Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Пояснювальна записка Метою даного курсу є опанування студентами знаннями, уміннями та навичками розв’язувати задачі математичного аналізу фундаментальної математичної дисципліни, яка вивчає основи теорії дійсних чисел, числові послідовності, числові

Пояснювальна записка Метою даного курсу є опанування студентами знаннями, уміннями та навичками розв’язувати задачі математичного аналізу фундаментальної математичної дисципліни, яка вивчає основи теорії дійсних чисел, числові послідовності, числові




Сторінка2/3
Дата конвертації09.04.2017
Розмір123 Kb.
1   2   3

вивчення дисципліни

Математичний аналіз




№ теми

Назва теми

Тема 1

Дійсні числа, підмножини дійсних чисел. Граничні значення. Множина розв’язків рівняння з двома змінними, її геометричне та комп’ютерне відображення. Комплексні числа. Елементи загальної теорії множин.

Тема 2

Послідовності, числові функції, властивості границь і неперервні функції.

Тема 3

Похідні та інтеграли. Похідні вищих порядків та локальні поліноміальні наближення високого порядку точності.

Тема 4

Числові та функціональні ряди.

Тема 5

Функції обмеженої варіації. Інтеграл Стільтьєса

Тема 6

Функції багатьох змінних. Елементи аналізу у метричних просторах. Похідні від функцій багатьох змінних.

Тема 7

Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли

Тема 8

Ряди Фур’є. Інтеграл Фур’є

Тема 9

Вимірні функції та інтеграл Лібега.

Програмний матеріал


до вивчення дисципліни




Математичний аналіз



Тема 1. Дійсні числа, підмножини дійсних чисел. Граничні значення. Множина розв’язків рівняння з двома змінними, її геометричне та комп’ютерне відображення. Комплексні числа. Елементи загальної теорії множин.


Логічні знаки у математичних твердженнях. Множини натуральних, цілих та раціональних чисел і їх геометричне відображення. Дії над множинами. Об’єднання, перетин, доповнення. Правила двоїстості. Декартовий добуток і декартова множина та їх використання для геометричного відображення множини розв’язків рівнянь з двома невідомими. Комп’ютерні засоби графічного відображення явних і неявних функцій (інтегрований блок з дисципліною „Програмування”). Алгебраїчні дії над функціями. Змінні у часі функції та комп’ютерні алгоритми їх геометричного відображення. Композиція відображень. Геометричний метод розв’язування функціональних рівнянь з операторами композиції та операторами обернення.

Потужність множини. Рівнопотужні множини. Зліченні множини.

Компози́ція (суперпозиція) фу́нкцій (відображень) в математиці - функція, побудована з двох функцій таким чином, що результат першої функції є аргументом другої.
Зліченна множина - в теорії множин така нескінченна множина, елементи якої можна занумерувати натуральними числами. Множина, яка не є зліченною, називається незліченною. Таким чином, будь-яка множина є або скінченною, або зліченною, або незліченною.
Теорема про зліченність об’єднання зліченної множини зліченних множин. Зліченність множини раціональних чисел. Теорема про зліченність декартового добутку зліченних множин. Теорема про існування незліченних множин. Множина потужності континуум.

Існування ірраціональних чисел. Множини дійсних чисел: відрізок, інтервал, окіл, півінтервал. Точні межі множини дійсних чисел. Дії над дійсними числами. Сума, добуток, степінь, корень, середнє арифметичне і середнє геометричне та нерівності між ними.

Комплексні розв’язки алгебраїчних рівнянь та їх геометричне відображення. Дії над комплексними числами. Тригонометричні функції та тригонометричне представлення комплексних чисел. Комплексні корені поліноміальних рівнянь.



Тема 2. Послідовності, числові функції, властивості границь і неперервні функції.


