Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Методичні вказівки до виконання математичного практикума для студентів спеціальності "фізична та біомедична електроніка"

Скачати 294.58 Kb.

Методичні вказівки до виконання математичного практикума для студентів спеціальності "фізична та біомедична електроніка"




Скачати 294.58 Kb.
Дата конвертації28.04.2017
Розмір294.58 Kb.
ТипМетодичні вказівки


Міністерство освіти і науки України

Національний технічний університет України

«Київський політехнічний інститут»


МЕТОДИ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ВИКОНАННЯ МАТЕМАТИЧНОГО ПРАКТИКУМА ДЛЯ СТУДЕНТІВ СПЕЦІАЛЬНОСТІ "ФІЗИЧНА ТА БІОМЕДИЧНА ЕЛЕКТРОНІКА"




Затверджено Методичною радою НТУУ "КПІ"

Київ


"ПОЛІТЕХНІКА"

2003


Методи математичної фізики: методичні вказівки до виконання математичного практикума для студ.
Математична фізика - загальна назва математичних методів дослідження і розв'язання диференціальних рівнянь, які виникають, зокрема, в фізиці. Теорія математичних моделей фізичних явищ; займає особливе положення і у математиці, і у фізиці, перебуваючи на стику цих наук.
Спец. "Фізична та біомедична електроніка" / Уклад.: Є. Д. Белявський, М. В. Приходько, О. В. Семеновська – К.: ІВЦ "Політехніка", 2003. – 29 с.
Навчальне видання

МЕТОДИ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ

Методичні вказівки до виконання математичного практикума

для студентів спеціальності "Фізична та біомедична електроніка"


Укладачі: Євген Данілович Белявський

Микола Вікторович Приходько

Олена Володимирівна Семеновська

Відповідальний

редактор В.І. Тимофєєв, канд. техн. наук, доц.

Рецензенти: В.О. Москалюк, канд. техн. наук, проф.

М.Ф. Жовнір, канд. техн. наук, доц. .

Редактор


Темплан 2003 р., поз. 000

Підп. до друку Формат Папір друк. №3. Друк офс.

Ум. друк. арк. 0,93. Обл.-вид. арк. 1,0. Зам. №000. Наклад 100 пр.

________________________________________________________

Інформаційно-видавничий центр "Політехніка"

Друкарня НТУУ "КПІ"

03056, Київ 56, просп. Перемоги, 37

  1. ВСТУП


Аналіз і розрахунок будь-якого електронного приладу заснований на побудові математичної моделі, яка адекватно описує фізичні процеси, що відбуваються в ньому або в його окремих вузлах, створенні на основі цієї моделі алгоритмів отримання параметрів приладу і їхнього чисельного розрахунку на ЕОМ.
Електро́нний при́лад (ЕП) - прилад для перетворення електромагнітної енергії з одного виду в інший, в процесі взаємодії створених в ньомо електронних потоків з електромагнітними полями, в середовищі, яке заповнює його внутрішній простір (вакуум, газ, напівпровідниковий матеріал, тощо).
Математи́чна моде́ль - система математичних співвідношень, які описують досліджуваний процес або явище. Математична модель має важливе значення для таких наук, як: економіка, екологія, соціологія, фізика, хімія, механіка, інформатика, біологія та ін.

Метою методичної вказівки по курсу «Методи математичної фізики» є навчити студентів будувати математичні моделі фізичних явищ в електронних приладах, складати алгоритми для чисельного моделювання і розрахунку параметрів приладів на основі цих моделей на персональних ЕОМ.

Особливістю методу подання матеріалу є шлях, починаючи від виявлення основних рис процесів у приладі і їхнього математичного відображення до складання рівнянь, що описують виявлені процеси, і їх розв’язання чисельними методами на персональних ЕОМ.

Математи́чне моделюва́ння (рос. моделирование математическое; англ. mathematical simulation, нім. mathematische Modellierung f) - метод дослідження процесів або явищ шляхом створення їхніх математичних моделей і дослідження цих моделей.
Фі́зика (від грец. φυσικός природний, φύσις природа) - природнича наука, яка досліджує загальні властивості матерії та явищ у ній, а також виявляє загальні закони, які керують цими явищами; це наука про закономірності Природи в широкому сенсі цього слова.
Чи́сельні ме́тоди - методи наближеного або точного розв'язування задач чистої або прикладної математики, які ґрунтуються на побудові послідовності дій над скінченною множиною чисел. Основні вимоги до чисельних методів, щоб вони були стійкими та збіжними.


