Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



О. В. Задачі математичних олімпіад. Функціональні рівняння

Скачати 253.59 Kb.

О. В. Задачі математичних олімпіад. Функціональні рівняння




Скачати 253.59 Kb.
Сторінка1/5
Дата конвертації02.05.2017
Розмір253.59 Kb.
  1   2   3   4   5



Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Управління освіти і науки Кіровоградської обласної державної адміністрації

Кіровоградський обласний навчально-виховний комплекс

(гімназія-інтернат – школа мистецтв)

Долінко О.В.

Кіровогра́дська о́бласть(Кропивницька область) - область в центральній частині України. Утворена 10 січня 1939 року Указом Президії Верховної Ради СРСР. Обласний центр - Кропивницький.

Задачі математичних олімпіад.

Функціональні рівняння

Кіровоград 2013

Долінко О.В. Задачі математичних олімпіад. Функціональні рівняння – Кіровоград, 2013. – 27 с.

Функціона́льне рівня́ння (функці́йне рівня́ння) - рівняння, яке виражає зв'язок між значенням функції в одній точці з її значеннями в інших точках. Багато які з властивостей функцій можна отримати, досліджуючи функційні рівняння, яким ці функції задовільняють.

Основна мета даного посібника надати допомогу учням, вчителям, студентам фізико-математичних факультетів, педагогічних вузів в розвитку вмінь і навичок розв’язувати задачі з теми: «Функціональні рівняння».

Навчальний посібник - видання, яке частково доповнює або замінює підручник у викладі навчального матеріалу з певного предмета, курсу, дисципліни або окремого його розділу, офіційно затверджений як такий.
Факульте́т (нім. Fakultät, від лат. facultas - спроможність, здатність) - основний організаційний і навчально-науковий структурний підрозділ вищого навчального закладу третього та четвертого рівнів акредитації, що об'єднує відповідні кафедри і лабораторії.
Педаго́гіка (грец. παιδαγωγική - майстерність виховання) - наука про спеціально організовану цілеспрямовану і систематичну діяльність з формування людини - про зміст, форми і методи виховання, освіту та навчання.
Студе́нт (лат. studens, родовий відмінок studentis - «ретельно працюючий», «такий, що займається») - учень вищого, у деяких країнах і середнього навчального закладу.

Посібник містить теоретичні відомості, зразки розв’язання олімпіад них задач, приклади для самостійного розв’язування.

Тео́рія (від грец. θεωρία - розгляд, дослідження) - сукупність висновків, що відображає відносини і зв'язки між явищами реальності у вигляді інформаційноі моделі. Теорією стає гіпотеза, що має відтворюване підтвердження явищ та механізмів і дозволяє спостерігачу прогнозувати наслідки дій чи зміни стану об'єкта спостережень.

Посібник може бути використаний вчителями математики при організації факультативних занять та для роботи в класах з поглибленим вивченням математики.

Учи́тель/вчитель (педагог)- людина, яка навчає інших людей (своїх учнів), передає їм певні знання про життя. У вузькому розумінні - спеціаліст, який проводить навчальну та виховну роботу з учнями в загальноосвітніх школах різних типів.

Посібник буде корисний всім, хто цікавиться математикою.

Рецензент: В.Є. Супрун, заступник директора з навчально-виховної роботи Кіровоградського обласного навчально-виховного комплексу (гімназія-інтернат – школа мистецтв).
ЗМІСТ


РОЗДІЛ 1 5

Загальні відомості про функціональні рівняння 5

РОЗДІЛ 2 6

Композиція функцій 6

РОЗДІЛ 3 8

Деякі методи розв’язування функціональних рівнянь. 8

3.1. Метод підстановки 8

3.2. Поняття групи 10

РОЗДІЛ 4 14

Задачі математичних олімпіад 14

РОЗДІЛ 5 19

Завдання для самостійного розв’язування 19

Література 27



РОЗДІЛ 1

Загальні відомості про функціональні рівняння


Рівняння, в яких разом із незалежною змінною міститься деяка невідома функція цієї змінної називаються функціональними.

Перші функціональні рівняння виникли при розв’язуванні деяких задач з механіки, а математики досліджували їх ще у ХVIII - ХIХ століттях. Такі визначні математики, як Леонард Ейлер, Карл Гаус, Микола Лобачевский, та інші не раз зверталися до таких рівнянь у своїх наукових працях.

Столíття або сторіччя - проміжок часу, дорівнює ста рокам. Згідно з сучасним літочисленням (від «Різдва Христового»), століття починається «першим» роком, а закінчується кратним сотні. Наприклад, двадцяте сторіччя почалося 1 січня 1901 року, а закінчилося 31 грудня 2000 року.
Йога́нн Карл Фрі́дріх Га́ус (нім. Johann Carl Friedrich Gauß, лат. Carolus Fridericus Gauss; 30 квітня 1777, Брауншвейг - 23 лютого 1855, Геттінген) - німецький математик, астроном, геодезист та фізик.
Леона́рд Е́йлер (нім. Leonhard Euler; стандартна німецька - МФА: [ˈɔʏlɐ], стандартна швейцарська німецька - МФА: [ˈɔɪlər]); 15 квітня 1707, Базель, Швейцарія - 7 (18) вересня 1783, Санкт-Петербург, Російська імперія) - швейцарський, російський і німецький математик та фізик, який провів більшу частину свого життя в Росії та Німеччині.

Двісті років тому значний вклад в теорію розв’язування функціональних рівнянь вніс французький математик Огюстен Коші (1789-1857).

Років тому - шкала часу, що широко використовується в археології, геології та інших науках для датування подій в минулому. Оскільки час відрахунку змінюється, стандартна практика пропонує використання 1950 року як еталонної точки «сучасності».
Огюсте́н Луї́ Коші́ (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 серпня 1789, Париж - 23 травня 1857) - французький математик, член Паризької академії наук (1816), Петербурзької академії наук (1831).
На честь нього названо одне з найвідоміших функціональних рівнянь

f(x y)=f(x) f(y),

яке має розв’язком будь-яку адитивну функцію.

Найпростіші функціональні рівняння, для яких знайдено способи розв’язку:

f ( ) = f(2х) (6)

f ( ) = f(x) f(y)) (7)

f(x y) - f(x-y) = 2 f(x) f(y) (8)

f(x y) - f(x-y) = 2 f(x) cosy (9)

f(x 1) f(x) = x (10)

2f(1-x) 1 = x f(x) (11)

  1   2   3   4   5


Скачати 253.59 Kb.

  • РОЗДІЛ 1