Функції з областю визначення на множині натуральних чисел (послідованості).
Алгебраїчна функція, також алгебрична функція - функція, що задовольняє алгебраїчне рівняння.
Арифмети́чне сере́днє (в математиці і статистиці) - сума всіх зафіксованих значень набору, поділена на кількість елементів набору. Якщо з контексту зрозуміло, про яке значення йде мова, тоді просто кажуть середнє.
Ко́мпле́ксні чи́сла - розширення поля дійсних чисел, зазвичай позначається C } . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума x + i y , де x і y - дійсні числа, i - уявна одиниця.
Тригонометричні функції Тригонометри́чні фу́нкції - це функції кута. Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін та кута трикутника або як відношення координат точок кола.
Область визначення (старіший термін - область задавання[Джерело?]) - множина допустимих значень аргументу функції. Позначатиметься як D(y), якщо вказується область визначення функції y=f(x).

Границя збіжної послідовності та методи її відшукання. Нескінченні границі. Теорема про границі суми та добутку послідовностей. Теореми про єдиність границі збіжної послідовності, про обмеженість збіжної послідовності, про три послідовності.

Монотонні послідовності. Критерій існування границі монотонної послідовності. Підпослідовності і часткові границі послідовностей. Теорема про існування збіжної часткової підпослідовності в обмеженій послідовності. Критерій Коші збіжності послідовності. Нескінченно малі послідовності.

Граничний перехід і арифметичні операції над послідовностями.

Арифметичні дії є двомісними операціями на множині чисел - на вході беруть два числа (операнда), і повертають одне число як результат.
Граничний перехід і нерівності. Верхня і нижня границя послідовності.

Гранична точка множини. Означення Коші і означення Гейне границі функції у точці і теорема про їх рівносильність.

Границя функції в точці - фундаментальне поняття математичного аналізу, зокрема аналізу функцій дійсної змінної, число, до якого прямує значення функції, якщо її аргумент прямує до заданої точки. Строге математичне означення границі функції дається мовою δ-ε.
Властивості границі функції у точці

Однобічні границі. Існування границі функції у точці.

Дослідження локальної поведінки функції. Відношення „О” та „о” і їх властивості.

Властивості границь функцій. Граничний перехід і арифметичні операції над функціями. Граничний перехід в нерівностях. Заміна змінних при обчисленні границь.

Неперервні функції. Означення неперервної функції. Приклади функцій неперервних лише у одній точці. Властивості функцій неперервних в точці. Арифметичні операції над неперервними функціями. Проміжні значення неперервної функції.

Властивості монотонних функцій. Неперервність оберненої функції. Неперервність елементарних функцій.

Непере́рвна фу́нкція - одне з основних понять математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі.
Моното́нна фу́нкція - це функція, приріст якої не змінює знаку, тобто завжди або невід'ємний, або недодатній. Якщо при цьому приріст ще і не дорівнює нулю, то функція називається стро́го моното́нною.
Обернена функція Обернена функція (обернене відображення) до даної функції f - в математиці така функція g, яка в композиції з f дає тотожне відображення.
Елемента́рні фу́нкції - клас функцій, що містить в собі степеневі функції, многочлени, показникові функції, логарифмічні функції, тригонометричні функції, обернені тригонометричні функції, а також функції, що отримуються із перелічених вище за допомогою чотирьох арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення) та композиції, застосованих скінченну кількість разів.
Локальні і глобальні властивості неперервних функцій.

Точки розриву функції. Асимптотична поведінка функції. Еквівалентні функції. Виділення головної частини функції.

1   2   3



  • Тема 2 Послідовності, числові функції, властивості границь і неперервні функції.
  • Тема 4 Числові та функціональні ряди.
  • Тема 6 Функції багатьох змінних. Елементи аналізу у метричних просторах. Похідні від функцій багатьох змінних.
  • Тема 8 Ряди Фур’є. Інтеграл Фур’є
  • Тема 2. Послідовності, числові функції, властивості границь і неперервні функції.