Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Лекція Основні показники якості перехідних характеристик сау

Скачати 71.98 Kb.

Лекція Основні показники якості перехідних характеристик сау




Скачати 71.98 Kb.
Дата конвертації08.05.2017
Розмір71.98 Kb.
ТипЛекція

Лекція 1.7.

Основні показники якості перехідних характеристик САУ.

Якість САУ 2-го порядку.

Динамічні характеристики САУ 3-го порядку.

Оцінка коефіцієнта демпфірування.

Смуга пропускання САУ.

Зв’язок між перехідною характеристикою САУ і положенням коренів на S-площині.

Поло́ження - нормативно-правовий або локально-правовий акт, що визначає основні правила організації та діяльності державних органів, структурних підрозділів органу, а також установ, організацій і підприємств (філій), що їм підпорядковуються, тимчасово створюваних комісій, груп, бюро і т. ін.


1.7.1. Основні показники якості перехідних характеристик САУ.
Типові показники якості визначаються, як правило, у вигляді реакції САУ на одиничну ступеневу функцію.


t

tS

Мал.1. Реакція САУ на одиничний ступеневий сигнал.
Відносне перерегулювання.

; (1.7.1.1)

де:


- макс. значення вихідної величини;

- стале значення вихідної величини.

; (1.7.1.2)

Час регулювання (час перехідного процесу) - .

Враховуючи, що загасання перехідного процесу здійснюється лише за умов, коли , тому умовно визнають момент закінчення перехідного процесу у точці його перетинання з лініями, які відповідають відхиленню від сталого значення вихідної величини.

Затуха́ння[Джерело?], Загаса́ння, (рос. затухание, англ. attenuation, англ. disappearance, fading; нім. Ausklingen n, Erlöschen n - Послаблення, втрата сили вияву фізичного процесу (аж до його припинення) в часі і просторі.



Кількість коливань регульованої величини під час перехідного процесу .

Частота власних коливань САУ:

; (1.7.1.3)

де - період власних коливань САУ.



Логарифмічний декремент загасання САУ (який визначає швидкість загасання коливань):

; (1.7.1.4)

де - дві амплітуди для рядом розташованих екстремумів кривої перехідного процесу.

Екстремум - найбільше та найменше значення функції на заданій множині.

Ампліту́да (лат. amplitudo - широта) - найбільше значення величини, яка періодично змінюється. Наприклад, амплітудою називається найбільше зміщення маятника від положення рівноваги.



Стала похибка САУ.

Різниця між заданим значенням вихідного сигналу САУ і дійсним його значенням після закінчення перехідного процесу.



Час досягнення максимального значення вихідного сигналу - .

Часовий інтервал, за який вихідний сигнал САУ досягне максимальне значення.



Час наростання вихідного сигналу - .

Визначається як часовий інтервал для зростання вихідного сигналу з 10% до 90% від його сталого значення.

Як Ви знаєте із Лекції 1.5 характеристики перехідного процесу визначаються передаточною функцією замкненої лінійної САУ:

;

де:


- нулі передаточної функції;

- полюси передаточної функції на початку координат;

Початок координат - точка, де осі системи координат перетинаються. Початок координат поділяє кожну вісь системи на дві половини: позитивну та від'ємну.



- полюси передаточної функції на дійсної осі;

- пари комплексно-сполучених полюсів;



Мал.2. Перехідна характеристика САУ 2-го порядку в залежності від коефіцієнта демпфірування ζ (амплітуди визначені у відносних величинах, шкала часу – ).

Реакція САУ на імпульсний вхідний сигнал (якщо =0) визначається наступним рівнянням:



;

Зале́жність - набута гостра потреба здійснювати якісь дії або вживати якісь речовини. У практиці, цей термін має кілька значень.

Вхідни́й сигна́л (автоматика) - зумовлений (заздалегідь обумовлений) стан або зміна стану параметра, що відображає інформацію, яка міститься у впливі. Звичайно сигнал виражається певною математичною функцією, що однозначно відображає зміни у часі певного представницького параметра.

де:


, - константи, які залежатимуть від параметрів САУ:.
1.7.2. Якість САУ 2-го порядку.


Y(s)


Мал.3. Структурна схема замкненої САУ.

Константа (лат. constans - стала величина, інша назва - стала) - величина, що не змінює свого значення протягом певного процесу (на відміну від змінної, значення якої може змінюватись). Прикладами констант є число пі, коефіцієнти многочленів, температура під час ізотермічного процесу.

Структу́рна схе́ма - схема, яка визначає основні функціональні частини виробу, їх взаємозв'язки та призначення. Під функціональною частиною розуміють складову частину схеми: елемент, пристрій, функціональну групу, функціональну ланку.

W(s) = - передаточна функція замкненої САУ. (1.7.2.1)



; (1.7.2.2)

У випадку вхідного сигналу у вигляді одиничної ступеневої функції ми отримуємо:



; <0ζ<1 (1.7.2.3)

де:


  • ζ – коефіцієнт демпфірування;

  • ωn – власна частота коливань.

