Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Лекція 5 Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку

Скачати 119.93 Kb.

Лекція 5 Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку




Скачати 119.93 Kb.
Дата конвертації28.04.2017
Розмір119.93 Kb.
ТипЛекція

Лекція 8.

5.1. Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних

рівнянь n-го порядку.
1. Властивості лінійного диференціального оператору.

Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду



(5.
Диференціа́льні рівня́ння - рівняння, що встановлює залежність між незалежними змінними, числами (параметрами), невідомими функціями та їх похідними. Невідома функція може бути як скалярною, так і векторною.
1)

де Pi(x), i =1,2,…, n, f(x) – задані функції, неперервні на (a,b).

При цих умовах диференціальне рівняння (5.1) має єдиний розв’язок

y=y(x), який задовільняє початковим умовам .



Цей розвязок визначений і n раз неперервно диференційований на (a,b).

Особливих розвязків диференціальне рівняння (5.1) не має. Будь-який розвязок являється частинним. Якщо при стоїть , то точки, в яких =0, називаються особливими.

Якщо f(x)=0, то диференціальне рівняння (5.1) називають однорідним

(5.2)

Для скорочення запису введемо лінійний диференціальний оператор



(5.
Абревіатура (лат. abbrevio - скорочую) - складноскорочені слова, похідне слово, що виникає внаслідок абревіації - утворення з перших літер або з інших частин слів, що входять до складу назви чи поняття.
3)

Властивості оператора L :



  1. L (xy)=k *L (y), k = const;

  2. L ()=L () L ();

  3. L .

Використовуючи оператор L диференціального рівняння (5.1) і (5.2) перепишемо у вигляді L (y) = f (x) , L (y) = 0 .

Означення 5.1. Функція y = y (x) називається розв’язком диференціального рівняння (5.1), якщо L (y) f (x) (для диференціального рівняння (5.2)

L (y(x)) 0).



Лінійне диференціальне рівняння (5.1) залишається бути лінійним при будь-якій заміні незалежної змінної .
Зале́жна змі́нна - У математичному моделюванні - змінна, яка розраховується за модельним рівнянням або відповідними правилами з використанням незалежних змінних (вхідних даних). Змінна, величина якої є чутливою до змін незалежних змінних.


Лінійне диференціальне рівняння (5.1) залишається бути лінійним при будь-якій лінійній заміні шуканої функції . (5.4)
2. Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння n–го порядку.

Наша задача полягає в тому, щоб знайти всі дійсні розвязки диференціального рівняння (5.5)

Для розв’язування такої задачі доцільно знайти деякі комплексні розв’язки.



Означення 5.2 Функцію z(x) = w(x) iv(x), де w(x),v(x) дійсні функції, будемо називати комплексною функцією від дійсної змінної х (w(x) – дійсна частина, v(x) – уявна частина).

Приклад 5.1. Показати справедливість формул , .
Справедливість - мораль та чеснота, вразливість як на суспільне добро, так і на суспільне зло. За Платоном, справедливість - це найвища чеснота, що утримує мужність, поміркованість та мудрість в повній рівновазі й гармонії («кожному своє»).
(5.6)

Формули (5.6) доводяться виходячи з розкладу відповідних множників b раз.

Похідна n-го порядку від z (x) дорівнює . (5.7)

Приведемо формули для обчислення похідної :



а) ;
Обчи́слення - є гілкою математики, зосередженою на функціях, похідних, інтегралах, і нескінченному ряду чисел. Цей предмет являє собою важливу частину сучасної математичної освіти. Воно складається з двох основних галузей - диференціального і інтегрального численнь, які пов'язують основні теореми обчислення.
Похідна́ - основне поняття диференціального числення, що характеризує швидкість зміни функції. Визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує).
(5.8)

Дійсно

б) Для дійсного к і будь-якого справедлива формула

; (5.9)

в) Використовуючи (5.9) можна показати , (5.10)

де - поліноми степеня n ;

г) При будь-якому (дійсному або комплексному) справедлива формула

. (5.11)

Формула (5.11) доводиться шляхом представлення і використання формули (5.8).

Означення 5.3. Комплексна функція y (x) = (x) i(x) (5.12) називається розв’язком однорідного диференціального рівняння (5.5); якщо

L (y(x)) 0, a < x < b .



Комплексний розвязок (5.12) утворює два дійсних розвязки (x), (x).

