Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Пояснювальна записка Метою даного курсу є опанування студентами знаннями, уміннями та навичками розв’язувати задачі математичного аналізу фундаментальної математичної дисципліни, яка вивчає основи теорії дійсних чисел, числові послідовності, числові

Пояснювальна записка Метою даного курсу є опанування студентами знаннями, уміннями та навичками розв’язувати задачі математичного аналізу фундаментальної математичної дисципліни, яка вивчає основи теорії дійсних чисел, числові послідовності, числові




Сторінка3/3
Дата конвертації09.04.2017
Розмір123 Kb.
1   2   3

Тема 3. Похідні та інтеграли. Похідні вищих порядків та локальні поліноміальні наближення високого порядку точності.


Середня швидкість та миттєва швидкість зростання/спадання функції. Означення похідної від функції як миттєвої швидкості зростання функції. Геометричне визначення похідної. Похідні від елементарних функцій. Обчислення похідної від суми, добутку, частки, оберненої функції та композиції функцій. Приклади неперервних функцій, які не мають похідної. Приклади функцій, які мають похідну лише в одній точці.

Теореми (Ферма, Ролля, Лагранжа) про функції, які мають похідні. Диференціал функції. Тотожність x’=x і число е як границя послідовності. Диференціал функції. Необхідна і достатня умова диференційованості функції в точці.

Похідні і диференціали старших порядків. Формули Тейлора для елементарних функцій. Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя.

Використання поліноміальних наближень для підвищення точності наближеного розв’язку алгебраїчного рівняння.

Дослідження функцій за допомогою похідних. Умови локального екстремуму.

Екстремум - найбільше та найменше значення функції на заданій множині.
Точки перегину. Асимптоти. Використання поліноміальних наближень для підвищення точності наближеного розв’язку задачі оптимізації.
Зада́ча оптиміза́ції - задача знаходження точки (точок) мінімуму, або декількох мінімумів заданої функції.

Інтегральна властивість функції - площа криволінійної трапеції.

Криволінійна трапеція - фігура на площині, обмежена графіком невід'ємної неперервної функції y = f ( x ) , визначеною на відрізку [a; b], віссю абсциса і прямими x = a та x = b .
Методи наближеного обчислення площі криволінійної трапеції. Побудова локальних поліноміальних наближень підвищеної точності та їх використання для підвищення точності наближеного інтегрування. Побудова поліноміальних наближень підвищеної точності за даними на дискретній сітці та їх використання для підвищення точності обчислення площі криволінійної трапеції. Відстань між функціями. Відшукання ряду Фур’є та сплайн-функції з мінімальною відстанню до заданої функції.

Формули для точного обчислення площі криволінійної трапеції. Функції, для яких відомі точні формули обчислення площі криволінійної трапеції. Обчислення об’єму тіл обертання.

Використання поліноміальних наближень для побудови наближеного розв’язку диференціального рівняння.

Невласні інтеграли за необмеженими інтервалами. Критерій Коші збіжності. Абсолютно й умовно збіжні інтеграли. Достатні ознаки збіжності.

Ознаки збіжності рядів - ознаки, що доводять або спростовують збіжність числового ряду. Нехай дано ряд
Невласні інтеграли від необмежених функцій. Заміна змінних і формула інтегрування частинми для невласних інтегралів.

Рівномірна збіжність невласних інтегралів, що залежать від параметра. Дослідження збіжності невласних інтегралів.


Тема 4. Числові та функціональні ряди.

Числовий ряд, його сума, збіжність. Необхідна умова збіжності ряду. Властивості збіжних рядів. Критерій Коші збіжності ряду.


Ряди з невід’ємними членами. Критерій збіжності і наслідок. Ознаки порівняння. Ознаки Даламбера і Коші. Логарифмічна ознака та інтегральна ознака Маклорена-Коші збіжності рядів з невід’ємними членами.

