Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Лекція №3 Тема Квантово-механічне пояснення будови атомів. Квантові числа електронів як енергетичні характеристики атома

Скачати 277.94 Kb.

Лекція №3 Тема Квантово-механічне пояснення будови атомів. Квантові числа електронів як енергетичні характеристики атома




Скачати 277.94 Kb.
Сторінка1/3
Дата конвертації05.05.2017
Розмір277.94 Kb.
ТипЛекція
  1   2   3


Лекція №3

Тема 3. Квантово-механічне пояснення будови атомів. Квантові числа електронів як енергетичні характеристики атома.
Мета: сформулювати квантово-механічне пояснення будови атомів. Розглянути та вивчити рівняння Шредінгера для одномірного та трьохвимірного потенціального ящика. На основі цього навести квантово-механічне пояснення будови атома водню. Ознайомитись та вивчити теорію Бора-Земмерфельда. Вивчити квантові числа електронів в атомах. Вміти пояснити будову багатоелектронних атомів.
Інтерференція і дифракція світла.
Ква́нтове число́ - індекс, який приписується стану квантової системи для його ідентифікації.
Рівняння Шредінгера - основне рівняння руху нерелятивістської квантової механіки, яке визначає закон еволюції квантової системи з часом.
А́том во́дню (Гідроген) - найпростіший із атомів хімічних елементів.
Дифракція - явище, що виникає при поширенні хвиль (наприклад, світлових і звукових хвиль). Суть цього явища полягає в тому, що хвиля здатна оминати перешкоди. Це зумовлює те, що хвильовий рух спостерігається в області за перешкодою, куди хвиля не може потрапити прямо.
Ефект Комптона.
Комптонівське розсіювання - явище непружного розсіювання фотонів на вільних заряджених частинках, наприклад, електронах.
Хвилі Де-Бройля.(Де саме?)
План:

  1. Розв’язання рівняння Шредінгера для одновимірного потенціального ящика.

  2. Тривимірний потенціальний ящик.

  3. Одновимірний жорсткий ротатор.
    Жорсткий ротатор - механічна модель, що використовується при описі тіл, що обертаються. Довільний жорсткий ротатор є тривимірним жорстким тілом. Прикладом може бути дзиґа. Задання орієнтації такого тіла в просторі вимагає використання кутів Ейлера.


  4. Квантово-механічне пояснення будови атома гідрогену.

  5. Квантові числа.

  6. Багатоелектронні атоми.

  7. Енергетичні характеристики атома.


Зміст лекціїї

1.4. Розділ четвертий

Квантово-механічне пояснення будови атома гідрогену. Багатоелектронні атоми

1.4.1. Розвязання рівняння Шредінгера для одновимірного потенціального ящика. Розв’язання рівняння Шредінгера у завдань, які є у теорії будови атомів і молекул, дуже складні. Щоб зрозуміти характер квантово-механічного вивчення атома, потрібно показати рівняння Шредінгера на простих прикладах [3].

Спочатку розглянемо розв’язок для одновимірного потенціального ящика. У цій моделі частинка (наприклад, електрон) може рухатись тільки в одному напрямку, (наприклад, по осі x на відрізку між x=0 і x =a (рис. 9). У межах цього відрізка потенціальна енергія частинки (U) є сталою.

Потенціа́льна ене́ргія - частина енергії фізичної системи, що виникає завдяки взаємодії між тілами, які складають систему, та із зовнішніми щодо цієї системи тілами, й зумовлена розташуванням тіл у просторі.
Її треба розглядати як рівну нулю (а потенціальну енергію треба вираховувати від будь-якого вибраного рівня). За межами даного відрізка потенціал V, що діє на частинку, є дуже великим. Це означає, що частинка не може вийти за межі 0< х< а (для цього був би потрібен нескінченно великий приріст енергії).


Рис. 9. Одновимірний потенціальний ящик.