Дійсно L (y(x)) = L ((x) i(x)) = L((x)) iL((x)) = 0 .

Звідки L((x)) = 0, L((x)) = 0.
Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння (5.5).

а) Якщо (x) – розвязок , тобто L() 0, то y=c(x), де с – довільна константа, теж розвязок диференціального рівняння (5.
Константа (лат. constans - стала величина, інша назва - стала) - величина, що не змінює свого значення протягом певного процесу (на відміну від змінної, значення якої може змінюватись). Прикладами констант є число пі, коефіцієнти многочленів, температура під час ізотермічного процесу.
5)

L(с) = сL() = 0.


б) Якщо (x), (x) - розвязки диференціального рівняння (5.5), то

у= (x) (x) теж розвязок . Дійсно L ( ) = L () L () = 0.


в) Якщо (x), (x), ... , ) - розв’язки диференціального рівняння (5.5), то їх лінійна комбінація також являється розв’язком

L = 0.

Лінійна комбінація - сума із декількох математичних об'єктів одного типу, кожен з яких є попередньо помноженим на довільну скалярну константу, одне з основних понять в лінійній алгебрі.



Приклад 5.2. Записати двохпараметричне сімейство розвязків.
Сім'я́ або роди́на - соціальна група, яка складається з людей, які зазвичай перебувають у шлюбі, їхніх дітей (власних або прийомних) та інших осіб, поєднаних родинними зв'язками з подружжям, кровних родичів, і здійснює свою життєдіяльність на основі спільного економічного, побутового, морально-психологічного укладу, взаємної відповідальності, виховання дітей.


, =cos(x), =sin(x) - розв’язки, тоді y = ccos(x) csin(x) - розв’язок .
3. Необхідні і достатні умови лінійної незалежності n-розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння n – го порядку.

Означення 5.4. Функції (x), (x), ... , називаються лінійно незалежними на (a,b), якщо між не існує співвідношення виду

(x) (x) ... 0 , a < x < b , (5.13)

де , ... , - постійні числа не рівні нулю одночасно . В противному випадку функції (x), (x), ... , називають лінійно залежними на (a,b).

Для двох функцій поняття лінійної незалежності на (a,b) зводиться до того, щоб відношення функцій , не було постійним на (a,b).

Зауваження 5.1. Якщо одна із функцій на (a,b) тотожньо дорівнює нулю, то ці функції лінійно залежні.

Приклад 5.3. Функції =1, =x, ... , - лінійно незалежні на будь-якому інтервалі (a,b) . Дійсно співвідношення

x ... x=0 , в якому не всі дорівнюють нулю, не може виконуватися для будь-яких x , так як рівняння (n-1) – го степеня має не більше (n-1) – го коренів.

Приклад 5.4. Функції , - лінійно незалежні, так як співвідношення , де не рівні одночасно нулю, виконуються не більше ніж в одній точці. Це випливає з =.

Приклад 5.5. Функції =sinx , =cosx , =1 – лінійно залежні на , так як для будь-якого х справджується співвідношення

sinx cosx – 1 = 0 .



Розглянемо необхідні умови лінійної залежності n - функцій .
Лінійно незалежні вектори (лінійна незалежність множини векторів) - множина векторів, які не утворюють тривіальних лінійних комбінацій рівних нулю.

Теорема 5.1. Якщо функції (x), (x), ... , - лінійно залежні на (a,b) , то їх вронскіан W (x) тотожньо дорівнює нулю на (a,b) . Тут

W (x) = (5.14)



Доведення. Згідно умови теореми

(x) (x) ... 0 , a < x < b, де не всі одночасно рівні нулю . Нехай , тоді

(5.15)

Диференціюємо (5.15) (n-1)-раз і підставляємо в (5.14)

W (x) = (5.16)



Розкладаючи визначник (5.16) на суму визначників, будемо мати в кожному з них два однакові стовпці, тому всі визначники будуть рівні нулю і отже

W (x) 0 , a < x < b.

Тотожність (в математиці) - рівність, що виконується на всій множині значень змінних (рівність, що виконується для будь-яких значень змінної), наприклад
Теорема доведена.


Нехай кожна з функцій (x), (x), ... , - розвязок диференціального рівняння (5.5) . Тоді необхідні і достатні умови лінійної незалежності цих

розвязків даються теоремою 5.1. і слідуючою теоремою .