  1. 1. МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ І РОЗРАХУНОК СТАРТОВИХ УМОВ У ЛАМПІ ЗВОРОТНОЇ ХВИЛІ


Лампа зворотної хвилі (ЛЗХ) – генератор надвисокочастотних електромагнітних коливань, який широко використовується у біомедичній апаратурі.

Електроніка й електродинаміка ЛЗХ має ряд характерних рис, властивих цілому класу електровакуумних пристроїв НВЧ, і тому є зручним об'єктом для практичного закріплення теоретичних положень курсу "Методи математичної фізики" [1]. Метою розділу є виробити у студентів навички складання рівнянь, що описують в основних рисах процеси в подібних пристроях, проілюструвати методи рішення цих рівнянь на персональних ЕОМ за допомогою використання стандартних пакетів програм.


    1. Принципова схема лампи зворотної хвилі


Принципова схема лампи зворотної хвилі (ЛЗХ) наведена на рис. 1.1:

Рис. 1.1.

Генератор складається з електронної пушки – 1, періодичного хвилеводу (система, що сповільнює – СС) – 2, яка містить вивід енергії – 2а і поглинач –2б, колектора – 3 і магнітної фокусуючої системи – 4.

Електронна пушка – 1 і магнітна система – 4 формують циліндричний електронний потік, що обертається як одне ціле у магнітному полі навколо осі z з кутовою швидкістю , де  – відношення заряду електрона до його маси спокою, В – z-складова магнітної індукції статичного магнітного поля, електрони в якому мають постійну подовжню швидкість (U0 – напруга, що прискорює, яка подається між катодом – 1 і системою, що сповільнює – 2).

Маса - фізична величина, яка є однією з основних характеристик матерії, що визначає її інерційні, енергетичні та гравітаційні властивості. Маса зазвичай позначається латинською літерою m.
Магні́тне по́ле - складова електромагнітного поля, за допомогою якої здійснюється взаємодія між рухомими електрично зарядженими частинками.
Елемента́рний електри́чний заря́д - фізична константа, яка характеризує силу електромагнітної взаємодії, абсолютне значення заряду електрона.
Магні́тна інду́кція - векторна фізична величина, основна характеристика величини і напрямку магнітного поля. Вектор магнітної індукції зазвичай позначають латинською літерою B } .
Кутова́ шви́дкість - відношення зміни кута при обертанні до відрізку часу, за який ця зміна відбулася.
Відпрацьовані електрони потрапляють на колектор –3, що замикає ланцюг постійного струму.

У СС існує електромагнітна хвиля з частотою f, електрична складова якої спрямована уздовж осі z.

Електромагні́тна хви́ля - процес розповсюдження електромагнітної взаємодії в просторі у вигляді змінних зв'язаних між собою електричного та магнітного полів. Прикладами електромагнітних хвиль є світло, радіохвилі, рентгенівські промені, гамма-промені.
Фазову швидкість цієї хвилі vф спрямовано в той самий бік, що і подовжню швидкість електронів , а групову швидкість vгр – у протилежному напрямку. Така хвиля має назву зворотня хвиля (це лежить в основі назви лампи зворотної хвилі). Так як енергія електромагнітного поля (поля хвилі) завжди переноситься в напрямку групової швидкості, то в ЛЗХ є 100 % зворотний зв'язок по СС, а вивід енергії – 2а розташовано з боку електронної пушки – 1, із протилежного боку СС, розташовано поглинач – 2б, який запобігає відображенню електромагнітної хвилі в СС з боку колектора – 3.
Електромагні́тне по́ле - це поле, яке описує електромагнітну взаємодію між фізичними тілами. Розділ фізики, який вивчає електромагнітне поле, називається електродинамікою. Постійні електричні поля вивчаються електростатикою, а галузь фізики, яка досліджує постійні магнітні поля називається магнетизмом.

    1. 1.2. Математична модель фізичних процесів у лампі зворотної хвилі типу – О


Змінне електромагнітне поле і рух електронів у будь-якому електронно-вакуумному приладі описується рівняннями Максвела і Лоренца [1], [2]:

, , , , (1.1)

де і  – змінні складові напруженості електричного і магнітного полів; і  – діелектрична і магнітна проникності вільного простору (вакууму); і  – щільність струму й об'ємного заряду в пучку, j0 і ?0 – їх статичні складові й і  – змінні складові.

, (1.2)

де , m0 – маса спокою, а е – заряд електрона,  – вектор швидкості електрона; і  – повні складові напруженостей електричного поля (з урахуванням статичних полів); с – швидкість світла в вакуумі.

Швидкість світла - фізичний термін, який використовується у двох, пов'язаних між собою, але концептуально різних значеннях. Перш за все швидкість світла - фундаментальна фізична стала, швидкість розповсюдження електромагнітної взаємодії у вакуумі.

