος - кружний шлях, обертання, чергування) може означати: Проміжок часу, протягом якого повторюється якийсь циклічний процес: Період коливання Період обертання Горизонтальний ряд хімічних елементів, розміщених у порядку зростання їх атомних мас, що розпочинається лужним металічним елементом, та закінчується інертним газом.
Логари́фм (від грец. λόγος - «слово», «відношення» і грец. ἀριθμός - «число») - математична операція, обернена піднесенню до степеня.
Показнико́ва або ж Експоненці́йна фу́нкція - функція виду f ( x ) = a x \,\!} , де a - стале число (додатне, але не дорівнює одиниці).

Простим видом функціональних рівнянь є рекурентні співвідношення, з якими знайомляться учні на уроках алгебри при вивченні різних послідовностей.

Наприклад:

.

Навіть сполучний закон множення і додавання можна подати у вигляді функціональних рівнянь, якщо вважати



, тобто ,

, тобто .
Додавання - бінарна арифметична операція, суть якої полягає в об'єднанні математичних об'єктів.

1.2  Поняття функції

Вивчаючи те чи інше явище, ми, як правило, оперуємо кількома величинами, які пов'язані між собою так, що зміна деяких з них приводить до зміни інших. Такий взаємозв'язок у математиці виражається за допомогою функції. Цей термін вперше ввів Г. Лейбніц.

Приклади

1. Нехай електричне коло складається з джерела постійної напруги і реостата . При зміні опору й змінюватиметься сила струму.

Еле́ктрика (від грец. ήλεκτρον - бурштин; раніше також громови́на ) - розділ фізики, що вивчає електричні явища: взаємодію між зарядженими тілами, явища поляризації та проходження електричного струму.
Електри́чне ко́ло - сукупність сполучених між собою провідниками електронних компонентів, джерел струму й напруги, перемикачів тощо, через яку може проходити електричний струм.
Си́ла електри́чного стру́му (сила струму або просто струм) - кількісна характеристика електричного струму в провіднику, скалярна величина I = Δ q Δ t }} , яка відповідає кількості заряду ( Δ q ), що проходить через перетин провідника за час Δ t , розділеному на цей проміжок часу.
Напруга — величина стала (в даному колі), а опір і струм — змінні, причому змінюється залежно від зміни за законом Ома: , тобто сила струму є функція опору .

2. Під час вільного падіння тіла пройдений шлях залежить від зміни часу .

ред.№ Вільне падіння - рух фізичного тіла в умовах, коли на нього діє лише гравітаційна сила. Попри слово падіння в назві, під дією сили тяжіння тіло не обов'язково повинно рухатися вниз. До прикладів вільного падіння належать рух тіла, підкинутого вертикально вгору або під кутом до горизонту, обертання Землі навколо Сонця тощо.
Зв'язок між змінними величинами і задається формулою, де — прискорення при вільному падінні (стала величина). Величина залежить від зміни величини , тобто шлях є функцією часу.

Спільним у цих прикладах є те, що зв'язок між змінними величинами описується певним правилом (залежністю, законом, відповідністю) так, що кожному значенню однієї величини відповідає єдине значення другої .

Дамо тепер означення функції. Якщо кожному числу з деякої числової множини за певним правилом поставлене у відповідність єдине число , то кажуть, що є функція від і пишуть .

Дійсні числа - елементи числової системи, яка містить у собі раціональні числа і, в свою чергу, є підмножиною комплексних чисел. Математична абстракція, яка виникла з потреб вимірювання геометричних і фізичних величин навколишнього світу, а також виконання таких математичних операцій як добування кореня, обчислення логарифмів, розв'язування алгебраїчних рівнянь.
Це означення належить М.І. Лобачевському і Л. Діріхле.

Змінна називається незалежною змінною, або аргументом, а змінна залежною змінною, або функцією; під символом розуміють те правило, за яким кожному відповідає , або ті операції, які треба виконати над аргументом, щоб дістати відповідне значення функції.