- ;

- ;

Реакція САУ на одиничну імпульсну функцію – функція ваги:

; (1.7.2.4)

Оцінка часу перехідного процесу - .

Нехай ширина зони - .



;

Таким чином, ми отримуємо: ;

Тому:

= 4τ; (1.7.2.5)

де - постійна часу, що відноситься до домінуючих коренів характеристичного рівняння.

Постійна часу - характеристика експоненціального процесу, що визначає час, через який амплітуда процесу впаде в «е» раз.

Характеристичний поліном квадратної матриці A розміру n × n - це многочлен степеня n від змінної λ , який дорівнює

При проведенні дослідження якості САУ 2-го порядку ми отримали такі висновки:


  • швидкодія САУ визначається часом наростання вихідного сигналу і часом досягнення максимального значення вихідного сигналу - ;

бажаний вигляд характеристик САУ визначається відносним перерегулюванням і часом перехідного процесу - .

На жаль, ці фактори суперечать один одному.

Так, наприклад, ми можемо отримати такі рівняння:

; (1.7.2.6)

для відносного перерегулювання:



; (1.7.2.7)



Мал.4. Залежність Відносного Перерегулювання і нормованого часу досягнення максимального значення вихідного сигналу - від коефіцієнту демпфірування ζ.

Ми маємо також можливість отримати наступну залежність нормованого часу наростання вихідного сигналу - від коефіцієнту демпфірування ζ, яка апроксимується за допомогою наступного виразу:



;

Можливість - це дія, що може відбутися або ні (можливо, приїду, а, можливо, і ні). Можливість можна забезпечити чи покладатись на «авось» та якось буде. Альтернатива дає шанс, але не гарантує без відповідних дій забезпечення результату і адекватності та конструктиву діяльності.

() (1.7.2.7)



Мал.6. Залежність нормованого часу наростання вихідного сигналу - від коефіцієнту демпфірування ζ.

Висновок:

При заданому значенні коефіцієнту демпфірування ζ реакція САУ тим більша, чим більше - частота власних коливань. При цьому величина перерегулювання не залежатиме від величини .
1.7.3. Динамічні характеристики САУ 3-го порядку.
Ви розглянули показники якості САУ 2-го порядку. Але вони дуже корисні для дослідження САУ більш високого порядку, які матиме пару домінуючих коренів і реакція яких мало відрізняється від показників САУ 2-го порядку.

Розглянемо замкнену передаточну функцію САУ 3-го порядку:



(1.7.3.1)

Експериментально встановлено, що значення Відносного Перерегулювання і часу регулювання (часу перехідного процесу) - відповідають показникам САУ 2-го порядку, якщо:



(1.7.3.2)


Re

S-площина




Мал.7. Розташування коренів САУ 3-го порядку на s-площині.

Примітка: корені замкненої САУ позначені за допомогою малих кіл.
Іншими словами, реакцію САУ 3-го порядку можна апроксимувати за допомогою домінуючих коренів САУ 2-го порядку, якщо дійсна частина цих коренів менше 1/10 дійсної частини третього кореня.

Слід також зазначити, що на характер перехідного процесу САУ, яке має 1 нуль і 2 полюси, сильний вплив здійснює положення нуля:



(1.7.3.

Координати (рос. координаты, англ. coordinates; нім. Koordinaten f pl) - числа, величини, що визначають положення точки у просторі.

3)
1.7.4. Оцінка коефіцієнта демпфірування.
Ви раніше визначили реакцію САУ 2-го порядку на одиничну ступеневу функцію:

де:


  • ζ – коефіцієнт демпфірування;

  • ωn – власна частота коливань.

- ;

Тому, якщо ζ<1, тоді частота гармонійних коливань, що загасають, є наступною:



(1.7.4.1.)

а число коливань за 1 с. дорівнює ω/2π.

Постійна часу експоненти, що загасає:

(с.)

(1.7.4.2.)

Вважаючи, що перехідний процес закінчується за n постійних часу, ми отримуємо:

(Число Коливань, Що Розрізняються)= (1.7.4.3.)

Для САУ 2-го порядку ми маємо ширину зони після 4τ – постійних часу.

Тоді, n=4, і:

(Число Коливань, Що Розрізняються)= (1.7.4.4.)

для 0.2≤ζ≤0.6.
1.7.5. Смуга пропускання САУ.

Смуга пропускання частот (англ. Bandwith) - діапазон частот, у межах якого амплітудно-частотна характеристика (АЧХ) акустичного, радіотехнічного або оптичного пристрою є досить рівномірною для того, щоб забезпечити передачу сигналу без суттєвого викривлення його форми.


Смуга пропускання САУ визначається частотою , при якої її коефіцієнт підсилення зменшується нижче рівня у 70.

Передавальний коефіцієнт або Коефіцієнт передачі - відношення значення сигналу на виході деякої системи до відповідного вхідного сигналу.

