Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Моделювання та чисельний аналіз систем масового обслуговування зі швидкозмінними в часі характеристиками

Скачати 349.12 Kb.

Моделювання та чисельний аналіз систем масового обслуговування зі швидкозмінними в часі характеристиками




Скачати 349.12 Kb.
Сторінка1/2
Дата конвертації10.06.2017
Розмір349.12 Kb.
ТипАвтореферат
  1   2

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ

Агапова Ірина Степанівна

УДК 519.21



МОДЕЛЮВАННЯ ТА ЧИСЕЛЬНИЙ АНАЛІЗ СИСТЕМ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ ЗІ ШВИДКОЗМІННИМИ В ЧАСІ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Спеціальність 01.05.02 – математичне моделювання

та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Харків – 2003

Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Харківському національному університеті радіоелектроніки, Міністерство освіти і науки України.

Міністе́рство осві́ти і нау́ки Украї́ни (МОН України) - центральний орган виконавчої влади України.
Математи́чне моделюва́ння (рос. моделирование математическое; англ. mathematical simulation, нім. mathematische Modellierung f) - метод дослідження процесів або явищ шляхом створення їхніх математичних моделей і дослідження цих моделей.
Чи́сельні ме́тоди - методи наближеного або точного розв'язування задач чистої або прикладної математики, які ґрунтуються на побудові послідовності дій над скінченною множиною чисел. Основні вимоги до чисельних методів, щоб вони були стійкими та збіжними.
Система масового обслуговування (СМО) - система, яка виконує обслуговування вимог, що надходять до неї . Обслуговування вимог у СМО проводиться обслуговуючими приладами. Класична СМО містить від одного до нескінченного числа приладів.
Харківський національний університет радіоелектроніки (ХНУРЕ) - вищий навчальний заклад в Україні, IV рівня акредитації. ХНУРЕ - унікальний технічний університет, єдиний в Україні спеціалізований університет, в якому зосереджені практично усі спеціальності, пов'язані з Інформаційними технологіями, радіотехнікою та електронікою.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор

Дікарєв Вадим Анатолійович,

Харківський національний університет радіоелектроніки, професор кафедри прикладної математики.

Прикладна математика - галузь математики, що розглядає застосування математичних знань в інших сферах діяльності. Прикладами такого застосування будуть: чисельні методи, математична фізика, математична хімія, лінійне програмування, оптимізація і дослідження операцій, моделювання суцільних середовищ (механіка суцільних середовищ), біоматематика і біоінформатика, теорія інформації, теорія ігор, теорія ймовірності і статистика, фінансова математика і теорія страхування, aктуарна математика,криптографія, а також комбінаторика і деякою мірою кінцева геометрія, теорія графів в додатку до мережевому плануванню, і багато в чому те, що називається інформатикою. У питанні про те, що є прикладною математикою, не можна скласти чітку логічну класифікацію. Математичні методи звичайно застосовуються до специфічного класу прикладних завдань шляхом складання математичної моделі системи.
До́ктор фі́зико-математи́чних нау́к - науковий ступінь доктора наук в системі вищої освіти Радянського Союзу і пострадянських держав.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Яковлев Сергій Всеволодович,

Національний університет внутрішніх справ,

начальник факультету управління та інформатики;


кандидат технічних наук, доцент

Ситнік Борис Тимофійович,

Українська державна академія залізничного транспорту, доцент кафедри автоматики та комп’ютерних систем управління.

Система керування, також Система управління (англ. control system) - систематизований набір засобів впливу на підконтрольний об'єкт для досягнення цим об'єктом певної мети. Об'єктом системи керування можуть бути як технічні об'єкти так і люди.
Технічні науки - науки, що вивчають закономірності розвитку техніки і визначають способи найкращого її використання.
Залізни́чний тра́нспорт (залізни́ця) - вид рейкового транспорту, що здійснює перевезення пасажирів та вантажів в колісних екіпажах, що рухаються залізничною колією. Залізничний транспорт є галуззю промисловості, частиною транспортної мережі логістичних ланцюгів, які сприяють міжнародній торгівлі і економічному зростанню.

Провідна установа - Національний технічний університет України „КПІ”, кафедра прикладної математики, м. Київ.

Захист відбудеться 28.10.2003 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.052.02 у Харківському національному університеті радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, пр. Леніна, 14.