ЛЗХ–О – генератор малої потужності, тому , тобто (нерелятивістський режим роботи). Крім того, поперечні складові змінної швидкості ( – подовжня складова змінної швидкості) і тому ними можна знехтувати, тобто покласти ; r, ?, z – циліндричні координати.

Циліндрична система координат - тривимірна система координат, кожна точка якої задається двома полярними координатами на перпендикулярній проекції деякої фіксованої площини та відстанню (зі знаком) від цієї площини.
При цьому рівняння Лоренца спрощуються:

, , (1.3)

де .

Поле в періодичному хвилеводі (СС) – 2 визначається з рівняння Максвела (1.1), причому в ЛЗХ усі змінні складові полів і струмів залежать від часу за законом , де .

За відсутністю змінних складових щільності струму й об'ємного заряду поле в хвилеводі являє собою повний набір власних хвиль [2]

, (1.4)

де  – сталі,  – номер власної хвилі. Кожна хвиля має певну фазову швидкість vфn, яка залежить від частоти ?, причому .

У періодичних хвилеводах фазові швидкості різних власних хвиль значно відрізняються одна від одної, тому в сумі (1.4) залишають одну хвилю, фазова швидкість якої найближча до v0 (їй присвоюють номер ).

Фазова швидкість - одна із характеристик хвилі, що характеризує поширення збурення будь-якої фізичної природи. Поняття фазової швидкості може використовуватись при розповсюдженні збурень будь якої форми, якщо в процесі розповсюдження ця форма не змінюється.

Якщо складові і не дорівнюють нулю, то розв’язок рівнянь (1.1) відрізняється від (1.4) тим, що всі Cn є функціями тільки від z, причому ці функції знаходять методом варіації довільних сталих. За прийнятих припущень знаходять

, (1.5)

де S – площа поперечного перерізу пучка , N1 – норма власної хвилі (, де Р – потужність, що проходить через поперечний переріз хвилеводу).

Диференціа́льний пере́різ розсі́яння - це відношення числа частинок, розсіяних в тілесний кут d Ω до потоку частинок, які падають на мішень та до величини тілесного кута, густина ймовірності розсіяння в даний тілесний кут.

Крім змінного електромагнітного поля хвилеводу є ще поле, зв'язане з зарядами (поле об'ємного заряду), що має градієнтний характер

,

де  – скалярний потенціал.

Для досить широкого електронного пучка його можна отримати з (1.1), поклавши , тобто , або у разі гармонічної залежності усіх величин від часу

. (1.6)

Урахування кінцевих розмірів пучка зумовлює до появу в (1.6) позитивного коефіцієнта .

, тобто . (1.7)

Стартові умови генерації визначаються з так званого лінійного режиму (режиму малого сигналу), коли всі змінні величини значно менше за абсолютною величиною в порівнянні з відповідними статичними величинами й у гідродинамічному наближенні, коли зв'язок між щільностями струму й об'ємного заряду і швидкістю електронів така ж, як у нестисливій рідині:

, . (1.

Абсолютна величина чи модуль - у математиці, величина, значення або число незалежно від знака. Абсолютна величина числа n записується |x| (іноді - Abs(x) ) і визначається як додатній квадратний корінь з x².
8)

При цьому , причому .

Якщо в рівняннях (1.3) vz розглядати, як функцію координат і часу, то повну похідну по t і можна представити через часткові похідні:

.

В математиці, часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних - це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.

(у цій формулі опущено добуток змінних величин  – величина другого порядку малості).

Так саме, , ,

,

тобто з (1.8), опускаючи добуток змінних величин, отримуємо

; ; .

У спіральному хвилеводі

, (1.9)

де  – модифікована функція Беселя ,  – хвильове число,  – азимутальне хвильове число,  – радіальне хвильове число, E0 – амплітуда синхронної хвилі .

Хвильове́ число́ - параметр хвилі, який визначає кількість довжин хвилі, що поміщаються в 2π одиниць довжини.

З урахуванням (1.9 – 1.12) система рівнянь (1.3 – 1.9) буде мати наступний вид:



, ,

, (1.10)

,

.

Підстановкою

,

де , ,



 – параметр підсилення,

,

, ,

зводимо систему рівнянь (1.10) до наступного виду:

,

, (1.11)

,

,

,

де  – параметр несинхронності,



d – параметр загасання (втрат),

 – параметр об'ємного заряду,

x – безрозмірна довжина;

I, V, F – безрозмірні комплексні амплітуди змінних складових току, швидкості і поля в СС;

 – безрозмірна амплітуда індукції фокусуючого магнітного поля, x – безрозмірний період цього поля, ?0, ??, ?3 – коефіцієнти розкладання в ряд Фур'є по х.

