Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Механіко-математичний факультет

Скачати 99.52 Kb.

Механіко-математичний факультет




Скачати 99.52 Kb.
Сторінка1/2
Дата конвертації28.04.2017
Розмір99.52 Kb.
  1   2

Київський національний університет ім. Тараса Шевченка

механіко-математичний факультет
ПИТАННЯ

з основних нормативних курсів математики та механіки для присвоєння кваліфікації

“бакалавр механіки” (спеціальність “механіка”)

(2006-2007 навчальний рік)


Студент повинен активно володіти та формулювати такі поняття та твердження:


  1. Границі послідовностей і функцій, способи їх обчислень.

  2. Неперервні та рівномірно неперервні функції. Тип розривів.

  3. Похідні та диференціали функцій однієї та багатьох змінних.

  4. Застосування похідних до дослідження функцій.

  5. Формула Тейлора. Залишковий член у формі Тейлора (різні форми).

  6. Первісні функції, техніка їх знаходження. Інтеграл Рімана, умови його існування та зв’язок з первісними функціями.
    Непере́рвна фу́нкція - одне з основних понять математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі.
    Інтегра́л Рі́мана - одне з найважливіших понять математичного аналізу, є узагальненням поняття суми, яке знаходить широке застосування в багатьох галузях математики. Був уведений Бернгардом Ріманом в 1854 році, і є однією з перших формалізацій поняття інтегралу.


  7. Числові та функціональні ряди. Сума ряду, ознаки збіжності. Абсолютна збіжність. Рівномірна збіжність.

  8. Степеневі ряди. Радіус збіжності.

  9. Ряди Фур’є та умови розкладу функцій в ряди Фур’є.

  10. Невласні інтеграли. Умови збіжності невласних інтегралів. Абсолютна збіжність.

  11. Інтеграли, що залежать від параметра, їхні властивості. Рівномірна збіжність.

  12. Кратні інтеграли. Заміна змінних у кратному інтегралі.

  13. Криволінійні та поверхневі інтеграли.
    Ознаки збіжності рядів - ознаки, що доводять або спростовують збіжність числового ряду. Нехай дано ряд
    Рівномірна збіжність послідовності функцій - властивість послідовності f n : X → Y :X\to Y} , де X - довільна множина, Y = ( Y , d ) - метричний простір, n = 1 , 2 , … збігається до функції (відображення) f : X → Y , що означає, що для будь-якого ε > 0 існує такий номер N ε } , що для всіх номерів n > N ε } і всіх точок x ∈ X виконується нерівність
    Функціональний ряд - ряд, кожен член якого є деякою функцією від однієї чи багатьох незалежних змінних.
    У математиці поверхне́вий інтегра́л - це визначений інтеграл, котрий береться по поверхні (яка може бути зігнутою множиною в просторі); його можна розглядати як подвійний інтегральний аналог лінійного інтегралу.


  14. Формули Стокса, Гріна, Гауса–Остроградського. Дивергенція і ротор векторного поля.

  15. Комплексні числа та дії над ними.

  16. Многочлени та їх корені.

  17. Матриці та дії над ними. Обернена матриця.

  18. Визначники, їх властивості та застосування.

  19. Векторні простори. Лінійна залежність. База і розмірність.

  20. Координати у векторному просторі.
    Лінійно незалежні вектори (лінійна незалежність множини векторів) - множина векторів, які не утворюють тривіальних лінійних комбінацій рівних нулю.
    Векторний простір Ве́кторний (ліні́йний) про́стір - основне поняття лінійної алгебри, узагальнення множини всіх векторів на площині чи в просторі з операціями додавання векторів та множення вектора на скаляр.
    Заміна координат.

  21. Лінійні відображення та їхні матриці. Ранг лінійного відображення і ранг матриці.

  22. Власні числа і власні вектори. Характеристичний многочлен.

  23. Додатньо означені квадратичні форми.

  24. Рівняння прямої та площини.

  25. Рівняння еліпса, гіперболи та параболи.

  26. Рівняння еліпсоїда, гіперболоїдів, параболоїдів, конусів та циліндрів другого порядку.

  27. Скалярний і векторний добуток векторів.
    Характеристичний поліном квадратної матриці A розміру n × n - це многочлен степеня n від змінної λ , який дорівнює
    Вла́сний ве́ктор (англ. eigenvector) квадратної матриці A (з вла́сним зна́ченням (англ. eigenvalue) λ ) - це ненульовий вектор v , для якого виконується співвідношення
    Ранг матриці - порядок найбільших відмінних від нуля мінорів цієї матриці (такі мінори називаються базисними).
    Квадрати́чна фо́рма - однорідний многочлен другого степеня від однієї чи декількох змінних.
    Диференціа́льні рівня́ння - рівняння, що встановлює залежність між незалежними змінними, числами (параметрами), невідомими функціями та їх похідними. Невідома функція може бути як скалярною, так і векторною.
    Векторний добуток Ве́кторний до́буток - білінійна, антисиметрична операція на векторах у тривимірному просторі. На відміну від скалярного добутку векторів евклідового простору, результатом векторного добутку є вектор, а не скаляр.


  28. Дотична до кривої. Дотична площина до поверхні.

  29. Нормаль до кривої. Головна нормаль і бінормаль кривої.

  30. Кривина і скрут кривої.

  31. Лінійні диференціальні рівняння в частинних похідних другого порядку, їх класифікація.