Іноді у означенні функції припускають, що одному значенню аргумента відповідає не одне, а кілька значень або навіть нескінченна множина значень .

Зале́жна змі́нна - У математичному моделюванні - змінна, яка розраховується за модельним рівнянням або відповідними правилами з використанням незалежних змінних (вхідних даних). Змінна, величина якої є чутливою до змін незалежних змінних.
Скінченна множина - це множина, кількість елементів якої є скінченна, тобто існує натуральне число k, що є числом елементів цієї множини. В протилежному випадку множина є нескінченною. Визначення 2. Множина, що не має рівнопотужної з нею власної підмножини, а також порожня множина, називається скінченною
У цьому випадку функцію називають багатозначною, на відміну від означеної вище однозначної функції. Прикладами многозначних функцій є , тощо.

У ширшому розумінні поняття функції вживається як синонім поняття відображення множини на множину.



Означення функції: Нехай - деякі множини. Відображенням множини у множину будемо називати правило, яке кожному елементу ставить у відповідність точно один елемент .

Слова функція, відображення, оператор, відповідність, перетворення – синоніми.



Слід взяти до уваги те, що позначення вказує на відображення області визначення функції на область значення.
Область визначення (старіший термін - область задавання[Джерело?]) - множина допустимих значень аргументу функції. Позначатиметься як D(y), якщо вказується область визначення функції y=f(x).

Наприклад: запис означає, що функція визначена на множині дійсних чисел.

Розв’язувати функціональні рівняння можна різними способами. Але слід запам’ятати такий факт:

Функція називається алгебраїчною на області визначення, якщо для деякого натурального і деяких многочленів виконується рівність

.

Алгебраїчна функція може бути розв’язком системи алгебраїчних рівнянь.

Алгебраїчна функція, також алгебрична функція - функція, що задовольняє алгебраїчне рівняння.
В основу класифікації елементарних функцій покладено принцип дихотомії.
Елемента́рні фу́нкції - клас функцій, що містить в собі степеневі функції, многочлени, показникові функції, логарифмічні функції, тригонометричні функції, обернені тригонометричні функції, а також функції, що отримуються із перелічених вище за допомогою чотирьох арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення) та композиції, застосованих скінченну кількість разів.



Дихотомія – це особливий вид ділення, коли дане поняття ділять на два суперечливі.

Наприклад:



  • елементарні функції:

    • трансцендентні функції;

    • алгебраїчні функції:

      • ірраціональні функції;

      • раціональні функції:

        • цілі функції;

        • дробові функції.

Трансцендентні функції – це клас показникових, тригонометричних, логарифмічних, обернених тригонометричних та інших функцій, які не являються алгебраїчними.
Тригономе́трія (від грец. τρίγονο - трикутник та μετρειν - вимірюю, тобто буквально вимірювання трикутників) - розділ елементарної математики, що лежить на перетині алгебри та геометрії і вивчає співвідношення між сторонами й кутами трикутників, дозволяючи проводити кутові обчислення через спеціально визначені функції кутів.

Поняття функції однієї змінної не охоплює всі залежності, що існують в природі. Навіть у найпростіших завданнях зустрічаються величини, значення яких визначаються сукупністю значень декількох величин.

Для вивчення подібних залежностей вводиться поняття функції декількох змінних.

Означення. Величина u називається функцією декількох незалежних змінних , якщо кожній сукупності значень цих змінних ставиться у відповідність певне значення величини u.

Якщо змінна є функцією від двох змінних і , то функціональну залежність позначають .

Існува́ння (від екзистенція) - центральне поняття екзистенціалізму, унікальна особистісна сутність людини, що втілює в собі духовну, психоемоційну неповторність особи.
Функціональна залежність (далі часто ФЗ) - концепція, що лежить в основі багатьох питань, пов'язаних з реляційними базами даних, включаючи, зокрема, їхнє проектування. Математично являє собою бінарне відношення між множинами атрибутів даного відношення і є, по суті, зв'язком типу «один-до-багатьох».