На вході в спираль-z (x = 0) складових тока і швидкості немає, але присутнє високочастотне поле. Так як потік енергії зворотної хвилі спрямований до катода – 1, а ВЧ поле на поглиначі – 2б дорівнює 0, то на виході зі спіралі – 2 (x = x0) необхідно покласти F(xq) = 0. З цих міркувань дістаємо:

Початкові умови (при х = 0):

. (1.12)



Граничні умови (при х = х0):

.



Постійними параметрами є C, q, b, m, d, ?0, ??, ?3, x, але не при будь-яких значеннях цих параметрів система рівнянь (1.11) має розв'язків, що задовольняє початковим і граничним умовам (1.12). Тому задача визначення стартових умов ЛЗХ–О зводиться до розв'язання задачі Коші для системи лінійних диференціальних рівнянь (1.
Диференціа́льні рівня́ння - рівняння, що встановлює залежність між незалежними змінними, числами (параметрами), невідомими функціями та їх похідними. Невідома функція може бути як скалярною, так і векторною.
11) з початковими і граничними умовами (1.12). Зазвичай її формулюють таким чином: Визначити параметри x0 і b, для яких система (1.11) має розв'язок, що задовольняє умові (1.12), за заданими значеннями інших постійних параметрів C, q, b, m, d, ?0, ??, ?3, x.
    1. 1.3. Методика постановки і рішення задачі на ЕОМ


  • Перетворити систему диференціальних рівнянь, відокремлюючи мниму і дійсну частини змінних, які входять у систему рівнянь. Скласти і відладити програму для розв’язання системи однорідних диференціальних рівнянь першого порядку. Рекомендується використовувати метод Рунге-Кутта четвертого порядку.

  • Розв’язати отриману систему звичайних диференціальних рівнянь при початкових умовах, заданих у (1.12).

  • Розробити алгоритм підбора сталих значень C, q, b, m, d, ?0, ?1, ?3, x таких параметрів x1 і b1, для яких виконуються граничні умови і .

  • З отриманого масиву розв'язків x1, b1 вибрати пару , для яких значення  (амплітуда магнітного поля) мінімальне.

  • Побудувати графік зміни в діапазоні

  • Проаналізувати хід і результати розв’язання, зробити висновки.

ВИМОГИ ДО ОФОРМЛЕННЯ ЗВІТУ

  1. Тема роботи.

  2. Ціль роботи.

  3. Стислі теоретичні відомості.

  4. Постановка задачі з варіантом параметрів.

  5. Лістінг програми.

  6. Графіки результатів розрахунку і їх аналіз.

  7. Висновки.



  1. 2. МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ЕЛЕКТРОННО-ХВИЛЬОВИХ ПРОЦЕСІВ У ПІДСИЛЮВАЛЬНОМУ КЛІСТРОНІ


Дворезонаторний клістрон є найпростішим підсилювачем електромагнітних коливань НВЧ. Режим роботи такого підсилювача нелінійний. Метою розділу є навчити студентів складанню інтегро-диференціальних рівнянь, що описують нелінійні процеси в приладах подібного типу, перетворювати ці рівняння методом "великих часток" у систему звичайних диференціальних рівнянь й умінню вирішувати ці рівняння з використанням стандартних пакетів програм.
    1. 2.1. Cхема об'єкта дослідження


Об'єктом дослідження обрано підсилювач надвисокочастотних коливань – дворезонаторний клістрон, схема якого наведена на рис. 2.1.

Рис. 2.1.

Клістрон складається з електронної пушки – 1, модулюючого резонатора – 2, трубки дрейфу – 3, вихідного резонатора – 4 і колектора – 5. Електронна пушка формує електронний потік, що прискорюється постійною напругою джерела живлення U0, яка подається між пушкою – 1 і резонатором – 2, до швидкості (е – заряд і m0 – маса спокою електрона), яку спрямовано уздовж осі z. У зазорі резонатора – 2, на який подається високочастотний сигнал, електрони модулюються за швидкістю за синусоїдальним законом

,

де v0 – амплітуда і ?

Джерело живлення - елемент електричного кола, в якому зосереджена електрорушійна сила.
Колива́ння- специфічні рухи або зміни стану систем різної фізичної природи, для яких спостерігається певна повторюванність в часі. Якщо це відбувається через однаковий проміжок часу - період Т, то коливання називають періодичними.
 – частота модуляції, t0 – час вльоту електрона в зазор (передбачається, що зазор досить тонкий).

У трубці дрейфу – 3, яка має той самий потенціал що і резонатори – 1 і 4, електростатичне поле дорівнює нулю, тому електрони рухаються тільки під дією сил розштовхування між ними, сукупність яких пропорційна полю об'ємного заряду.