З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Харківського національного університету радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, пр. Леніна, 14.
Автореферат розіслано 26.09.2003 р.
Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Безкоровайний В.ВЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ


Актуальність теми. Для дослідження багатьох процесів, що відбуваються в природі (процеси народження та загибелі, процеси розпаду та регенерації), техніці (технологічні процеси, різні види конвеєрів), організації виробництва (потоки транспорту, телефонні мережі) широко використовуються результати теорії масового обслуговування.
PSTN (англ. Public Switched Telephone Network, рос. Телефонная сеть общего пользования, ТСОП, ТфОП) - це планетарна телефонна мережа загального користування (ТМЗК), для доступу до якої використовуються звичайні проводові телефонні апарати, міні- АТС і обладнання передавання даних.
Теорія масового обслуговування (теорія черг) - розділ теорії ймовірностей, метою досліджень якого є раціональний вибір структури системи обслуговування та процесу обслуговування на основі вивчення потоків вимог на обслуговування, що надходять у систему і виходять з неї, тривалості очікування і довжини черг .
Тому вивчення вказаних процесів, зокрема, побудова такої моделі системи масового обслуговування (СМО), яка б досить точно описувала реальну систему, є важливою задачею з погляду застосувань. Загальна теорія масового обслуговування була розроблена в працях А.К. Ерланга, Ф. Полачека, Л. Такача, О.Я. Хінчина, Б.В. Гнеденка, І.Н. Коваленка та ін.

У дисертаційній роботі досліджуються системи масового обслуговування зі змінними в часі характеристиками, що відповідає прикладним задачам.

Дисерта́ція (лат. dissertatio - твір, обговорення, розсуд, доповідь) - спеціально підготовлена наукова праця на правах рукопису, яку виконують для прилюдного захисту на здобуття наукового ступеня. В Україні розрізняють дисертацію для здобуття наукового ступеня кандидата наук (кандидатська дисертація) та доктора наук (докторська дисертація).
Підкреслимо, що до теперішнього часу в цьому напрямку були отримані окремі розрізнені результати.
Теперішній час - в українській мові - форма дієслова, що в основному виражає дію або стан, сучасні з моментом мовлення. Часто, однак, вона набуває значень безвідносних до цього моменту (у приказках, правилах, описах і т. д., наприклад, «Тиха вода греблю рве», «Київ лежить над Дніпром»)
У цьому зв'язку можна згадати роботи А.Б. Кларка, Д.В. Ліндлі, В. Феллера, Г. Ньюелла, Д. Массі, Л. Клейнрока.

Багато задач, що виникають при дослідженні технічних, економічних, біологічних та інших процесів, пов'язані з вивченням потоків подій різної природи. Такі задачі виникають при дослідженні потоків інформації, що циркулює в обчислювальних системах і мережах зв'язку.

Обчи́слювальна систе́ма (англ. computer system) - сукупність ЕОМ та їх програмного забезпечення, що призначені для організації ефективного обчислювального процесу;
В реальних системах ці потоки, як правило, є нестаціонарними, тому що їх інтенсивність змінюється з часом. Часто буває так, що деяка подія потоку може викликати ситуацію, коли наступні події стають недоступними для спостереження. До таких випадків можна віднести наявність помилок при передачі інформації по каналах зв'язку.
Комуніка́ція (від лат. communicatio - єдність, передача, з'єднання, повідомлення, пов'язаного з дієсловом лат. communico - роблю спільним, повідомляю, з'єдную, похідним від лат. communis - спільний) - це процес обміну інформацією (фактами, ідеями, поглядами, емоціями тощо) між двома або більше особами, спілкування за допомогою вербальних і невербальних засобів із метою передавання та одержання інформації.
Ці помилки пов'язані зі збоями зв'язку або виникають через несправність датчиків, коли корисна інформація не фіксується, оскільки виявляється недоступною для спостереження. З такими явищами доводиться мати справу при вивченні біологічних систем, наприклад, нейронних мереж.
Штучна нейронна мережа (ШНМ, англ. artificial neural network, ANN, рос. искусственная нейронная сеть, ИНС) - це математична модель, а також її програмна та апаратна реалізація, побудовані за принципом функціювання біологічних нейронних мереж - мереж нервових клітин живого організму.

З викладеного випливає, що ефективне функціонування систем масового обслуговування і керування ними (підключення резервних приладів, зміна маршруту передачі даних у мережах, зміна інтенсивності вхідного потоку інформації тощо) вимагає знання інтенсивностей потоків заявок, що надходять на вхід цих систем, і їх коливання в часі.

Передача даних (обмін даними, цифрова передача, цифровий зв'язок) - фізичне перенесення даних цифрового (бітового) потоку у вигляді сигналів від точки до точки або від точки до множини точок засобами електрозв'язку каналом зв'язку; як правило, для подальшої обробки засобами обчислювальної техніки.
Тому оцінка поточної інтенсивності потоку вимог є актуальною технічною проблемою (див. роботи В.В. Анісімова, Г.П. Клімова, І.Н. Коваленка, D.R. Cox, Sh.M. Ross і бібліографію, що в них міститься).

Зміна параметрів системи може відбуватися внаслідок багатьох причин (зміна характеристик середовища, в якому функціонує система, зношення працюючих приладів, зміна інтенсивності потоку заявок, що надходять). Фактори, що діють на СМО, у ряді випадків можуть істотно впливати на роботу таких систем, а іноді приводити до їхнього розбалансування і виведення з ладу. Тому актуальним є дослідження поведінки СМО, що знаходяться під дією таких факторів. Задачі, пов'язані з випадковими збуреннями стохастичних систем, розглядалися в роботах О.Д. Вентцеля, І.І. Єжова, В.С. Королюка, А.Ф. Турбіна. Іноді доводиться мати справу з такими СМО, в яких зміна їхніх основних характеристик може приводити до корисного результату.

