Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Питання вступного іспиту в аспірантуру зі спеціальність 111 Математика Функціональний аналіз

Скачати 21.84 Kb.

Питання вступного іспиту в аспірантуру зі спеціальність 111 Математика Функціональний аналіз




Скачати 21.84 Kb.
Дата конвертації19.04.2017
Розмір21.84 Kb.

Питання вступного іспиту в аспірантуру

зі спеціальність 111 Математика
1. Функціональний аналіз

1. Принцип стислих відображень в метричних просторах.

Метри́чний про́стір - це пара ( X , d ), яка складається з деякої множини X елементів і відстані d , визначеної для будь-якої пари елементів цієї множини.

2. Міра Лебега в .

Міра Лебе́га на R n ^} - міра, що є розширенням міри Жордана на ширший клас множин, була введена Лебегом в 1902 році.

3. Компактність та повна обмеженість. Теорема Хаусдорфа.

4. Інтеграл Лебега.

Інтеграл Лебега - це узагальнення інтегралу Рімана на більш широкий клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої і інтегровні за Ріманом, є також інтегровні за Лебегом, причому в такому випадку обидва інтеграли збігаються.

5. Критерій компактності в просторі неперервних функцій (теорема Арцела).

6. Теорема про продовження міри з алгебри на -алгебру.

7. Повні метричні простори. Принцип вкладених куль.

8. Інтеграл Лебега-Стілтьєса.

9. Теореми Єгорова та Лузіна.

10. Оператори Гілберта-Шмідта та інтегральні оператори.

11. Теорема Лебега про граничний перехід під знаком інтеграла.

12. Теорема Кантора про незліченність множини дійсних чисел.

13. Теорема Ф. Рісса про загальний вигляд лінійних неперервних функціоналів на просторі неперервних функцій.

14. Теорема про формулу Коші.

15. Добуток мір та теорема Фубіні.

16. Критерій компактності в .

17. Інтегральна формула Коші.

Інтегра́льна фо́рмула Коші́ - одна з головних формул комплексного аналізу, виведена Оґюстеном-Луї Коші. Вона дозволяє виразити значення регулярної функції в будь-якій точці області через значення функції на межі цієї області.

18. Типи збіжності вимірних функцій.

19. Лінійні неперервні функціонали. Теорема Хана-Банаха.

20. Формула Гріна.

21. Обернений оператор. Теорема Банана про обернений оператор.

22. Заміна змінних та обчислення кратних інтегралів.

23. Дослідження на екстремум функцій декількох змінних. Необхідні та достатні умови екстремума.

24. Теорема Лебега про граничний перехід під знаком інтеграла.

25. Формула Тейлора для функцій декількох змінних.

26. Ряди Фур’є та їх зв'язок з розкладом вектора за ортонормованим базисом.

27. Інтегральна теорема Коші.

У математиці Ряд Те́йлора - представлення функції у вигляді нескінченної суми доданків, які обчислюються зі значень функцій похідних в одній точці.
Інтегра́льна теоре́ма Коші́ - одна з основних теорем аналітичних функцій, сформульована та доведена Оґюстеном-Луї Коші.

28. Вимірні функції та їх властивості.

29. Нерівність Бесселя та рівність Парсеваля.

30. Властивості неперервних на компакті функцій.

2. Теорія ймовірностей
1. Характеристичні функції.

2. Закон великих чисел.

3. Нерівність Чебишова.

4. Випадкові величини, функції розподілу.

5. Нормальний розподіл.

6. Центральна гранична теорема.

Нерівність Чебишова - результат теорії ймовірностей, який стверджує, що для будь-якої випадкової величини із скінченною дисперсією майже всі значення концентруються біля значення математичного сподівання.
Функція розподілу ймовірностей - В теорії ймовірностей це функція, яка повністю описує розподіл ймовірностей випадкової величини.
Випадкова величина (англ. Random variable) - одне з основних понять теорії ймовірностей.
Нормальний розподіл (розподіл Ґауса) - розподіл ймовірностей випадкової величини, що характеризується густиною ймовірності
Теорія ймовірності - розділ математики, що вивчає закономірності випадкових явищ: випадкові події, випадкові величини, їхні функції, властивості й операції над ними. Математичні моделі в теорії ймовірності описують з деяким ступенем точності випробування (експерименти, спостереження, вимірювання), результати яких неоднозначно визначаються умовами випробування.
Центральна гранична теорема - теорема теорії ймовірностей про збіжність розподілу суми незалежних однаково розподілених випадкових величин до нормального розподілу. Ця теорема підкреслює особливість нормального розподілу в теорії ймовірностей.

7. Аксіоми теорії ймовірностей.

Аксіоматика Колмогорова - загальноприйнятий аксіоматичний підхід до математичного опису події й імовірності; запропонований Андрієм Миколайовичем Колмогоровим в 1929, остаточно в 1933. Він додав теорії ймовірностей формальний стиль, прийнятий у сучасній математиці.

8. Процес Пуассона.

9. Аксіоми теорії ймовірностей.

10. Нерівність Чебишова.

11. Центральна гранична теорема.

12. Нормальний розподіл та його основні властивості.

13. Закон великих чисел.

14. Біноміальний та пуассонівський розподіли.



15. Характеристичні функції та їх основні властивості.
3. Комплексний аналіз

  1. Аналітичні функції.
    Компле́ксний ана́ліз, або тео́рія фу́нкції компле́ксної змі́нної (ТФКЗ) - розділ математики, що вивчає функції, які залежать від комплексної змінної. Використовується у багатьох розділах математики, зокрема у теорії чисел, прикладній математиці та фізиці.


  2. Умови аналітичності функції комплексної змінної.

  3. Інтеграл функції комплексної змінної

  4. Інтегральна теорема, формула Коші.

  5. Інтегральна теорема Коші

  6. Інтегральна формула Коші.

  7. Ряд Лорана, особливі точки.
    Особлива точка - точка голоморфної функції, в якій функція не визначена, її границя нескінченна або границі не існує.


  8. Розклад в ряд Лорана.

  9. Теорія лишків.

  10. Обчислення інтегралів за допомогою лишків.


Скачати 21.84 Kb.

  • Інтеграл Лебега
  • Інтегральна формула Коші
  • Формула Тейлора
  • 2. Теорія ймовірностей 1. Характеристичні функції. 2. Закон великих чисел. 3. Нерівність Чебишова
  • Нормальний розподіл
  • Аксіоми теорії ймовірностей
  • 3. Комплексний аналіз