Електростатичне поле - поле, створене нерухомими в просторі і незмінними в часі електричними зарядами (при відсутності електричних струмів). Електричне поле є особливим видом матерії, пов'язаний з електричними зарядами і передаючий дії зарядів один на одного.
Так як швидкості електронів, що влетіли в трубку дрейфу – 3 у різні моменти часу t0, різні, то відбувається їх об'єднання в групи (групування); швидкості сильно залежать від величини поля об'ємного заряду. Групи електронів, що сформувалися, збуджують у резонаторі – 4 електромагнітні коливання з частотою проходження груп і осідають у колекторі – 5, що замикає ланцюг постійного струму.
    1. 2.2. Математична модель фізичних процесів у групувачі


Найбільш простою (але досить точною) є одномірна модель групувача, яка передбачає, що всі електрони в пучку рухаються тільки в напрямку осі z (, де  – поперечна складова швидкості електронів), в той же час це наближення описується в нерелятивістському наближенні тільки подовжньою (z) складовою рівняння Лоренца (1.2)

, , (2.1)

де  – усереднене за поперечним перерізом пучка значення z-складової поля об'ємного заряду. Першу часову гармоніку поля об'ємного заряду можна як і раніше взяти з формули (1.7), після усереднення її за поперечним перерізом пучка,

, (2.2)

де , SP – поперечний переріз пучка; ?0 – діелектрична проникність ( – перша гармоніка струму пучка).

Діелектр́ична прон́икність (діелектрична стала) середовища ε - безрозмірна величина, що характеризує ізоляційні властивості середовища. Вона показує, у скільки разів взаємодія між зарядами в однорідному середовищі менша, ніж у вакуумі.

У підсилюючих приладах клістронного типу зворотний (у напрямку протилежному осі z) рух електронів зазвичай відсутній. При цьому в (2.1) у якості незалежної змінної можна взяти координату z, а в якості змінної часу t, яку треба знайти, (z, t0) – час прибуття в точку z електрона, що влетів у простір дрейфу () у момент часу t0:

;

Зале́жна змі́нна - У математичному моделюванні - змінна, яка розраховується за модельним рівнянням або відповідними правилами з використанням незалежних змінних (вхідних даних). Змінна, величина якої є чутливою до змін незалежних змінних.
Момент часу - точка на часовій осі. Про події, що відповідають одному моменту часу, говорять як про одночасні.
,

тобто з урахуванням (2.1) і (2.2)

. (2.3)

Рівняння (2.3) записано для одного електрона. Для довільних електронів є функцією двох змінних z і t0 , що можна врахувати, замінивши повну похідну по z у (2.3) на похідну у частках (перехід до змінних Лагранжа z, t0 [1], розділ 5):

. (2.4)

Для того, щоб дістати залежність I1(z) у явній формі, скористаємося законом збереження заряду. Якщо виділити електрони, що влетіли в точку в моменти часу від t0 до , то їх заряд

. (2.5)

Так як ці електрони мають різні швидкості, то в точку z вони прийдуть в інший проміжок часу від t до , причому струм у точці z у момент часу t буде , а заряд

. (2.6)

Але так як число позначених електронів залишається незмінним, то , що можна записати так із урахуванням (2.5) і (2.6)

. (2.7)

Співвідношення (2.7) і називають законом збереження заряду.

Так як згустки електронів мають частоту ?, то можна розкласти в ряд Фур'є за часом t

, (2.8)

де , .

Після підстановки (2.8) з (2.7), одержуємо

,

(2.9)

Так як залежність струму пучка від часу на вході в дрейф завжди відома, тому для обчислення гармонік струму необхідно визначити тільки залежність , для якої з урахуванням (2.4) і (2.9) одержуємо наступні рівняння:

,

. (2.10)

Таким чином, задача визначення руху електрона в пучку на дрейфі з урахуванням поля об'ємного заряду зведена до вирішення інтегро-диференціального рівняння у часткових похідних (диференціальне по координаті z і інтегральне по координаті t0).

Розглянемо окремий випадок, коли (пучок на вході в ділянку дрейфу модульований тільки за швидкістю). При цьому після підстановки

, ,

, , , ,

рівняння (2.10) буде мати наступний вид:

,

. (2.11)

Шукана функція повинна задовольняти наступним початковим умовам:

при



; , (2.12)

де .

звичайно , тому друге з умов (2.12) приблизно можна записати таким чином

.