Знакозмінні ряди. Ряди Лейбніца. Абсолютно й умовно збіжні ряди. Властивості абсолютно збіжних рядів. Ознаки збіжності Лейбніца, Діріхле та Абеля.

Інші властивості збіжних рядів: групування та переставлення членів ряду, множення рядів.

Функціональні ряди. Множина збіжності ряду. Рівномірна збіжність функціонального ряду.

Рівномірна збіжність послідовності функцій - властивість послідовності f n : X → Y :X\to Y} , де X - довільна множина, Y = ( Y , d ) - метричний простір, n = 1 , 2 , … збігається до функції (відображення) f : X → Y , що означає, що для будь-якого ε > 0 існує такий номер N ε } , що для всіх номерів n > N ε } і всіх точок x ∈ X виконується нерівність
Критерій Коші рівномірної збіжності функціонального ряду. Ознаки рівномірної збіжності. Властивості рівномірно збіжних рядів.

Степеневі ряди. Радіус збіжності і множина збіжності степеневого ряду. Теорема Коші-Адамара. Рівномірна збіжність степеневого ряду. Властивості суми степеневого ряду.

Розклад функцій в степеневі ряди Тейлора або Маклорена.

У математиці Ряд Те́йлора - представлення функції у вигляді нескінченної суми доданків, які обчислюються зі значень функцій похідних в одній точці.
Різні форми залишкового члена формули Тейлора.

Застосування степеневих рядів до наближених обчислень: обчислення логарифмів та невизначених інтегралів.

Тема 5. Функції обмеженої варіації та інтеграл Стільтьєса.

Монотонні функції та їх найпростіші властивості. Теорема про розклад монотонної функції. Функції обмеженої варіації. Означення та приклади. Властивості функції обмеженої варіації. Теорема Жордана. Інтеграл Стільтьєса. Суми Дарбу-Стільтьєса. Інтеграли Рімана-Стільтьєса. Критерій інтегровності. Класи інтегровних функцій. Властивості інтеграла Стільтьєса. Інтеграл Стільтьєса відносно функції обмеженої варіації. Теорема про граничний перехід.



Тема 6. Функції багатьох змінних. Елементи аналізу у метричних просторах. Диференціальне числення дійсних функцій від багатьох змінних.


Віддаль між векторами. Околи векторів. Границя послідовності векторів. Визначення метрики (віддалі) й метричного простору.
У топології, Жорданова крива - це довільна замкнена без самоперетинів крива в площині, інакше відома як проста замкнена крива.
Метри́чний про́стір - це пара ( X , d ), яка складається з деякої множини X елементів і відстані d , визначеної для будь-якої пари елементів цієї множини.
Властивості віддалі. Декартів добуток метричних просторів. Границя послідовності елементів метричного простору. Кулі та множини метричного простору. Повні метричні простори. Функції на метричних просторах. Границя функції у точці. Неперервні функції. Необхідна та достатня умови неперервності. Компактні множини та їх властивості. Властивості неперервних функцій на компактах. Принцип стискаючих відображень та його застосування.

Поняття функції багатьох змінних. Границя функції багатьох змінних.. Неперервність функції багатьох змінних в точці. Неперервність композиції неперервних функцій. Неперервність функції на множині. Теореми про функції, неперервні на множинах. Рівномірна неперервність. Модуль неперервності.

Частинні похідні і частинні диференціали. Диференційованість функції в точці. Диференціал функції.

Диференціювання складної функції. Інваріантність форми першого диференціала. Основні закони диференціювання.

Рівномірна неперервність в математичному і функціональному аналізі - це властивість функції бути однаково неперервною в усіх точках області визначення.
Конститу́ція (лат. constitutio - установлення, устрій, порядок) - основний державний документ (закон), який визначає державний устрій, порядок і принципи функціонування представницьких, виконавчих та судових органів влади, виборчу систему, права й обов'язки держави, суспільства та громадян.

Геометричний зміст частинних похідних і повного диференціала.

