Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Механіко-математичний факультет

Скачати 42.66 Kb.

Механіко-математичний факультет




Скачати 42.66 Kb.
Дата конвертації28.04.2017
Розмір42.66 Kb.
ТипПрограма

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Механіко-математичний факультет

кафедра математичної фізики

„ЗАТВЕРДЖУЮ”

Голова вченої ради механіко-математичного факультету
_______________________________проф.

Математична фізика - загальна назва математичних методів дослідження і розв'язання диференціальних рівнянь, які виникають, зокрема, в фізиці. Теорія математичних моделей фізичних явищ; займає особливе положення і у математиці, і у фізиці, перебуваючи на стику цих наук.
Парасюк І.О.

протокол № _____

від „____”________________________ 2006 р.
П Р О Г Р А М А

нормативного курсу "Комплексний аналіз"

для студентів 3 курсу механіко-математичного факультету

(спеціальності: математика, статистика)

Програма складена проф. Самойленко В.Г.

Завідувач кафедри математичної фізики,

професор __________________ В.Г. Самойленко
ВСТУП

Предмет комплексного аналізу (теорії функції комплексної змінної).

Комплексний аналіз Компле́ксний ана́ліз, або тео́рія фу́нкції компле́ксної змі́нної (ТФКЗ) - розділ математики, що вивчає функції, які залежать від комплексної змінної. Використовується у багатьох розділах математики, зокрема у теорії чисел, прикладній математиці та фізиці.
Ко́мпле́ксні чи́сла - розширення поля дійсних чисел, зазвичай позначається C } . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума x + i y , де x і y - дійсні числа, i - уявна одиниця.
Короткий огляд історичних відомостей і розвитку комплексного аналізу. Роль комплексного аналізу в математиці та його застосування.


ОСНОВНА ЧАСТИНА

Комплексні числа, зображення їх на площині, модуль та аргумент комплексного числа. Форми запису комплексного числа. Тригонометрична та показникова форми комплексного числа. Дії над комплексними числами.

Комплексна площина. Сфера Рімана. Стереографічна проекція і нескінченно віддалена точка. Розширена комплексна площина. Основні топологічні поняття на комплексній площині. Шляхи та криві. Область, однозв’язна та неоднозв’язна область.

Означення функції комплексної змінної. Границя та неперервність у точці функції комплексної змінної. Диференціювання функції комплексної змінної. Умови Коші-Рімана. Дійсна та уявна частини диференційованої функції комплексної змінної як гармонічної функції. Геометричний зміст модуля та аргументу похідної функції комплексної змінної.

Комплексна площина C } - множина впорядкованих пар ( x , y ) , де x , y ∈ R } . Зазвичай проводиться утотожнення комплексної площини і поля комплексних чисел C } за принципом ( x , y ) ≡ x + i y .
Сфера Рімана Сфера Рімана - ріманова поверхня, природня структура на розширеній комплексній площині C ^ = C ∪ , }}=\mathbb \cup \,} яка є комплексною проективною прямою C P 1 . \mathbb ^.}
Похідна́ - основне поняття диференціального числення, що характеризує швидкість зміни функції. Визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує).
Поняття конформного відображення.
Конформне відображення - неперервне відображення, що зберігає кути. Більш формально, неперервне відображення області G n-вимірного евклідового простору в n-вимірний евклідовий простір називається конформним в точці z 0 ∈ G \in G} якщо воно в цій точці має властивість збереження кутів, тобто будь-яка пара неперервних кривих l 1 , l 2 ,l_} , що розташовані в G і перетинаються в точці z 0 } під кутом α . (Мають дотичні в точці z 0 } , що утворюють між собою кут α ), при даному відображенні переходить в пару неперервних кривих L 1 , L 2 , ,L_,} що перетинаються в точці w 0 = f ( z 0 ) =f(z_)} під тим же кутом α . Неперервне відображення області G називається конформним, якщо воно є конформним в кожній точці цієї області.
Аналітичні функції. Поняття однолисності функції комплексної змінної.

Елементарні аналітичні функції та їх конформні відображення. Лінійна та дробово-лінійна функції, їх властивості. Теорема про існування та єдиність дробово-лінійної функції, що відображає три довільні точки на три довільні точки комплексної площини. Кругова властивість та властивість симетрії дробово-лінійного відображення. Степенева та показникові функції. Обернені до них функції та їх поверхні Рімана.

Показнико́ва або ж Експоненці́йна фу́нкція - функція виду f ( x ) = a x \,\!} , де a - стале число (додатне, але не дорівнює одиниці).
Ріманова поверхня - традиційна в комплексному аналізі назва 1-вимірного комплексного многовиду. Такі поверхні почав систематично вивчати Бернгард Ріман. Прикладами ріманових поверхонь є комплексна площина і сфера Рімана.
Функція Жуковського. Тригонометричні функції, гіперболічні функції. Обернені до тригонометричних функції та їх поверхні Рімана.

Інтегрування функції комплексної змінної. Інтеграл вздовж шляху, його простіші властивості. Первісна, перша теорема Коші про інтеграл вздовж шляху. Формула Ньютона-Лейбніца. Теорема Коші про інваріантність інтегралу вздовж шляху стосовно гомотопного деформування шляху інтегрування. Класична теорема Коші для простого шляху для неоднозв’язної області. Існування первісної аналітичної функції в неоднозв’язній області.

Теорема Ліувілля. Інтегральна формула Коші.