79% (або -3 dB) відносно значення цього коефіцієнту на низьких частотах.
Якщо, тоді час наростання вихідного сигналу - .

Частота також впливає на величину перерегулювання.

Максимум АЧХ повинен бути достатньо малий.

Смуга пропускання замкненої САУ є засобом оцінки того, яким чином ця САУ відпрацьовує зовнішні впливи.

Таким чином, при конструюванні САУ необхідно обирати систему з максимально можливим значенням смуги пропускання.



Мал.8. Амплітудно-частотна характеристика САУ.

Ампліту́дно-часто́тна характери́стика (АЧХ) - графік залежності амплітуди вихідного сигналу передавача від частоти вхідного сигналу сталої амплітуди.


A. САУ 1-го порядку.



САУ з більшим значенням смуги пропускання реагує швидше на одиничну ступеневу функцію і ліпше відтворює вхідний сигнал, який лінійно зростає.





Мал.9. Реакції двох САУ 1-го порядку.
Цей показник можна визначити наступним чином:



Тоді .


B. САУ 2-го порядку.

Вимога до цього показника для САУ 2-го порядку є така:



Смуга пропускання повинна бути якомога більшою для отримання малого значення часової константи

τ=1/ζωn.
Розглянемо САУ 2-го порядку:



Ми маємо однаковий коефіцієнт демпфірування ζ=0.5.

Власна частота коливань:

ωn3 – 10 рад/с;

ωn4 – 30 рад/с;

Смуга пропускання:

BW3 – 15 рад/с;

BW4 – 40 рад/с.

Обидві САУ матиме подібні показники відносного перерегулювання -15%, але вони матиме різни значення часу () - 0.12 с. і 0.36 с. відповідно.

Вони також матиме різні значення часу регулювання (час перехідного процесу) - - 0.37 і 0.9 с. відповідно.

САУ з більшим значенням цього показника матиме більш високий показник швидкодії.

Швидкодія (рос. быстродействие, англ. speed of response, нім. Schnelligkeit f, Reaktionsfähigkeit f, Ansprechgeschwindigkeit f) - швидкість реакції системи на зовнішні дії або кількість операцій, які здійснює система за одиницю часу.







Мал.10. Часові і частотні характеристики САУ 2-го порядку.
Программа Matlab:

h = tf([2],[1 2 3]);

fb=bandwidth(h)
fb =2.0384
1.7.6. Зв’язок між перехідною характеристикою САУ і положенням коренів на S-площині.
Як Ви знаєте, перехідна характеристика у загальному випадку визначається розташуванням полюсів і нулів передаточної функції.

При одиничному ступеневому вхідному сигналі і відсутності кратних коренів (якщо коефіцієнт підсилення САУ = 1) ми отримуємо такий вираз для вихідного сигналу:



(1.7.6.1)

де:


- константи.

Корені САУ є:



  • дійсними виду ;

  • або комплексно сполученими парами виду .

Тоді обернене перетворення Лапласа дає такий вираз:



(1.7.6.

Перетворення Лапла́са - інтегральне перетворення, що зв'язує функцію F ( s ) комплексної змінної (зображення) з функцією f ( x ) дійсної змінної (оригінал). З його допомогою досліджуються властивості динамічних систем і розв'язуються диференціальні і інтегральні рівняння.

2)

де визначається за допомогою .



Таким чином, ми маємо перехідну характеристику, яка містить сталі значення , експоненціальні члени і синусоїдальні компоненти, що загасають.

Компонент (англ. component, нім. Komponente f) - різновид, складова частина чогось.





Мал.11. Реакція САУ на вхідний сигнал при різному розташуванні коренів на S-площині (комплексно сполучені корені не показані).






Скачати 71.98 Kb.

  • 1.7.1. Основні показники якості перехідних характеристик САУ.
  • Мал.1. Реакція САУ на одиничний ступеневий сигнал. Відносне перерегулювання.
  • Час регулювання (час перехідного процесу)
  • Кількість коливань
  • Час досягнення максимального значення вихідного сигналу
  • Час наростання вихідного сигналу
  • Мал.2 . Перехідна характеристика САУ 2 -го порядку в залежності
  • Мал.3. Структурна схема
  • Оцінка часу перехідного процесу
  • Мал.6. Залежність нормованого часу наростання вихідного сигналу - від коефіцієнту демпфірування ζ.
  • 1.7.3. Динамічні характеристики САУ 3-го порядку.
  • Мал.7. Розташування коренів САУ 3-го порядку на s-площині. Примітка
  • 1.7.4. Оцінка коефіцієнта демпфірування.
  • 1.7.5. Смуга пропускання
  • Мал.8. Амплітудно-частотна характеристика
  • Мал.9. Реакції двох САУ 1-го порядку.
  • B. САУ 2-го порядку.
  • Мал.10. Часові і частотні характеристики САУ 2-го порядку.
  • Мал.11. Реакція САУ на вхідний сигнал при різному розташуванні коренів на S-площині (комплексно сполучені корені не показані).