Найважливішою задачею теорії випадкових процесів та її застосувань є знаходження умов, при виконанні яких спостерігається стабілізація досліджуваного процесу.

Теорія випадкових процесів - підрозділ математики (а саме теорії імовірностей), який займається вивченням випадкових процесів, їх властивостей та застосування. В рамках цієї теорії запроваджено концепцію інтеграла від випадкового процесу відносно випадкового процесу.
У зв'язку з цим виникає задача про вибір такої моделі процесу, яка б достатньо точно описувала реальну систему.

Виходячи зі сказаного вище, тему дисертаційної роботи можна вважати актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалася відповідно до плану науково-технічних робіт Харківського національного університету радіоелектроніки в рамках держбюджетних тем:

- 511(320) “Розробка математичних методів аналізу швидкоплинних електродинамічних процесів з метою ідентифікації їх характеристик” (№ДР 0197U014162);

- 104-1 “Розробка методів дослідження марковських процесів зі швидкозмінними характеристиками з метою створення алгоритмів їх стабілізації. Додатки до задач економіки, екології та моделювання нейронних мереж” (№ДР 0100U001344). Автор брала участь у роботі як виконавець.

Дисертація є складовою частиною проведених з цієї теми досліджень.



Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка обчислювальних методів і комплексу програм для дослідження динаміки поведінки технічних систем масового обслуговування у випадку, коли характеристики цих систем змінюються в часі.
Ма́рковський проце́с - це випадковий процес, конкретні значення якого для будь-якого заданого часового параметру t+1 залежать від значення у момент часу t, але не залежать від його значень у моменти часу t-1, t-2 і т. д.
Техні́чна систе́ма (ТС) - це штучно створена сукупність елементів і відношень (зв'язків) між ними, які утворюють цілісну структуру об'єкта, що має властивості, які не зводяться до властивостей елементів і призначена для виконання корисних функцій.
Досягнення цієї мети вимагає вирішення таких завдань:

1) розробити метод побудови оцінки інтенсивності вхідного потоку вимог за моментами їхнього надходження на обслуговуючі прилади для багатоканальної системи масового обслуговування, прилади якої мають час відновлення;

2) дослідити умови стабілізації зазначеної системи, коли інтенсивність вхідного потоку вимог має швидкі осциляції в часі;

3) побудувати математичну модель і провести чисельний аналіз СМО з обмеженим потоком вимог для випадку, коли прилади мають різні характеристики;

Математи́чна моде́ль - система математичних співвідношень, які описують досліджуваний процес або явище. Математична модель має важливе значення для таких наук, як: економіка, екологія, соціологія, фізика, хімія, механіка, інформатика, біологія та ін.

4) дослідити роботу зазначеної вище системи для випадку, коли кількість приладів і вимог змінюються в часі;

5) побудувати математичну модель і провести чисельний аналіз СМО з накопичувачами заявок, характеристики яких (обсяги накопичувачів, їх кількість, інтенсивність обробки вимог, інтенсивність звертань до накопичувачів) змінюються в часі;



6) застосувати результати дослідження процесів зі швидкозмінними в часі характеристиками до задачі про поділ багатокомпонентних рідких сумішей на окремі фракції.

Об'єктом дослідження є системи масового обслуговування зі змінними в часі характеристиками, аналіз яких проводиться за допомогою диференціальних рівнянь Колмогорова.

Предметом дослідження є математичні моделі систем масового обслуговування з параметрами, що змінюються в часі, та умови їх стабілізації.

Методи дослідження. У роботі використовуються аналітичні, теоретико-ймовірнісні, статистичні та чисельні методи досліджень. За допомогою методів моментів і лінеаризації побудована оцінка інтенсивності вхідного потоку вимог для багатолінійної системи масового обслуговування з наявністю у приладів часу відновлення. Для дослідження поведінки СМО з обмеженим числом вимог у системі та СМО з накопичувачем заявок застосовано метод, заснований на повідомленні параметрам системи направляючих збурень, що приводять до стабілізації основних характеристик за малі проміжки часу.

Наукова новизна отриманих результатів. Вперше розроблено метод ідентифікації вхідного потоку заявок за моментами їх надходження на обслуговуючі прилади для багатолінійної СМО, прилади якої мають час відновлення. Досліджено поведінку вказаної системи за умови, що інтенсивність вхідного потоку вимог зазначеної СМО перетерплює швидкі зміни в часі, та показано, що зазначені осциляції можна вибрати так, щоб стабілізація СМО була реалізована за як завгодно малий проміжок часу. Вперше побудовано модель СМО з обмеженим потоком вимог з урахуванням того, що інтенсивності обробки вимог приладами, які входять у СМО, різні. Досліджено поведінку вказаної СМО за умов, що її характеристики (інтенсивність вхідного потоку, кількість працюючих приладів, інтенсивність обробки вимог, кількість заявок, що знаходяться в системі) змінюються в часі. Подальшого розвитку отримала модель СМО з накопичувачем заявок. Зокрема, побудовано модель СМО, що містить кілька накопичувачів різного об’єму, та досліджені умови стабілізації зазначеної СМО, коли кількість накопичувачів та їх об’єм змінюються в часі.