    1. 2.3. Метод «великих часток»


Функція є періодичною функцією від ?0, тому для її обчислення, та відповідно для обчислення , досить знать функцію для значень ?0 з інтервалу . Розіб'ємо цей інтервал на M рівних частин, де М – ціле число. Якщо М досить велике, то для всіх електронів, що влетіли в елементарний проміжок у простір дрейфу, їх траєкторії будуть приблизно однакові. Позначимо через  – фазові траєкторії М пробних електронів, які узято по одному з кожного елементарного проміжку, і зв'яжемо з кожним з цих електронів увесь заряд ?qk електронів з цього проміжку, що за умовою розбивки на ці проміжки однаковий і дорівнює . При цьому електронний потік з неперервним розподілом траєкторій по ?0 замінено числом М великих часток із зарядом ?qk, а інтервал по ?0 у (2.11) – сумою по кінцевому числу великих часток

.

Таким чином, у результаті введення М великих пробних часток інтегро-диференціальне рівняння у часткових похідних (2.11) зводиться до системи М звичайних рівнянь другого порядку:

, (2.13)

з початковими умовами:

при ,

Параметрами задачі є М, q і ?

Задача Коші - одна з основних задач теорії диференціальних рівнянь - полягає в пошуку розв'язку (інтеграла) диференціального рівняння, що задовольняє початковим умовам (початковим даним).
0. Задача формулюється так: Визначити величину і побудувати її графік до першого її максимуму при заданих значеннях постійних q і ?0 (М = 32, 48, 64, 96,…).


    1. 2.4. Методика постановки і розв’язання задачі на ЕОМ


  • Перетворити систему диференціальних рівнянь другого порядку (2.13) у систему рівнянь першого порядку.

  • Скласти і відладити програму для розв’язання системи однорідних диференціальних рівнянь першого порядку. У якості чисельного метода рекомендується використовувати метод Рунге-Кутта четвертого порядку.

  • Побудувати залежність при заданих (обраних у відповідність з номером варіанта) у діапазоні значень .

  • Проаналізувати хід і результати розв’язання, зробити висновки.

ВИМОГИ ДО ОФОРМЛЕННЯ ЗВІТУ

  1. Тема роботи.

  2. Ціль роботи.

  3. Стислі теоретичні відомості.

  4. Постановка задачі з варіантом параметрів.

  5. Лістінг програми.

  6. Графіки результатів розрахунку і їх аналіз.

  7. Висновки.
  1. 3. ОПТИМІЗАЦІЯ КОЕФІЦІЕНТА КОРИСНОЇ ДІЇ В ЛАМПІ ХВИЛІ, ЩО БІЖИТЬ


Лампа хвилі, що біжить (ЛБХ) – широкосмуговий підсилювач НВЧ коливань, у якому електромагнітна хвиля відбирає енергію у електронного потока.

Задача математичного моделювання фізичних процесів у ЛБХ є підсумковою для даного практикуму. Метою даного розділу є навчання студентів використанню отриманих фрагментарних навичок при виконанні робіт з попередніх розділів курсу для побудови комплексної математичної моделі нелінійних явищ у ЛБХ, проведенню розрахунку основних її параметрів, таких як коефіцієнт корисної дії, включаючи оптимізацію останнього.


    1. 3.1. Опис об'єкта дослідження


Схема ЛБХ наведена на рис. 3.1.

Рис. 3.1.

Аналізована ЛБХ складається з електронної пушки – 1, системи, що сповільнює, яка складається трьох секцій (2 – вхідна секція, 3 – поглинаюча вставка, 4 – вихідна секція) і колектора – 5.

Електронна пушка – 1 формує електронний потік, прискорений джерелом постійної напруги U0 до швидкості в напрямку осі z. Вхідний високочастотний сигнал подається на секцію – 2 СС, що є періодичним хвилеводом із постійною фазовою швидкістю хвилі , де с – швидкість світла. Поглинаюча вставка – 3 служить для розв'язки вхідної секції – 2 і вихідної секції – 4 по високочастотному полю для запобігання самозбудження підсилювача при наявності відображень сигналу від входу і виходу ЛБХ.

Світловий конус
Вихідна секція – 4 СС є періодичним хвилеводом зі стрибкоподібною зміною фазової швидкості від величини до . Наприкінці секції – 4 розташовано вивід енергії. Колектор – 5 замикає ланцюг конвекційного потоку пучка і знаходитися під напругою .