Теорема 5.2. Якщо функції (x), (x), ... , - суть лінійно незалежні розв’язки диференціального рівняння (5.5), всі коефіцієнти якого неперервні на (a,b) , то вронскіан цих розв’язків W не дорівнює нулю в жодній точці інтервалу (a,b) .
Коефіціє́нт - характеристика процесу, явища, речовини або поля, яка має відносно сталий характер.


Доведення. Припустимо протилежне , що в точці (a,b) . Складемо систему рівнянь

(5.17)

Так як визначник системи (5.17) , то вона має ненульовий розв’язок

. Розглянемо функцію y = , (5.18)

яка являється розв’язком диференціального рівняння (5.5).

Система (5.17) показує , що в точці розвязок (5.18) перетворюється в нуль разом із своїми похідними до (n-1) –го порядку . В силу теореми існування і єдиності це значить , що має місце тотожність y (x) = , a < x < b, де не всі дорівнюють нулю .
Існува́ння (від екзистенція) - центральне поняття екзистенціалізму, унікальна особистісна сутність людини, що втілює в собі духовну, психоемоційну неповторність особи.
Останнє означає , що розв
язки (x), (x), ... , - лінійно залежні на (a,b). Це протиріччя і доводить теорему.

З теорем 5.1. і 5.2. випливає : для того , щоб n розв’язків диференціального рівняння (5.5) були лінійно незалежними на (a,b) необхідно і достатньо , щоб їх вронскіан не дорівнював нулю в жодній точці цього інтервалу.
Необхідність - система зв'язків і відносин, що зумовлює зміну, поступальний рух, розвиток у жорстко визначеному напрямку з жорстко визначеними результатами. Іншими словами, необхідність - це такий зв'язок, що обов'язково призводить до певної події.


Виявляється , для вияснення лінійної незалежності n розв’язків диференціального рівняння (5.5) достатньо переконатися , що W (x) не дорівнює нулю хоча б в одній точці інтервалу (a,b) . Це випливає з наступних властивостей вронскіана від n розвязків диференціального рівняння (5.5):

а) Якщо вронскіан дорівнює нулю в одній точці (a,b) і всі коєфіцієнти диференціального рівняння (5.5) являються неперервними, то на (a,b).

Непере́рвна фу́нкція - одне з основних понять математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі.



Дійсно, якщо , то по теоремі 5.2. функції (x), (x), ... , - лінійно залежні на (a,b). Тоді , по теоремі 5.1. на (a,b);

б) якщо вронскіан n розв’язків диференціального рівняння (5.5) відмінний від нуля в одній точці (a,b), то на (a,b) .



Дійсно , якби W (x) дорівнював в одній точці з (a,b) нулю , то згідно а) на (a,b), в тому числі і в точці (a,b), що протирічить умові.

Звідси випливає , якщо n розв’язків диференціального рівняння (5.5) лінійно незалежні на (a,b), то вони будуть лінійно незалежні на будь-якому (a,b) .
4. Формула Остроградського – Ліувілля.
Формула Острогра́дського - формула, що виражає потік векторного поля через замкнену поверхню через інтеграл від дивергенції цього поля по об'єму, замкнутий під поверхнею.


Ця формула має вигляд (5.19)
Доведення . Розглянемо вронскіан W (x) = і обчислимо його похідну

.

Перших (n-1)-визначників рівні нулю , так як всі вони мають по дві однакових стрічки . Далі домножимо (n-1) стрічки останнього визначника відповідно на і складемо всі n стрічок . В силу диференціального рівняння (5.5) маємо =,

Звідки маємо формулу (5.19) .
5. Фундаментальна система розв’язків та ії існування.

Означення 5.5. Сукупність n розв’язків диференціального рівняння (5.5) визначених і лінійно незалежних на (a,b) називається фундаментальною системою розв’язків .

З попереднього випливає , для того , щоб система n розв’язків диференціального рівняння (5.5) була фундаментальною системою розв’язків необхідно і достатньо , щоб вронскіан цих розв’язків був відмінний від нуля хоч в одній точці інтервалу неперервності коефіцієнтів диференціального рівняння (5.5) . Всі ці розвязки повинні бути бути ненульовими .

Теорема 5.3. (про існування ФСР) Якщо коефіцієнти диференціального рівняння (5.5) являються неперервними на (a,b), то існує фундаментальна система розв’язків на цьому інтервалі.