Практичне значення отриманих результатів. Усі запропоновані в дисертації алгоритми реалізовані в прикладному пакеті Mathematіca ®. Розроблені методи можуть використовуватися для побудови оцінки інтенсивності вхідного потоку за спостереженнями над моментами надходження вимог на обслуговуючі прилади. Отримані результати можуть бути застосовані в різних галузях промисловості, техніки для моделювання й аналізу СМО зі змінними в часі характеристиками (інтенсивність вхідного потоку заявок, кількість працюючих приладів, інтенсивність обробки вимог, число вимог, циркулюючих у системі, об’єм і кількість накопичувачів).
Галузі - сукупність підприємств, які виготовляють однорідну продукцію, або надають однорідні послуги. У галузевій структурі господарства виділяють дві сфери - виробничу і невиробничу. Виробнича сфера забезпечує країну різноманітними товарами, невиробнича сфера - послугами матеріального і нематеріального характеру.
Побудована модель поділу сумішей з використанням багатофакторного аналізу може бути застосована в хімії, медицині, харчовій промисловості для поділу й очищення неоднорідних сумішей з метою зменшення енерговитрат виробництва.
Харчова промисловість - галузь переробної промисловості, сукупність виробництв харчових продуктів у готовому вигляді або у вигляді напівфабрикатів, а також тютюнових виробів, мила і миючих засобів, парфюмерно-косметичної продукції.

Розроблені методи та програми були використані в дослідженнях по створенню ряду лікарських форм та при контролі технологічних процесів у Державному науковому центрі лікарських препаратів Держкоммедбіопрому і НАН України, що підтверджується відповідним актом впровадження від 19.09.2002. Теоретичні розробки і програмне забезпечення, що дають можливість проводити аналіз роботи систем з "мертвим часом", застосовані ЗАТ "Элтехком".

Ліка́рська фо́рма або фо́рма ви́пуску - форма, в якій випускаються готові до використання ліки. Лікарському засобу або лікарській рослинній сировині надається зручний для застосування стан, при якому досягається необхідний лікувальний ефект.
Ліка́рські за́соби (лікувальні препарати, ліки, медикаменти) - речовини або суміші речовин, що вживають для профілактики, діагностики, лікування захворювань, запобігання вагітності, усунення болю; отримані з крові, плазми крові, органів і тканин людини або тварин, рослин, мінералів, хімічного синтезу (фармацевтичні засоби, ліки або медикаменти) або із застосуванням біотехнологій (вакцини).
Технологі́чний проце́с - це впорядкована послідовність взаємопов'язаних дій та операцій, що виконуються над початковими даними до отримання необхідного результату.
Програ́мне забезпе́чення (програ́мні за́соби) (ПЗ; англ. software) - сукупність програм системи обробки інформації і програмних документів, необхідних для експлуатації цих програм.
Наукові результати і програмні засоби можуть використовуватися в дослідженнях по створенню мікропроцесорних електроживлячих установок і при контролі технологічних процесів (акт впровадження від 03.12.2002).



Особистий внесок здобувача. Дисертаційна робота є результатом самостійної роботи автора. У роботі [5] автором запропонований алгоритм формалізації технологічного процесу з метою спрощення вивчення цього процесу та дослідження умов його стабілізації.
Техноло́гія (від грец. τεχνολογια, що походить від грец. τεχνολογος; грец. τεχνη - майстерність, техніка; грец. λογος - (тут) передавати) - наука («корпус знань») про способи (набір і послідовність операцій, їх режими) забезпечення потреб людства за допомогою (шляхом застосування) технічних засобів (знарядь праці).
У роботі [3] знайдені перехідні та граничні ймовірності за моментами надходження вимог на прилади обслуговування для багатолінійної системи масового обслуговування з "мертвим часом". У роботі [1] автором розроблений алгоритм ідентифікації параметрів для зазначеної СМО. У роботі [4] дано опис стаціонарного розподілу слабко взаємодіючих марковських систем. У роботі [2] досліджені процеси, що відбуваються в рідинах і умови їх стабілізації.