Гіперболі́чні фу́нкції - сімейство елементарних функцій, які виражаються через експоненту і тісно пов'язанні з тригонометричними функціями.
Тригонометричні функції Тригонометри́чні фу́нкції - це функції кута. Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін та кута трикутника або як відношення координат точок кола.
Інтегра́льна фо́рмула Коші́ - одна з головних формул комплексного аналізу, виведена Оґюстеном-Луї Коші. Вона дозволяє виразити значення регулярної функції в будь-якій точці області через значення функції на межі цієї області.
Формули Сохоцького.

Функціональні ряди, рівномірна збіжність в області.

Рівномірна збіжність послідовності функцій - властивість послідовності f n : X → Y :X\to Y} , де X - довільна множина, Y = ( Y , d ) - метричний простір, n = 1 , 2 , … збігається до функції (відображення) f : X → Y , що означає, що для будь-якого ε > 0 існує такий номер N ε } , що для всіх номерів n > N ε } і всіх точок x ∈ X виконується нерівність
Теорема Вейерштрасса про рівномірно збіжні ряди аналітичних функцій. Степеневий ряд, його круг збіжності. Формула Коші-Адамара. Аналітичність суми степеневого ряду. Розвинення аналітичних функцій в ряд Тейлора, його єдиність.

Теорема єдиності для аналітичних функцій. Нулі аналітичних функцій, їх порядок.

Розвинення аналітичних функцій в ряд Лорана, його єдиність. Класифікація особливих точок.

Особлива точка - точка голоморфної функції, в якій функція не визначена, її границя нескінченна або границі не існує.
Теорема про поведінку аналітичної функції в околі її усувної особливої точки та в околі полюса. Теорема Сохоцького про поведінку аналітичної функції в околі істотно особливої точки. Розвинення в ряд Лорана функції комплексної змінної в проколотому околі нескінченно віддаленої точки. Класифікація особливостей в нескінченно віддаленій точці. Теорема про мероморфну функцію.

Поняття лишку. Принцип аргументу. Означення лишку в нескінченно віддаленій точці. Основна теорема про лишки. Формули для обчислення лишків. Застосування теорії лишків для обчислення інтегралів та сум рядів, логарифмічний лишок. Принцип аргументу. Теорема Руше та її застосування.

Геометричні питання теорії аналітичних функцій.

Принцип аргументу - теорема в комплексному аналізі, важливий наслідок основної теореми про лишки.
Теореми Руше - твердження в комплексному аналізі згідно з яким, якщо функції f ( z ) і g ( z ) голоморфні в однозв'язній області G , а на контурі ∂ G також виконується строга нерівність | f ( z ) − g ( z ) | ∂ G {\displaystyle |f(z)-g(z)|
Меромо́рфна фу́нкція (від грец. μέρος - дріб, грец. ὅλος - вид) - у комплексному аналізі голоморфна функція, визначена на підмножині Ω ⊂ C } , і у кожній особливій точці має полюс, який не має граничних точок.
Ли́шок (від фр. résidu - лишок, англ. residue, рос. вычет) у комплексному аналізі - число (як дійсне, так і комплексне), яке описує поведінку криволінійних інтегралів мероморфних функцій у деякій особливій точці.
Аналіти́чна фу́нкція -функція, яка збігається зі своїм рядом Тейлора в околі будь-якої точки області визначення.
Теорема про збереження області. Принцип максимуму модуля. Лема Шварца. Теорема Рімана та теорема про відповідність границь при конформних відображеннях. Конформні ізоморфізми та автоморфізми, умови єдиності.



Операційне числення. Означення перетворення Лапласа, основні властивості перетворення Лапласа. Застосування перетворення Лапласа до розв’язування лінійних звичайних диференціальних рівнянь та крайових задач математичної фізики.
Крайова задача - задача теорії диференціальних рівнянь, в якій граничні умови задаються в різних точках. Наприклад, при коливаннях струни із закріпленеми кінцями зміщення на кожному з кінців дорівнює нулю.
Перетворення Лапла́са - інтегральне перетворення, що зв'язує функцію F ( s ) комплексної змінної (зображення) з функцією f ( x ) дійсної змінної (оригінал). З його допомогою досліджуються властивості динамічних систем і розв'язуються диференціальні і інтегральні рівняння.
Диференціа́льні рівня́ння - рівняння, що встановлює залежність між незалежними змінними, числами (параметрами), невідомими функціями та їх похідними. Невідома функція може бути як скалярною, так і векторною.

ОСНОВНА ЛІТЕРАТУРА

  1. Евграфов М.А. Аналитические функции. – М., 1968.

  2. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. В 2-х т.– М., 1967-1968.

  3. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. – М., 1974.

  4. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч.1 – М., 1976.

  5. Волковыский Л.И., Лунц Г.А., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексной переменной. –М., 1975.

  6. Евграфов М.А. и др. Сборник задач по теории аналитических функций. – М., 1972.

  7. Методичні вказівки до практичних занять з курсу “Комплексний аналіз”. Диференціювання функцій комплексної змінної. Конформні відображення. –К., 2002.

  8. Методичні вказівки до практичних занять з курсу “Комплексний аналіз”. Ряди та інтеграли в комплексній площині. –К., 2005.


ДОДАТКОВА ЛІТЕРАТУРА

  1. Боярчук А.К. Справочное пособие по высшей математике. Т.4. Функции комплексного переменного (теория и практика). –М., 1999.

  2. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. –М., 1968.

  3. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. –М., 1967.

  4. Титчмарш Е. Теория функций. –М., 1980.


Скачати 42.66 Kb.

  • П Р О Г Р А М А
  • ВСТУП
  • Сфера Рімана
  • Тригонометричні функції , гіперболічні функції
  • Інтегральна формула Коші