Доведення . Візьмемо точку (a,b) і побудуємо, використовуючи метод Пікара, розвязки :

з початковими умовами ;
Задача Коші - одна з основних задач теорії диференціальних рівнянь - полягає в пошуку розв'язку (інтеграла) диференціального рівняння, що задовольняє початковим умовам (початковим даним).


------------- // --------------- ;

... ------------- // --------------- ... ... ... ....

------------- // --------------- .

Очевидно , що , отже побудовані розв’язки лінійно незалежні .

Теорема доведена .

З методу побудови лінійно незалежних функцій випливає, що таких функцій можна побудувати безліч.



Побудована система розвязків називається нормованою в точці .

Для будь-якого диференціального рівняння (5.5) існує тільки одна фундаментальна система розв’язків , нормована по моменту .
6. Загальний розв’язок. Число лінійно незалежних розв’язків.

Теорема 5.4. Якщо (x), (x), ... , - фундаментальна система розв’язків диференціального рівняння (5.5), то формула

y =, (5.20) де , , ... , - довільні константи, дає загальний розв’язок диференціального рівняння (5.5) в області a < x < b,



, , ... , (5.21), тобто в області визначення

диференціального рівняння (5.5).
Область визначення (старіший термін - область задавання[Джерело?]) - множина допустимих значень аргументу функції. Позначатиметься як D(y), якщо вказується область визначення функції y=f(x).


Доведення. Якщо (x), (x), ... , - розв’язки диференціального рівняння (5.5), то лінійна комбінація (5.20) теж розв’язок .

Систему (5.22) можна розвязати відносно , , ... ,

в області (5.21), так як . Згідно визначення (5.20) – загальний розвязок і він містить в собі всі розвязки диференціального рівняння (5.5) .

Теорема доведена .


Для знаходження частинного розвязку такого , що (5.23)

необхідно все підставити в (5.22) і визначити , i=1,2,…,n .

Тоді - частинний розв’язок , якщо фундаментальна система розв’язків – нормована в точці , то , тобто



(5.24) загальний розвязок в формі Коші .

Зауважимо , що загальний розв’язок диференціального рівняння (5.5) є однорідна лінійна функція від довільних констант .
Ліні́йна фу́нкція - в математиці, позначає два споріднені поняття: Лінійну функцію в елементарній математиці, Лінійне відображення у вищій математиці.


Твердження 5.1. Диференціальне рівняння (5.5) не може мати більше ніж n лінійно незалежних частинних розвязків.

Дійсно , нехай ми маємо (n 1) частинний розв’язок . Розглянемо n перших . Якщо вони лінійно залежні , то і всі будуть лінійно залежні , так як



, a < x < b, де всі не дорівнють нулю . Якщо ж вони лінійно залежні, то по теоремі 5.4. будь-який розвязок , в тому числі і виражається через , , ... , , тобто =. Так , що (n 1)-ий розвязок знову виявився лінійно залежним .

Для побудови диференціального рівняння типу (5.5) по системі лінійно незалежних функцій (x), (x), ... , , які n раз неперервно диференційовані на (a,b) , вронскіан яких , (a,b) необхідно розглянути вронскіан порядку (n 1)

= 0

і розкрити цей визначник по останньому стовпцю .



Якщо відомо один частинний ненульовий розвязок диференціального рівняння (5.5), то можна понизати порядок його на одиницю заміною

, або (5.25)

Тоді



і диференціального рівняння (5.5) запишемо у вигляді

Ми отримали диференціальне рівняння порядку (n-1) .



Якщо маємо к лінійно незалежнихчастинних розвязків , то диференціальне рівняння (5.5) можна понизити на к одиниць .
Каталог: Library
Library -> Конкурс щодо закупівлі робіт з будівництва об’єктів/елементів інфраструктури телекомунікаційних мереж, робіт з підключення абонентів
Library -> Проект плану-графіка
Library -> Національна бібліотека україни імені В. І. Вернадського центр бібліотечних електронних ресурсів І технологій Відділ технологій дистанційного обслуговування
Library -> “Інформаційні управляючі системи та технології” 080402 “Інформаційні технології проектування” Одеса 2010
Library -> Введение в Slackware Linux Что такое Linux?
Library -> Національна бібліотека україни імені В. І. Вернадського центр бібліотечних електронних ресурсів І технологій Відділ технологій дистанційного обслуговування
Library -> Дипломної освіти» ват «укртелеком»


Скачати 119.93 Kb.