Апробація результатів дисертації. Основні результати проведених досліджень доповідалися й обговорювалися на таких конференціях: 5-му Міжнародному молодіжному форумі “Радіоелектроніка та молодь у ХХІ столітті” (Харків, ХТУРЕ, 2001 р.); Всероссийской молодежной научной конференции “XXVI Гагаринские чтения” (Москва, 2000 р.); 6-му Міжнародному молодіжному форумі “Радіоелектроніка та молодь у ХХІ столітті” (Харків, ХНУРЕ, 2002 р.); Международной конференции “Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений” (Мінськ, Бєларусь, 2001 р.); 1-й Міжнародній науково-практичній конференції студентів, аспірантів і молодих учених “Сучасні завдання прикладної статистики, промислової, актуарної та фінансової математики” (Донецьк, 2002 р.); 8-й Міжнародній конференції “Теорія та техніка передачі, прийому й обробки інформації” (“Інтегровані інформаційні системи, мережі та технології”) ІІСТ-2002 (Харків, ХНУРЕ, 2002 р.).
Інформацíйна систéма (англ. Information system) - сукупність організаційних і технічних засобів для збереження та обробки інформації з метою забезпечення інформаційних потреб користувачів.


Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 5 наукових статтях і 6 тезах доповідей.

Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та чотирьох додатків на 38 сторінках. Загальний обсяг роботи – 177 сторінок. Дисертація містить 38 рисунків, 19 таблиць і список використаних джерел із 114 найменувань на 10 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтована актуальність дисертаційної роботи, сформульовані мета та задачі досліджень, наукова новизна та практичне значення роботи.

У першому розділі сформульовані задачі, розглянуті в дисертаційній роботі. В основному – це задачі теорії масового обслуговування.

СМО, з якими доводиться мати справу на практиці, піддаються зовнішнім впливам, що, як правило, змінюються з часом. У роботі основна увага приділена дослідженню зазначених СМО. Побудова математичних моделей, які б досить точно описували зазначені реальні процеси, та їх аналіз є однією з основних цілей дисертації.

Знаходження умов, при виконанні яких має місце стабілізація процесу, також є основною задачею дослідження конкретної технічної системи, наділеної марковською властивістю. Тому одним із завдань проведених у даній роботі досліджень є побудова математичної моделі процесу з характеристиками, що змінюються в часі, та знаходження умов його стабілізації.

У другому розділі досліджується багатоканальна система масового обслуговування з відмовленнями типу , тобто система масового обслуговування з однотипними обслуговуючими приладами і відсутньою чергою. В систему надходить пуасонівський потік заявок інтенсивності , обслуговування на кожному приладі експонентне з параметром . Якщо хоча б один прилад вільний, то заявка, що надійшла, відразу ж починає обслуговуватися цим приладом. Якщо ж усі прилади зайняті, то вона залишає систему без обслуговування. Вважається, що після кожного надходження заявки вхідного потоку на прилад обслуговування виникає деякий час відновлення приладу , протягом якого заявки вхідного потоку не спостерігаються. Розглядається випадок, коли час відновлення приладу - величина постійна для кожного приладу, і передбачається, що заявки, які надходять у систему протягом цього часу, не викликають його продовження.

Під станом досліджуваної системи в момент часу розумітимемо число працюючих у цей момент приладів.

Момент часу - точка на часовій осі. Про події, що відповідають одному моменту часу, говорять як про одночасні.
Стани досліджуваної системи розглядаються відразу після надходження заявок на обслуговуючі прилади, тобто тільки в моменти часу . Через позначене число працюючих приладів у момент . Величини утворюють ланцюг Маркова. У роботі були знайдені перехідні ймовірності для станів :



де - пропускна здатність системи.

Доведено, що граничні ймовірності станів системи виражаються формулами Ерланга:


.
Побудовано оцінку пропускної здатності системи. Цю оцінку отримано за допомогою методу моментів. Для цього знайдена асимптотична дисперсія цієї оцінки:
.
Тут
,
.
Знання дозволяє знаходити довірчі інтервали для    пропускної здатності системи.
Довірчий інтервал - термін, який використовується в математичній статистиці при інтервальній оцінці статистичних параметрів, більш кращою при невеликому обсязі вибірки, ніж точкова. Довірчим називають інтервал, який покриває невідомий параметр із заданою надійністю.
Якщо є асимптотично нормальною, то вірна рівність
.
Описаний вище метод побудови оцінки вхідного потоку вимог узагальнений на випадок вхідного потоку з параметром , що залежить від часу, та інтенсивністю обробки вимог , однаковою для всіх каналів, при обслуговуванні вимог у порядку надходження.

Часто має місце випадок, коли інтенсивність вхідного потоку зазнає швидких змін (осциляцій) у часі. При цьому виникають ситуації, коли при наближенні до деякого фіксованого моменту часу елементи інфінітезимальної матриці, що описує процес, зазнають швидких осциляцій у часі. У цьому випадку при виконанні деяких умов мають місце фокусування або σ-фокусування процесу. У першому з цих випадків за кінцевий проміжок часу, незалежно від початкового розподілу, ймовірності станів процесу набувають заданих значень, у другому випадку ймовірності станів локалізуються поблизу деяких значень.

Вивчено характер змін імовірностей станів СМО під впливом швидкозмінних у часі факторів. Як і раніше, під станом СМО розуміється число приладів.

Нехай - число всіх станів СМО; - імовірності переходу з у за проміжок ; - імовірність того, що система знаходиться в момент часу у стані , у припущенні, що її еволюція почалася в момент .