  32. Перша квадратична форма поверхні.

  33. Звичайні диференціальні рівняння та їхні розв'язки. Задача Коші для звичайного диференційного рівняння.

  34. Фундаментальна система розв'язків лінійної однорідної системи диференціальних рівнянь.

  35. Аналітичні функції комплексної змінної, їхні властивості.
    Задача Коші - одна з основних задач теорії диференціальних рівнянь - полягає в пошуку розв'язку (інтеграла) диференціального рівняння, що задовольняє початковим умовам (початковим даним).
    У диференціальній геометрії, cкрут кривої (англ. torsion of a curve) - це кількісна міра відхилення кривої від стичної площини. Таким чином, скрут вказує наскільки крива відрізняється від форми плоскої кривої.
    В математиці, часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних - це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.
    Ко́мпле́ксні чи́сла - розширення поля дійсних чисел, зазвичай позначається C } . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума x + i y , де x і y - дійсні числа, i - уявна одиниця.


  36. Умови Коші–Рімана.

  37. Інтеграл Коші.

  38. Аналітичне продовження.

  39. Особливі точки аналітичної функції, їх класифікація.

  40. Ряди Тейлора.

  41. Лишки аналітичних функцій.
    Аналіти́чна фу́нкція -функція, яка збігається зі своїм рядом Тейлора в околі будь-якої точки області визначення.


  42. Поняття ймовірності та випадкової величини.

  43. Функції розподілу та щільність розподілу. Математичне очікування та дисперсія. Закон великих чисел.

  44. Варіаційна задача для найпростішого функціоналу. Рівняння Ейлера.

  45. Варіаційні задачі з рухомими границями. Умови трансверсальності.

  46. Теорема Веєрштрасса і теорема Якобі про достатні умови екстремуму функціоналу.

  47. Матеріальна точка, система точок, абсолютно тверде тіло, суцільне середовище.
    Математи́чне сподіва́ння, середнє значення - одна з основних числових характеристик кожної випадкової величини. Воно є узагальненим поняттям середнього значення сукупності чисел на той випадок, коли елементи множини значень цієї сукупності мають різну "вагу", ціну, важливість, пріоритет, що є характерним для значень випадкової змінної.
    Суцільне середовище ( англ. continuous medium, англ. continuum; нім. Kontinuität f - фізична система з нескінченним числом внутрішніх ступенів свободи.
    Випадкова величина (англ. Random variable) - одне з основних понять теорії ймовірностей.
    Абсолю́тно тверде́ тíло - тіло, яке ні за яких умов не деформується і за всіх умов відстань між двома точками (або точніше між двома частинами) якого залишається постійною.


  48. Простір і час в класичній механіці.
    Класична механіка - розділ фізики, який вивчає рух на основі законів Ньютона та принципу відносності Галілея. Тому її часто називають «Ньютоновою механікою».


  49. Маса і кількість руху.

  50. Механічні сили та їх властивості.

  51. Основні закони механіки.

  52. Механічні в'язі та їх реакції. Основні аксіоми статики.

  53. Момент сили відносно точки та відносно осі.

  54. Рівнодійна системи сил. Головний вектор та головний момент системи сил.

  55. Умови рівноваги вільного та невільного твердого тіла.

  56. Способи задання руху матеріальної точки.
    Матеріа́льна то́чка (частинка) -це фізична модель, яку використовують замість тіла, розмірами якого в умовах даної задачі можна знехтувати.
    Швидкість та прискорення руху точки.

  57. Інерціальні і неінерціальні системи відліку.
    Систе́ма ві́дліку - співвідношення нерухомих одне відносно іншого тіл, відносно яких розглядається рух, і годинників, що відраховують час. Це одне з найважливіших понять, яке характеризує пізнавальний процес у фізиці.
    Абсолютний, переносний і відносний рухи точки. Абсолютна швидкість та абсолютне прискорення. Прискорення Каріоліса.

  58. Розподіл лінійних швидкостей та прискорення в тілі, що обертається: навколо нерухомої осі, навколо нерухомої точки, в тілі, яке рухається плоско–паралельно.

  59. Основні задачі динаміки точки.

  60. Кінетична енергія точки, системи точок. Кінетична енергія тіла, яке рухається плоско–паралельно, тіла, яке обертається навколо нерухомої осі та навколо нерухомої точки.
    Нерухома точка відображення множини в себе - точка, яка відображається сама в себе.
    Кінетична енергія Кінети́чна ене́ргія - частина енергії фізичної системи, яку вона має завдяки руху.


  61. Момент кількості руху матеріальної системи, твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої осі та навколо нерухомої точки.

  62. Моменти інерції та їх властивості. Головні осі інерції.

  63. Робота сил. Обчислення роботи.

  64. Основні теореми динаміки: про зміну кількості руху, про рух центру інерції, про зміну кінетичної енергії, про зміну моменту кількості руху.

  65. Можливі переміщення. Кількість степеней вільності матеріальної системи.

  66. Принципи можливих переміщень. Загальне рівняння системи. Принцип Даламбера–Лагранжа. Загальне рівняння динаміки.

  67. Узагальнені координати, узагальнені швидкості, узагальнені сили.

  68. Диференціальні
  1   2


Скачати 99.52 Kb.

  • Студент повинен активно володіти та формулювати такі поняття та твердження
  • Лінійна залежність