Рівняння Шредінгера (1.38) для випадку одновимірного потенціального ящика буде:

-h2/8πm:d2ψ/dx2= (1.45)

Для розв’язання цього рівняння треба знайти функцію ψ і значення для енергії Е, що задовільняє це рівняння. При цьому функція ψ повинна бути нескінченною, однозначною, неподільною і дорівнювати нулю при х=0 і х=а (оскільки за межами цього відрізка частинка знаходитись не може).

Функція, яка задовільняється даними значеннями, буде дорівнювати:

Ψ=Аsin(nπx), (1.46)

де n=1, 2, 3,… і А– стала величина. Значення n = 0 виключено, тому що воно означає відсутність частинки у ящику.

Отже, дана функція задовільняє рівняння Шредінгера для розглянутого випадку. Звідси випливає, що одержані вирази рівні, якщо енергія частинки.

Е=n2h2/8ma2, (1.47)

де n= 1, 2, 3…

Таким чином, знайдено функцію ψ і значення енергії, які задовільняють рівняння (1.45), тобто розв’язано рівняння Шредінгера для одновимірного потенціального ящика.

Але необхідно зауважити, що існує значна різниця між знайденими результатами і картиною, яка спостерігалась у аналогічній задачі з частинкою, для якої підходять закони класичної механіки.

Класична механіка - розділ фізики, який вивчає рух на основі законів Ньютона та принципу відносності Галілея. Тому її часто називають «Ньютоновою механікою».
Це означає, що енергія такої частинки має приймати будь-які значення у різних точках на осі х.

Навпаки, за формулою (1.47) бачимо, що енергія частинки, для якої дійсні закони квантової механіки, може приймати тільки ряд строго визначених значень, характеризуючи величину цілочислового коефіцієнта n.

Ква́нтова меха́ніка - фундаментальна фізична теорія, що в описі мікроскопічних об'єктів розширює, уточнює і поєднує результати класичної механіки і класичної електродинаміки. Ця теорія є базою для багатьох напрямів фізики та хімії, включаючи фізику твердого тіла, квантову хімію та фізику елементарних частинок.
Цілі значення n, одержані у результаті накладання на функцію ψ граничних умов, коли ψ= 0 при х= 0 і х= а. Рівень енергії для частинки у потенціальному ящику показано на рис. 10. Звернемо увагу, що квантова енергія отримується як результат розв’язання рівняння Шредінгера, хоча саме це рівняння не приймає набору цілочислових коефіцієнтів.

Рис. 10. Рівні енергії частинки у одновимірному потенціальному ящику.


Даний тип розв’язання показує існування для мікрочастинки строгого набору значень енергії. Аналогічний результат одержано при розгляданні будь-якої задачі, де мікрочастинки утримуються під дією сил у певній частині простору. Таким чином, квантова механіка пояснює наявність у електронів в атомах і молекулах дискретних енергетичних рівнів (про які свідчать спектри) і дає можливість теоретично визначити ці значення енергії.
Енергетичний рівень - дозволене значення енергії в квантовій механіці. Сукупність енергетичних рівнів називають енергетичним спектром. Математично енергетичний рівень є власним значенням оператора енергії - гамільтоніана.

Оскільки при вираженні енергії частинки у потенціальному ящику n≠0, то і Е не може дорівнювати нулю. Мінімуму енергії (нульовій енергії) відповідає n= 1.

На рис. 11. показані графіки функцій ψ і ψ2 для частинки у одновимірному потенціальному ящику при n =1, 2 і 3. Із мал. рис. 11 видно, що вірогідність знаходження частинки у різних точках потенціального ящика неоднакова. Крім того, при значеннях n > 1 в деяких точках у середині ящика вірогідність надходження частинок рівна нулю – результат,що є неможливим з точки зору класичної теорії.

Аспект (лат. aspectus - вигляд, погляд) - поняття філософії (онтології, теорії пізнання). У філософії аспект розглядається


Рис. 11. Функції ψ і ψ2 частинки в одновимірному потенціальному ящику.