Позначимо через інфінітезимальну матрицю, що визначає процес, який відбувається в СМО. Система диференціальних рівнянь (рівнянь Колмогорова), що описує еволюцію імовірностей станів СМО, має вигляд:
,
або у векторній формі
.
Тут , імовірність того, що процес, який почався в момент , у момент часу знаходитиметься в стані .

Підкреслимо, що результати чисельних експериментів можуть бути строго обґрунтовані. Було встановлено, що які б не були початковий розподіл імовірностей , заданий у момент , і числа (,), варіації елементів матриці на можна вибрати так, що при всіх виконуватимуться умови


. (1)

Для СМО типу було досліджено поведінку вектора розподілу ймовірностей при зміні на . Проведено наступний обчислювальний експеримент. На було взято точок (). У моменти часу елементи інфінітезимальної матриці процесу зазнавали збурень. Число точок, у яких матриця зазнавала збурень, було вибрано настільки великим, щоб впливом фонової матриці на процес можна було знехтувати.

Чисельний експеримент показав, що при відповідному виборі збурень у точках на буде мати місце (1). Були розглянуті різні випадки розташування точок на . На рис. 1-3 показано поведінку однієї з компонент вектора розподілу ймовірностей на .

Рис.1. Графік першої компоненти вектора розподілу (кількість збурень )

Рис. 2. Графік першої компоненти вектора розподілу

(кількість збурень і три точки згущення , і )


На рис. 1 наведений графік зміни однієї з компонент вектора при рівномірному розподілі точок на ; на рис. 2 зображений графік однієї з компонент вектора розподілу для випадку, коли точки згущаються відповідно поблизу точок , , ; на рис. 3 показані результати чисельного аналізу для однієї з компонент у випадку, коли елементи інфінітезимальної матриці зазнають збурень в моменти часу, розташовані на випадковим чином: передбачалося, що збурення з номером розподілене на відрізку рівномірно.

Рис. 3. Графік другої компоненти вектора розподілу (кількість збурень )
У третьому розділі розглянута СМО з обмеженим потоком вимог. Проведено чисельний аналіз для випадку, коли параметри системи (кількість приладів, їх продуктивність, число заявок, що циркулюють у системі) змінюються в часі.

Для зазначеної СМО проведені дослідження для таких випадків:

1. Характеристики всіх приладів однакові, але протягом проміжку часу, що досліджується, їх число змінюється (збільшується чи зменшується). Динаміка поведінки такої системи показана на графіку (рис. 4). З нього видно, що перед зміною числа приладів у момент процес стабілізується. Зміна числа приладів при порушила стабільність роботи системи. Якщо робота СМО до якогось моменту стабілізувалася, то після зміни числа приладів у момент ця стабілізація буде порушена. При цьому, якщо при на систему впливають стабілізуючі фактори і зміна числа приладів якийсь час не відбувається, то система через певний час потрапляє в зону стабільного режиму. Стабільний режим діятиме доти, поки на СМО не почнуть діяти які-небудь дестабілізуючі фактори. До них, зокрема, належить зміна числа приладів.

Рис. 4. Графік першої компоненти вектора розподілу ймовірностей
2. Інтенсивності обробки вимог () приладами, що входять у СМО, різні. Побудовано математичну модель для цієї системи в припущенні, що прилади працюють у визначеному порядку (у порядку їхньої нумерації): якщо заявка, що надійшла до системи, застає приладів зайнятими (працюють 1-й, 2-й, ..., прилади), то вона буде обслуговуватися приладом. Для випадку, коли в системі знаходяться приладів, що обслуговують заявок, інфінітезимальна матриця процесу має вигляд:
;

;

;

………………………………………………



;

………………………………………………



.
Оскільки зазначена матриця сильно розріджена, для її запису використана скорочена форма: так запис означає, що елемент матриці дорівнює . Не виписані елементи матриці дорівнюють нулю.

Розглянуто випадок, коли частина приладів, що входять у СМО, оброблюють заявки значно швидше, ніж інші її прилади. Зроблений чисельний аналіз такої СМО. З отриманих даних випливає: чим вища продуктивність приладів, що вводяться в експлуатацію, швидкості обробки заявок якими значно перевершують швидкості обробки вимог іншими приладами, тим швидше відбувається стабілізація процесу.

3. Розглянуто випадок, коли характеристики всіх приладів однакові, але інтенсивність потоку заявок, що надходять до системи, швидко змінюється в часі. Проведено чисельний аналіз, за допомогою якого встановлено зв'язок між числом працюючих приладів і характером зміни в часі інтенсивності вхідного потоку вимог. Встановлено, що стабілізація досліджуваної СМО залежить від числа осциляцій інтенсивності потоку вимог на одиницю часу.

4. Число вимог, що циркулюють у системі, змінюється з плином часу. Ця задача вирішується за допомогою диференціальних рівнянь Колмогорова, які описують роботу СМО, з числом рівнянь, що змінюється. На рис. 5 а) і б) зображені графіки поведінки системи для часткових інтервалів, на яких число вимог у системі змінюється, відповідно і .