В математиці, часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних - це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.
Градієнт функції.
Градіє́нт, Ґрадіє́нт - міра зростання або спадання в просторі якоїсь фізичної величини на одиницю довжини.
Похідна за напрямом.

Похідні і диференціали вищих порядків. Формула Тейлора.

Локальні екстремуми функції багатьох змінних. Необхідні умови локального екстремуму. Достатні умови строго локального екстремуму. Опуклі функції.

Визначення умовного екстремуму. Метод Лагранжа знаходження умовного екстремуму. Найбільше та найменше значення функції в замкнутій області.

Неявні функції. Існування і диференційованість неявно заданої функції. Частинні похідні. Особливі точки поверхні і плоскої кривої.

Неявні функції, задані системою рівнянь. Існування і диференційованість неявних функцій, заданих системою рівнянь. Якобіан функцій. Частинні похідні.



Тема 7. Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли


Означення подвійного інтегралу і умови його існування. Властивості інтегрованих функцій і подвійних інтегралів. Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах.

Обчислення подвійного інтеграла в полярних координатах.

У математиці, плоска крива являє собою криву в площині, що може бути Еклідовою площиною, або проективною площиною. Найбільш часто досліджувані випадки - гладкі криві площини (включаючи частичні криві площині), і алгебраїчні криві площини.
Особлива точка - точка голоморфної функції, в якій функція не визначена, її границя нескінченна або границі не існує.
Полярна система координат - двовимірна система координат, в якій кожна точка на площині визначається двома числами - кутом та відстанню. Полярна система координат особливо корисна у випадках, коли відношення між точками найпростіше зобразити у вигляді відстаней та кутів; в більш поширеній, Декартовій, або прямокутній системі координат, такі відношення можна встановити лише шляхом застосування тригонометричних рівнянь.
Заміна змінних у подвійному інтегралі.

Потрійний інтеграл і умови його існування. Властивості інтегрованих функцій і потрійних інтегралів. Обчислення потрійних інтегралів.

Застосування кратних інтегралів для обчислення площ і об’ємів.

Криволінійні інтеграли першого роду. Визначення, властивості та обчислення.

Криволінійні інтеграли другого роду. Визначення, властивості та обчислення. Зв’язок між криволінійними інтегралами першого і другого роду.

Односторонні та двосторонні поверхні. Орієнтація поверхні. Площа поверхні та її обчислення.

Пло́ща пове́рхні - площа заданої поверхні. Грубо кажучи, є числовою характеристикою «кількості» поверхні. Вимірюється в квадратних одиницях довжини.
Поверхневі інтеграли 1-го роду, їх властивості та обчислення.

Поверхневі інтеграли другого роду. Формула Стокса і її застосування.

Теорема Стокса - одна із основних теорем диференціальної геометрії і математичного аналізу. Названа іменем ірландського фізика Джорджа Габріеля Стокса.

Формула Гауса-Остроградського. Застосування формули Гауса-Остроград-ського для обчислення поверхневих інтегралів.

Тема 8. Ряди фур’є. Інтеграл Фур’є.


Ортогональні і ортонормовані системи функцій. Тригонометрична система функцій і її властивості. Ряд Фур’є. Властивість коефіцієнтів ряду Фур’є. Інтеграл Діріхле. Принцип Локалізації.


Збіжність рядів Фур’є в точці. Ознака Діні збіжності рядів Фур’є. Підсумовування рядів методом середніх арифметичних. Сума і ядро Фейєра.

Характер збіжності рядів Фур’є. Інтегрування і диференціювання рядів Фур’є. Ряди Фур’є у випадку довільного інтервалу. Комплексна форма рядів Фур’є.

Перетворення Фур’є. Властивості перетворення Фур’є абсолютно інтегрованих функцій. Перетворення Фур’є похідних. Похідна перетворення Фур’є функції.
Тема 9. Вимірні функції і інтеграли Лебега.

Класи множин. Адитивні функції від множин. Міра та її властивості. Вимірні множини. Міра Жордана і міра Лебега на прямій та в просторі.

