Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Матеріал до заліку з топології 2015, зима

Скачати 25.25 Kb.

Матеріал до заліку з топології 2015, зима




Скачати 25.25 Kb.
Дата конвертації31.03.2017
Розмір25.25 Kb.

Матеріал до заліку з топології

2015, зима


 

  1. Топологія та топологічний простір.
    Топологічний простір - це впорядкована пара (X, Γ), де X - множина, а Γ - система підмножин множини X (їх називають відкритими), що задовільняє таким умовам: Порожня множина ∅ та множина X належать Γ.
    Околи. Приклади. Опис природньої топології на прямій.

  2. Замкнені множини і їхні властивості.

  3. Порівняння топологій.

  4. База топології. База у точці та аксіоми зліченності. Приклади.

  5. Критерій бази. Приклади.

  6. Метричний простір. Кулі та сфери.

  7. Ізометрії та біліпшицева еквівалентність метрик.
    Логічна еквівалентність (еквіваленція) - двомісна логічна операція, що має значення «істина» тоді і тільки тоді, коли обидва операнди мають однакове значення. В інших випадках еквіваленція буде хибною.
    Приклади.

  8. Метрична топологія. Природня топологія на . Бази метричної топології. Хаусдорфові простори.

  9. Класифікація точок множини. Властивості внутрішності, замикання, межі. Приклади. Всюди щільні підмножини і сепарабельність.

  10. Індукована топологія і її властивості. Приклади. Топологія на сфері. 

  11. Неперервні відображення і їхні властивості. Неперервність у точці.

  12. Границя послідовності. Єдиність границі у хаусдорфовому просторі. Критерії неперервності відображення і замкненості множини у термінах границь.

  13. Гомеоморфність. Топологічні інваріанти. Приклади.

  14. Фактортопологія. Фактортопологія, що породжена відношенням еквівалентності. Приклади.

  15. Дія групи на множині. Фактортопологія на просторі орбіт. Приклади. Тори і проективні простори.

  16. Побудова топології прямого добутку топологічних просторів і її властивості. Проекції та їхні властивості. Приклади.

  17. Покриття. Компактні топологічні простори і підмножини. Приклади.

  18. Топологічна інваріантність компактності.

  19. Компактність замкненої підмножини компактного простору.
    Множина Множина́ - одне з основних понять сучасної математики. Строго воно не визначається, але може бути дано інтуїтивне визначення множини як сукупності певних і різних об'єктів довільної природи, яка розглядається як одне ціле.
    Компа́ктний про́стір - це такий топологічний простір, що для будь-якого його відкритого покриття знайдеться скінчене підпокриття.
    Замкненість компактної підмножини хаусдорфового простору. Компактність прямого добутку.

  20. Властивість нескінченної підмножини компактного простору. Секвенціальна компактність.

  21. Обмежені множини. Обмеженість компактної множини. Критерій компактності підмножин .

  22. Теорема Вейєрштрасса. Лема Лебега.

  23. Зв'язні топологічні простори і підмножини. Відкритозамкнені підмножини. Приклади.

  24. Зв'язність об'єднання зв'язних підмножин. Опис зв'язних підмножин прямої. Достатні умови зв'язності.

  25. Топологічна інваріантність зв'язності. Зв'язність прямого добутку.

  26. Неперервні функції на зв'язному просторі. Теорема Больцано та її наслідки. Одновимірна теорема Брауера про нерухому точку.
    Нерухома точка Нерухома точка відображення множини в себе - точка, яка відображається сама в себе.


  27. Зв'язні компоненти та їх властивості. Приклади.

  28. Шляхи. Добуток шляхів. Лінійно зв'язні топологічні простори. Приклади.

  29. Топологічна інваріантність лінійної зв'язності. Лінійна зв'язність об'єднання лінійно зв'язних підмножин. Лінійна зв'язність прямого добутку.

  30. Зв'язність лінійно зв'язного простору. Приклад зв'язного лінійно незв'язного простору.

  31. Лінійна зв'язність областей локально евклідового простору.
    Компонент (англ. component, нім. Komponente f) - різновид, складова частина чогось.
    Евклідів простір - скінченновимірний дійсний векторний простір E із скалярним добутком. Характеристики евклідового простору неформально можна вважати узагальненнями звичних та досліджуваних Евклідом 2- та 3-вимірних просторів.


  32. Компоненти лінійної зв'язності та їх властивості. Приклади.

  33. Гомотопія неперервних відображень.
    Непере́рвна фу́нкція - одне з основних понять математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі.
    Приклади.

  34. Гомотопічна еквівалентність просторів. Стяжні простори. Приклади.

  35. Гомотопія шляхів. Властивості добутку шляхів. Фундаментальна група.

  36. Ізоморфізм фундаментальних груп в точках однієї компоненти лінійної зв'язності.

  37. Відображення фундаментальних груп, індуковане неперервним відображенням. Його властивості.

  38. Гомотопічна інваріантність фундаментальної групи. Однозв'язні простори. Приклади.

  39. Накриття. Неперервні, цілком розривні дії і накриття над простором орбіт. Універсальні накриття. Приклади.

  40. Лема про накриття шляху. Лема про накриття відображення куба.

  41. Лема про накривну гомотопію.

  42. Фундаментальна група простору орбіт. Приклади обчислення.
    Обчи́слення - є гілкою математики, зосередженою на функціях, похідних, інтегралах, і нескінченному ряду чисел. Цей предмет являє собою важливу частину сучасної математичної освіти. Воно складається з двох основних галузей - диференціального і інтегрального численнь, які пов'язують основні теореми обчислення.
    Фундаментальна група прямого добутку.

  43. Ретракції. Теорема про барабан. Двовимірна теорема Брауера про нерухому точку.

  44. Теорема Борсука-Улама та її наслідки.


Скачати 25.25 Kb.