а) б)


Рис. 5. Графіки першої компоненти вектора розподілу ймовірностей
Результати обчислювального експерименту показали, що чим менші проміжки часу, на яких відбуваються зміни числа вимог, які циркулюють у системі, тим стабільніша її робота.

У четвертому розділі розглянуті СМО з накопичувачами заявок, характеристики яких змінюються в часі. Розглянуті СМО зі змінними в часі інтенсивностями вхідного та вихідного потоків. У таких СМО ймовірності станів системи можна обчислити, розв’язуючи систему диференціальних рівнянь Колмогорова:


(2)
Тут - інтенсивність вхідного потоку, - інтенсивність обслуговування вимог.
Диференціа́льні рівня́ння - рівняння, що встановлює залежність між незалежними змінними, числами (параметрами), невідомими функціями та їх похідними. Невідома функція може бути як скалярною, так і векторною.

Інфінітезимальна матриця системи (2) містить стовпець, всі елементи якого відмінні від нуля. Передбачається, що на досліджуваному проміжку часу всі або частина елементів системи (2) під впливом визначених зовнішніх факторів швидко змінюються в часі. Проведено чисельний аналіз такої СМО. Встановлено, що для будь-якого знайдеться збурення таке, що в деякому околі точки вектор рішень збуреної системи буде задовольняти (1). З рис. 6 видно, що при великій кількості осциляцій вхідного потоку вимог, розподілених на малих проміжках часу з , розподіл досліджуваної СМО стабілізується (попадає в -окіл деякої векторної кривої) за малий проміжок часу.



Рис. 6. Графік першої компоненти вектора розподілу ймовірностей
Підкреслимо, що зазначені осциляції можна вибрати так, щоб стабілізація СМО була реалізована за як завгодно малий проміжок часу.

Побудовано математичну модель СМО з накопичувачами вимог: проведені розрахунки для випадків, коли об’єми накопичувачів змінюються з плином часу. Передбачається, що в початковий момент часу накопичувачі мали різні об’єми. Зазначений випадок досліджений за допомогою рівнянь Колмогорова зі змінним числом рівнянь. Стабілізація процесу спостерігається тільки на часткових проміжках часу , на яких кількість рівнянь не змінюється.

Побудовано модель СМО, що містить кілька накопичувачів різного об’єму. Передбачалося, що прилад звертається за заявками до накопичувачів. Інтенсивність звертання до накопичувача з номером () дорівнює . Тривалість обслуговування приладом заявок з накопичувача - величина випадкова, розподілена за показовим законом з параметром , де - середній час обслуговування заявок з накопичувача.

При цьому в системі вводиться пріоритет для заявок кожного накопичувача, за яким надається право першочергового обслуговування заявкам з накопичувача, що має менший номер. Тобто, якщо в момент надходження заявок з накопичувача прилад обслуговує заявки з накопичувача, причому , то вимоги з накопичувача заміщуються заявками, що надійшли.

Потрібно так організувати роботу системи та вибрати послідовність пріоритетів (пронумерувати накопичувачі), щоб у сталому режимі максимізувати сумарну цінність усіх повністю виконаних заявок в одиницю часу, тобто максимізувати вираз:
,

де - імовірність повного обслуговування інформації з накопичувача.

Оскільки заявки з кожного накопичувача мають однакову цінність, тому байдуже, з якого накопичувача будуть обслуговуватися заявки, головне, щоб імовірність повного обслуговування була максимальною.

Система диференціальних рівнянь Колмогорова, що описують імовірності станів системи, запишеться у вигляді:


де - імовірність того, що прилад вільний від обслуговування в момент часу ; - імовірність того, що прилад у момент часу зайнятий обслуговуванням заявок з накопичувача.

Задачі, подібні описаній, виникають при обробці інформації, коли керуюча програма здійснює вибір порядку обслуговування інформації.

Обробка інформації́ - вся сукупність операцій (збирання, введення, записування, перетворення, зчитування, зберігання, знищення, реєстрація), що здійснюються за допомогою технічних і програмних засобів, включаючи обмін по каналах передачі даних [6.

Встановлено, що незалежно від інтенсивностей звертання до накопичувачів право першочергового обслуговування має надаватися заявкам з того накопичувача, час обслуговування яких менший (чи інтенсивність обслуговування більша). У цьому випадку кількість виконаних вимог за визначений проміжок часу буде максимальною.

Розглянуто випадок, коли на досліджуваному відрізку інтенсивність звертань до накопичувача з першим номером зазнає швидких змін у часі. У цьому випадку інфінітезимальна матриця, що описує процес, містить стовпець типу . Чисельні розрахунки показали, що при досить швидких осциляціях інтенсивності звертань до накопичувача з першим номером стабільність роботи системи не порушується.