Однак як видно із рівняння (1.47), при достатньо великих значеннях маси частинки m (відповідна величині a і її енергії Е) картина руху практично співпадає з класичною. А дозволені рівні енергії будуть лежати так близько один до одного, що їх неможливо буде експериментально розрізнити. Можна вважати, що частинка здатна володіти будь-якими значеннями енергії. Таким чином, для макрооб’єктів квантова механіка призводить до тих же результатів, що і класична [4].

Значення сталої А в рівнянні(1.46) з точки зору математичних вимог може бути будь-яким. Однак фізичний зміст функції ψ2 означає необхідність вибору певного значення А, а саме його вибирають таким, щоб сумарна вірогідність надходження частинки у потенціальному ящику дорівнювала одиниці.

Знаходять таке значення А, при якому рівняння виконується.

Розглянута математична операція називається нормованою.

Опера́тор - в математиці - закон f (правило), за яким кожному елементу х множини Х (область визначення) ставиться у відповідність певний елемент y множини Y (області значень).
У випадках, коли необхідно знайти повне вираження для хвильової функції, визначають значення вхідної сталої.
Хвильова функція, або псі-функція ψ - комплекснозначна функція, що використовується в квантовій механіці для опису стану квантовомеханічної системи. Хвильова функція пов’язана з густиною ймовірності знаходження частинки у деякій області простору в деякий момент часу наступним чином: ймовірність знаходження частинки в деякій точці пропорційна квадрату модуля хвильової функції в ній.
Ця стала називається нормуючим множником.

Інтегрування проводиться по всьому об’ємі від значення кожної із координат -∞ до значення ∞. Рівняння показує, що сумарну вірогідність знайти частинку рівна одиниці, бо знаходження розглянутої частинки десь у просторі є дійсною подією.

1.4.2. Тривимірний потенціальний ящик. Із отриманого розв’язку рівняння Шредінгера для одновимірного потенціального ящика є сталим існування дискретного набору енергетичних рівнів електрона в атомі. Для того, щоб пояснити інші властивості електронної будови атомів, треба розглянути рух частинки у тривимірному потенціальному ящику.

У цій задачі частинка знаходиться всередині потенціального ящика- куба з ребром a. Початок координат поставлено у один із кутів куба (рис. 12).

Початок координат - точка, де осі системи координат перетинаються. Початок координат поділяє кожну вісь системи на дві половини: позитивну та від'ємну.
Потенціальна енергія частинки всередині ящика стала. За межами потенціал має велике значення. Ця частинка ні в якому випадку не може виходити за межі ящика.



Рис. 12. Тривимірний потенціальний ящик.


Як і в попередній задачі, використовуємо уявну ситуацію. Існує реальне явище – це рух електронів у частинці металу. Ці електрони рухаються у всіх напрямках, але за межі не виходять. Тому ця модель тривимірного потенціального ящика застосовується в теорії металічного стану.

В даному випадку треба знайти рівняння Шредінгера для трьох вимірів. При розв’язанні таких задач спочатку аналізують рівняння і намагаються розділити на частини, кожна з яких включає тільки одну з трьох координат.

Кінетичну енергію можна показати у вигляді суми трьох членів, кожен з яких є функцією тільки однієї координати, бо швидкість частинки υ, будучи вектором, розкладається по осі координат υx,, υy і υz. Потенціальна енерія, як і в попередній задачі, має бути рівна нулю. Враховуючи це, запишемо:

Е=Еx Еy Еz (1.48)

Припустимо, що функція ψ складена з трьох функцій так, що кожна залежить тільки від однієї координати. Тоді:

ψ(x,y,z)=Х(x)Y(y)Z(z) (1.49)

Для скороченого запису функцію позначають просто Х, Y і Z замість Х(х), Y(y), Z(z).

  1   2   3


Скачати 277.94 Kb.

  • Зміст лекціїї 1.4. Розділ четвертий Квантово-механічне пояснення будови атома гідрогену. Багатоелектронні атоми 1.4.1. Розв
  • 1.4.2. Тр ивимір ний потенціальний ящик