Символ визначає тут сукупність дій або правило для обчислення значення z по даній парі значень і .

Обчи́слення - є гілкою математики, зосередженою на функціях, похідних, інтегралах, і нескінченному ряду чисел. Цей предмет являє собою важливу частину сучасної математичної освіти. Воно складається з двох основних галузей - диференціального і інтегрального численнь, які пов'язують основні теореми обчислення.

Так, для функції

при і маємо ,

при і маємо ,

при і маємо і т.д.

Аналогічно називається величина u функцією від трьох змінних якщо дано правило, як з цієї трійці значень і обчислити відповідне значення :

.

Тут символ визначає сукупність дій або правило для обчислення значення u, відповідного даними значенням і .

Так, для функції

при , і , маємо ,

при , і , маємо ,

при , і , маємо і т. д.

Таким чином, якщо в силу деякого закону кожної сукупності п чисел з деякого безлічі ставиться у відповідність певне значення змінної , то і називається функцією від п змінних , , визначеної на множині , і позначається

.

Змінні називаються аргументами функції, безліч - областю визначення функції.

Областю визначення функції називається множина всіх значень аргументів, яким відповідають будь-які справжні значення функції.

1.3  Означення оберненої функції


Функція, яка приймає кожне своє значення в єдиній точці області визначення, є оборотною.
Обернена функція (обернене відображення) до даної функції f - в математиці така функція g, яка в композиції з f дає тотожне відображення.
d:\documents\private\desktop\vfntvfnbrf\math_properties.gif

У такої функції за значенням залежної змінної можна однозначно визначити, якому значенню аргументу воно відповідає.

Інакше кажучи, якщо функція є оборотною й число а належить до її області значень, то рівняння має розв’язок, причому єдиний.

Оберненою до даної оборотної функції називається така функція , яка кожному із множини значень функції ставить у відповідність єдине число x з області визначення.

Якщо аргумент і функцію в записі позначити звичайним способом, отримаємо .

Графік функції g, оберненої до функції , симетричний графіку відносно прямої .

Якщо функція зростає (або спадає) на проміжку , то вона є оборотною. Обернена до функція , яка визначена в області значень , теж є зростаючою (або спадною).

Наведу приклади обернених функцій.

На проміжку функція є оборотною. Оберненою до неї на цьому проміжку є функція .

На рисунку зображені функція і обернена до неї функція :

Таким чином, всі функції можна розбити на два класи:


  1. Функції, обернені до яких є функціями;

  2. Функції, обернені до яких не є функціями.

Перші називаються оберненими, другі – не обернені.

Обернені функції – це відповідність, в якій немає пар з однаковими першими та різними другими компонентами (функція!!!) та немає пар з однаковими другими та різними першими компонентами (обернена!!!). Тому обернена функція кожне своє значення приймає тільки один раз, а її графік у декартовій системі координат не має точок з однаковими абсцисами і різними ординатами, а також точок з різними абсцисами, але однаковими ординатами.
Абсциса (лат. abscissa - відрізок) - одна з координат точки в декартовій системі координат. На (х, у)-графіку відповідає горизонтальній осі х, тоді як у відповідає ординаті точки. Наприклад, точка з координатами (6, 3) має абсцису 6.
Компонент (англ. component, нім. Komponente f) - різновид, складова частина чогось.
Система координат - спосіб задання точок простору за допомогою чисел. Кількість чисел, необхідних для однозначного визначення будь-якої точки простору, визначає його вимірність. Обов'язковим елементом системи координат є початок координат - точка, від якої ведеться відлік відстаней.

  1   2   3   4   5


Скачати 432.17 Kb.

  • Кременчуцької міської ради Полтавської області КРЕМЕНЧУЦЬКА ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА І – ІІІ СТУПЕНІВ № 16
  • ВСТУП «
  • Запорукою
  • Актуальність
  • Слід взяти до уваги те, що позначення
  • Функція
  • і деяких многочленів
  • Трансцендентні функції
  • Обернені функції