Описані вище методи й обчислювальні алгоритми застосовані для вирішення задачі про виділення з рідкої багатокомпонентної суміші однієї з її фракцій. Її виділення здійснюється за допомогою обробки суміші високочастотними імпульсами; при відповідному виборі частот і амплітуд цих імпульсів із суміші може бути виділена одна з її компонент. Зазначені впливи підбираються таким чином, щоб були зруйновані міжмолекулярні зв'язки, що діють між компонентами оброблюваної суміші. Даний підхід може бути реалізований у випадку, коли розряди, що впливають на суміш, реалізуються за досить малі проміжки часу.

Процес виділення з багатокомпонентної суміші потрібної фракції може бути описаний за допомогою відповідним чином підібраного марковського процесу. Його фазовим простором є круговий циліндр, заповнений сумішшю.

Цилі́ндр (грец. κύλινδρος - «валик») - тупа піраміда товстої форми
Основи цього циліндра є обкладками конденсатора. Між їх частинами (вони являють собою кругові сектори, розташовані один під одним) підтримується різниця потенціалів.
Різниця потенціалів - характеристика електричного поля, різниця електростатичних потенціалів у двох точках простору.
Частину рідкої суміші, що знаходиться між зазначеними секторами, будемо називати станом. Якщо деякий стан отримає сильне збурення, локалізоване на малому проміжку часу (це збурення може бути реалізоване за допомогою швидкої зміни в часі різниці потенціалів на верхньому і нижньому секторах), то збурення одержить і частина суміші, що граничить з цим станом. Погоджений вплив на суміш таких збурень при виконанні деяких умов (накладаються на різницю потенціалів) приведе до стабілізації всього процесу. Встановлено, що процес поділу суміші при його обробці зазначеним способом може бути описаний з деяким огрубінням системою рівнянь Колмогорова з трьохдіагональною матрицею. Побудова цієї матриці здійснюється за тією ж схемою, що і для процесів народження та загибелі.

Для процесу виділення із суміші потрібної компоненти досліджена швидкість цього виділення в залежності від ряду факторів: відстані між обкладками конденсатора (фактор А), центрального кута рухливої секторальної пластини (фактор В), напруги на обкладках конденсатора (фактор С), кута повороту рухливого сектора (фактор D), числа розрядів при фіксованому положенні секторальної пластини (фактор Е), числа повних обходів пластини за одиницю часу (фактор F).

Центральний кут - кут, вершина якого є центром кола, і сторони проходять через пару точок на колі, тим самим спираючись на дугу кола між цими двома точками.

Використано метод багатофакторного аналізу за допомогою греко-латинського гіперкуба 3х3 першого порядку. Розглядався вплив таких факторів: А - відстань між обкладками конденсатора (  ,   ,   ), В - центральний кут рухливої секторальної пластини (   ,   ,   ), С - напруга на обкладках конденсатора (   ,    ,    ), D - кут повороту рухливого сектора (, , ), Е - число розрядів при фіксованому положенні пластини (, , ), F - число повних обходів пластини за одиницю часу (, , ).

Дисперсійний аналіз показав статистичну значущість ефектів чотирьох факторів (А, С, Е і F) і парних взаємодій (АВ, АС, АD, AE, AF, BF, CD, CE, CF, DF, EF). Фактори В, D і парні взаємодії BC, BD, BE, DF для даного процесу – не значущі. Для кожного з факторів побудовані ряди переваг.

Ряд переваги для фактора А має такий вигляд ():; для фактора С: ; для фактора Е: ; для фактора F: . Ґрунтуючись на цій інформації, найкращою комбінацією можна вважати таке поєднання рівнів факторів: . Цій комбінації відповідає дослід №36, де за трьома повторними дослідами сума в рядку дорівнює 11,4. Отже, найкращі результати одержимо при проведенні процесу поділу суміші в таких умовах: відстань між обкладками конденсатора - , центральний кут рухливої секторальної пластини - , напруга на обкладках конденсатора - , кут повороту рухливого сектора - , число розрядів при фіксованому положенні пластини - 1, число повних обходів пластини за одиницю часу - .

Відзначимо, що для інших сумішей, ніж досліджувана в роботі, результати будуть іншими. Таким чином, запропонований метод планування експерименту дозволяє одержати необхідний результат при проведенні значно меншого числа дослідів.

Планува́ння експериме́нту (рос. планирование эксперимента, англ. experimental design, design of experiments, нім. Versuchsplanung f, Testplanung f) - процедура вибору числа та умов проведення дослідів, необхідних та достатніх для вирішення задачі досліджень із заданою точністю.

  1   2


Скачати 349.12 Kb.

  • Харківському національному університеті радіоелектроніки , Міністерство освіти
  • Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук
  • Актуальність теми.
  • Звязок роботи з науковими програмами , планами, темами.
  • Мета і задачі дослідження.
  • Наукова новизна отриманих результатів.
  • Практичне значення отриманих результатів.
  • Особистий внесок здобувача.
  • Апробація результатів дисертації.
  • Публікації.
  • ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ У вступі