Електронний потік, який формується електронною пушкою – 1, модулюється z-складовою електричного поля Ez хвилі, що біжить, у секції – 2 за швидкістю і за струмом. У результаті такої модуляції електрони групуються в періодичну послідовність згустків. На поглинаючій вставці – 3 електромагнітне поле зменшується практично до нуля, тому у вихідну секцію – 4 надходять тільки згустки електронів, що збуджують у ній швидко зростаюче уздовж осі z електромагнітне поле хвилі, що біжить. Фазова швидкість хвилі в секції – 2 . Така ж фазова швидкість зберігається і на вхідній ділянці секції – 4, де відбувається інтенсивне наростання електромагнітного поля, у результаті чого згустки електронів гальмуються і їх швидкості стають значно меншими швидкості хвилі. Як наслідок розходження, що утворилося, між швидкостями хвилі і згустку електронів, останній відстає від хвилі і виходить з гальмуючого напівперіоду поля. Щоб відновити синхронізм руху хвилі і згустку, у другій половині секції – 4 стрибком зменшують фазову швидкість хвилі від до , що призводить до збільшення коефіцієнта корисної дії ЛБХ. Положення стрибка фазової швидкості і величина цього стрибка заздалегідь не відомі і для максимального збільшення ККД вимагають їхнього оптимального вибору.


    1. 3.2. Математична модель фізичних процесів у ЛБХ


Математична модель ЛБХ може бути отримана з відповідної моделі групувача (див. розділ 2) шляхом додавання у праву частину рівняння руху (2.
Рівня́ння ру́ху - рівняння або система рівнянь, яке задає закон еволюції механічної системи з часом.
1) подовжньої складової електричного поля системи, що сповільнює, усередненого за поперечним перерізом пучка

, (3.1)

де  – комплексна амплітуда поля хвилі.

Поле спірального хвилеводу (СС) у не усередненому виді було отримано в розділі 1 (формули (1.4), (1.5), (1.7)). Усереднене поле (3.1) виходить з (1.7), якщо відняти з цього співвідношення поле об'ємного заряду (воно вже враховано в (2.1)), а залишок усереднити по перемінному перетині пучка

,

де С1(z) як і раніше визначається формулою (1.5), а  – формулою (1.9) при m = 0 (основна пряма хвиля в спіральному хвилеводі азимутально-симетрична).

Додаючи (3.1) до (2.1) з урахуванням (2.2), після переходу до координат за методикою, викладеною в розділі 2, обчислюючи середнє значення першої гармоніки струму пучка в (2.2) і (1.5) за формулою (2.9), з огляду на те, що пучок на вході не модульований по високій частоті , одержуємо наступну систему нелінійних рівнянь ЛБХ:

(3.2)

де  – параметр зв'язку;

I0 – статичний струм пучка;

,

де  – фазова швидкість хвилі; ? – погонне загасання хвилі (у неперах).

Для розв’язання рівнянь (3.2) на ЕОМ звичайно вводять безрозмірні змінні, що повільно змінюються уздовж ЛБХ:

 – фаза електрона в рухливій системі координат;

Система координат - спосіб задання точок простору за допомогою чисел. Кількість чисел, необхідних для однозначного визначення будь-якої точки простору, визначає його вимірність. Обов'язковим елементом системи координат є початок координат - точка, від якої ведеться відлік відстаней.
 – безрозмірна довжина; ; ; ;  – безрозмірні комплексні амплітуди струму і ВЧ-поля в рухливій системі координат, де ,

 – параметр підсилення;

 – параметр несинхронності;

 – параметр об'ємного заряду;

 – параметр загасання.

У безрозмірних змінних система (3.2) приймає наступний вигляд:

(3.3)

Початкові умови: при , , .

Рівняння (3.3) можуть дістати розв'язок на ЕОМ методом «великих часток», який викладено в розділі 2 (2.3).

На рис. 3.2 наведена схема ЛБХ у безрозмірних змінних

Рис. 3.2


Нумерація секцій системи, що сповільнює, збігається з прийнятою на рис. 3.1:

 – безрозмірні границі секції;

 – безрозмірна координата виходу системи, що сповільнює, (СС);

 – безрозмірна координата стрибка фазової швидкості у вихідній секції СС.

Поглинаючу вставку–3 можна замінити розривом СС у середині ділянки (тобто в точці ), ввівши в точці умову для величини .

Коефіцієнт корисної дії (ККД) ЛБХ:

,

де .

Оптимізацію ККД необхідно здійснювати при сталих значеннях величин шляхом стрибкоподібної зміни параметра b від b1 до b2 у точці x3, що, також як і b2, є шуканою на ділянці .


    1. 3.3. Методика постановки і розв’язання задачі на ЕОМ


  • Перетворити систему диференціальних рівнянь (3.3) до системи рівнянь за методом “великих часток” (див. розділ 2) при заданих значеннях параметрів . Визначити перший максимум шляхом підбора величин x3 і b2.

  • Проаналізувати хід і результати розв’язання, зробити висновки.

ВИМОГИ ДО ОФОРМЛЕННЯ ЗВІТУ

  1. Тема роботи.