Міра Жордана - один із способів формалізації поняття довжини, площі і n -вимірного об'єму в n -вимірному евклідовому просторі.
Міра Лебе́га на R n ^} - міра, що є розширенням міри Жордана на ширший клас множин, була введена Лебегом в 1902 році.
Міра Лебега-Стільтьєса на прямій. Множини міри нуль. Вимірні функції та їх властивості. Еквівалентність функцій. Збіжність за мірою. Інтеграл Лебега. Інтеграл Лібега на множині скінченної міри. σ-адитивність та абсолютна неперервність інте-грала Лібега. Граничний перехід під знаком інтеграла Лібега. . Інтеграл Лібега по множині нескінченної міри. Порівняння інтеграла Лібега з інтегралом Рімана на [a, b]. Критерій інтегровності за Ріманом. Невласні інтеграли на [a, ∞) та інтеграли Лібега. Інтеграл Лібега-Стільтьєса.



КРИТЕРІЇ ОЦІНЮВАННЯ

фахового вступного випробування абітурієнтів

на освітньо-кваліфікаційний рівень – «спеціаліст»

за 200-бальною шкалою
Кожний варіант фахового вступного випробування складається з 10 завдань.
Інтегра́л Рі́мана - одне з найважливіших понять математичного аналізу, є узагальненням поняття суми, яке знаходить широке застосування в багатьох галузях математики. Був уведений Бернгардом Ріманом в 1854 році, і є однією з перших формалізацій поняття інтегралу.
Осві́тньо-кваліфікаці́йний рівень ви́щої осві́ти - характеристика вищої освіти за ознаками ступеня сформованості знань, умінь та навичок особи, що забезпечують її здатність виконувати завдання та обов'язки (роботи) певного рівня професійної діяльності.

Максимальна можлива сума набраних балів становить 200.



Мінімальна кількість балів для участі в конкурсному відборі становить 124 балів.
Нормативи оцінювання


Кількість вірних відповідей

Оцінка (кількість балів)

1-4

100-123

5

124

6

140

7

155

8

170

9

185

10

200

Література





  1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа, -М.: Наука, 1975.

  2. Валєєв К.Г. та ін. Вища математика: Навч.
    Ви́ща матема́тика - курс, що входить в навчальний план технічних та деяких інших спеціальних навчальних закладів, включає в себе аналітичну геометрію, елементи вищої алгебри, диференціальне та інтегральне числення, диференціальні рівняння.
    -метод. посібник для самост. вивч. дисц., -К.: КНЕУ, 1999.

  3. Вища математика: Підручник : У 2 - х кн. / за ред. проф. Г.Л.Кулініча / - К.: Либідь, 2003.

  4. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. - М., 1973.

  5. Дороговцев А.Я. Математичний аналіз: Підручник. У 2-х частинах.-К.: Либідь, 1994.-304 с.

  6. Дороговцев А.Я. Элементы теории меры и интеграла. - К., 1989.

  7. Задачи и упражнения по математическому анализу, под ред. Демидовича Б.П., - М.: Наука, 1968.

  8. Зорич В.А. Математический анализ, т.1,2, -М.: Наука, 1981, 1984.

  9. Ильин В.А, Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ, -М,: Наука, 1979.

  10. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.: Наука, 1968. -496 с.

  11. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т. 1, 2. –M.: Высшая школа, 1981.

  12. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Калайда А.Ф. Математический анализ. В 3 - х част. - К.: Вища школа: Головное изд-во, 1983.

  13. Никольский С.М. Курс математического анализа, т. 1, 2. –M.: Наука, 1973.

  14. Рудин У.Основы математического анализа. - М., 1982.

  15. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и інтегрального исчисления, т.1,2,3. –М.: Наука, 1969.

  16. Шилов Г.Е. Математичний аналіз: Специальний курс. . -М.: Наука, 1968. - 436с.
1   2   3



  • Тема 4. Числові та функціональні ряди.
  • Тема 7. Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли
  • Література