  2. Ціль роботи.

  3. Стислі теоретичні відомості.

  4. Постановка задачі з варіантом параметрів.

  5. Лістінг програми.

  6. Графіки результатів розрахунку і їх аналіз.

  7. Висновки.
  1. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ


  1. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. – М.: Наука, 1974. – 690 с.

  2. В.О. Москалюк, В.В. Мінаков, І.Д. Шовкун Теорія електромагнітного поля.
    Електромагні́тна взаємоді́я - найбільш досліджена з чотирьох фундаментальних фізичних взаємодій. Основними рівняннями електромагнетизму є рівняння Максвелла. Поширюється у формі електромагнітного поля, що складається з векторних безмасових квантів - фотонів.
     // Конспект лекцій для підготовки бакалаврів електроніки.
    Конспе́кт - стислий писаний виклад змісту чого-небудь. Різновид навчального видання. Конспе́кт лекцій - стислий виклад курсу лекцій чи окремих розділів навчальної дисципліни.
    – Київ: КПІ, 1994 р.
  1. ЗМІСТ





ВСТУП 5

1. МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ І РОЗРАХУНОК СТАРТОВИХ УМОВ У ЛАМПІ ЗВОРОТНОЇ ХВИЛІ 6

1.1.Принципова схема лампи зворотної хвилі 6

1.2. Математична модель фізичних процесів у лампі зворотної хвилі типу – О 8

1.3. Методика постановки і рішення задачі на ЕОМ 14



2. МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ЕЛЕКТРОННО-ХВИЛЬОВИХ ПРОЦЕСІВ У ПІДСИЛЮВАЛЬНОМУ КЛІСТРОНІ 16

2.1. Cхема об'єкта дослідження 16

2.2. Математична модель фізичних процесів у групувачі 17

2.3. Метод «великих часток» 21

2.4. Методика постановки і розв’язання задачі на ЕОМ 22

3. ОПТИМІЗАЦІЯ КОЕФІЦІЕНТА КОРИСНОЇ ДІЇ В ЛАМПІ ХВИЛІ, ЩО БІЖИТЬ 24

3.1. Опис об'єкта дослідження 24

3.2. Математична модель фізичних процесів у ЛБХ 26

3.3. Методика постановки і розв’язання задачі на ЕОМ 30



СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 31

ЗМІСТ 32

1. МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ І РОЗРАХУНОК СТАРТОВИХ УМОВ У ЛАМПІ ЗВОРОТНОЇ ХВИЛІ 5

1.1.Принципова схема лампи зворотної хвилі 5

1.2. Математична модель фізичних процесів у лампі зворотної хвилі типу – О 6

1.3. Методика постановки і рішення задачі на ЕОМ 12



2. МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ЕЛЕКТРОННО-ХВИЛЬОВИХ ПРОЦЕСІВ У ПІДСИЛЮВАЛЬНОМУ КЛІСТРОНІ 14

2.1. Cхема об'єкта дослідження 14

2.2. Математична модель фізичних процесів у групувачі 15

2.3. Метод «великих часток» 19

2.4. Методика постановки і розв’язання задачі на ЕОМ 20

3. ОПТИМІЗАЦІЯ КОЕФІЦІЕНТА КОРИСНОЇ ДІЇ В ЛАМПІ ХВИЛІ, ЩО БІЖИТЬ 21

3.1. Опис об'єкта дослідження 21

3.2. Математична модель фізичних процесів у ЛБХ 23

3.3. Методика постановки і розв’язання задачі на ЕОМ 26



СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 28

ЗМІСТ 29




Скачати 294.58 Kb.

  • ВСТУП
  • Принципова схема лампи зворотної хвилі
  • 1.2. Математична модель фізичних процесів у лампі зворотної хвилі типу – О
  • 1.3. Методика постановки і рішення задачі на ЕОМ
  • 2. МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ЕЛЕКТРОННО-ХВИЛЬОВИХ ПРОЦЕСІВ У ПІДСИЛЮВАЛЬНОМУ КЛІСТРОНІ
  • 2.2. Математична модель фізичних процесів у групувачі
  • 2.3. Метод «великих часток»
  • 2.4. Методика постановки і розв’язання задачі на ЕОМ
  • 3. ОПТИМІЗАЦІЯ КОЕФІЦІЕНТА КОРИСНОЇ ДІЇ В ЛАМПІ ХВИЛІ, ЩО БІЖИТЬ
  • 3.1. Опис обєкта дослідження
  • 3.2. Математична модель фізичних процесів у ЛБХ
  • 3.3. Методика постановки і розв’язання задачі на ЕОМ
  • СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
  • ЗМІСТ