Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Програма для студентів спеціальності 070201 «Радіофізика І електроніка»

Скачати 258.24 Kb.

Програма для студентів спеціальності 070201 «Радіофізика І електроніка»




Скачати 258.24 Kb.
Дата конвертації19.03.2017
Розмір258.24 Kb.
ТипПрограма


Київський національний університет імені Тараса Шевченка
Факультет радіофізики, електроніки та комп’ютерних систем

кафедра математики та теоретичної радіофізики
Укладач: докт. фіз.-мат. наук, проф. Д. Д.
Радіофізика - розділ фізики, що вивчає коливально-хвильові процеси різної природи, зокрема радіохвилі, оптику, НВЧ.
Профе́сор (лат. professor - викладач, учитель) - учене звання і посада викладача вищого навчального закладу або наукового співробітника науково-дослідної установи. Офіційний статус із XVI століття (вперше в Оксфордському університеті).
 Шека

КОМПЛЕКСНИЙ АНАЛІЗ
РОБОЧА НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА
для студентів спеціальності 6.
Спеціальність (лат. specialis - особливий; від species - род, вид) - комплекс набутих людиною знань і практичних навичок, що дає їй можливість займатися певним родом занять у якійсь галузі діяльності.
070201 «Радіофізика і електроніка»

Затверджено

на засіданні кафедри



Протокол №

від " " 2014р.

Зав. кафедри
_____________ Висоцький В.І.
Висо́цький (пол. Wysocki, рос. Высоцкий) - українське, польське, російське прізвище.

Декан факультету


_____________ Анісімов І.О.

КИЇВ – 2014

Робоча навчальна програма з дисципліни «Комплексний аналіз».

Укладачі: докт. фіз.-мат. наук, проф. Д. Д. Шека
Лектори: докт. фіз.-мат. наук, проф. Д. Д. Шека
Викладачі:

докт. фіз.-мат. наук, проф. Д. Д. Шека

канд. фіз.-мат. наук, ас. І. О. Ястремський

ас. О. В. Пилиповський




Погоджено

з науково-методичною комісією

«____» ______________ 2014 р.
__________________ В. В. Обуховський

Вступ
Дисципліна «Комплексний аналіз» є базовою нормативною дисципліною для спеціальності «радіофізика і електроніка», яка викладається в ІV семестрі в обсязі 4 кредитів за Європейською Кредитно-Трансферною Системою ECTS, в тому числі: 68 години аудиторних занять (з них 34 годин лекцій, 34 години семінарських занять) і 76 години самостійної роботи. Підсумковий контроль проводиться у формі іспиту.
Мета і завдання навчальної дисципліни «Комплексний аналіз»: ознайомлення та оволодіння сучасними методами теорії функцій комплексної змінної, теоретичними положеннями та основними застосуваннями методів комплексного аналізу у сучасній теоретичній фізиці і радіофізиці.

Семінарія (від лат. seminarium - «розсадник») - навчальний заклад для підготовки християнського духівництва.
Поло́ження - нормативно-правовий або локально-правовий акт, що визначає основні правила організації та діяльності державних органів, структурних підрозділів органу, а також установ, організацій і підприємств (філій), що їм підпорядковуються, тимчасово створюваних комісій, груп, бюро і т. ін.
Євро́па (іноді Евро́па) - частина світу в Північній півкулі.
Семіна́рське заня́ття - форма навчального заняття, при якій викладач організовує дискусію навколо попередньо визначених тем, до котрих студенти готують тези виступів на підставі індивідуально виконаних завдань (рефератів).
Навча́льна дисциплі́на - згідно з визначенням в українському законодавстві: педагогічно адаптована система понять про явища, закономірності, закони, теорії, методи тощо будь-якої галузі діяльності (або сукупності різних галузей діяльності) із визначенням потрібного рівня сформованості у тих, хто навчається, певної сукупності умінь і навичок.
Компле́ксний ана́ліз, або тео́рія фу́нкції компле́ксної змі́нної (ТФКЗ) - розділ математики, що вивчає функції, які залежать від комплексної змінної. Використовується у багатьох розділах математики, зокрема у теорії чисел, прикладній математиці та фізиці.

Предмет навчальної дисципліни «Комплексний аналіз» включає методи теорії функцій комплексної змінної.
Вимоги до знань та вмінь:

Студент повинен знати: основні поняття та методи комплексного аналізу.

Студент повинен вміти: застосовувати основні поняття та методи комплексного аналізу для розв'язання фізичних задач.
Місце в структурно-логічній схемі спеціальності.

Нормативна навчальна дисципліна «Комплексний аналіз» є складовою циклу професійної підготовки фахівців освітньо-кваліфікаційного рівня «бакалавр».

Профе́сія (фах) - відокремлений («окреслений») у рамках суспільного поділу праці комплекс дій та відповідних знань, що вимагає відповідної освіти.
Ко́мпле́ксні чи́сла - розширення поля дійсних чисел, зазвичай позначається C } . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума x + i y , де x і y - дійсні числа, i - уявна одиниця.
Професі́йна підгото́вка - здобуття кваліфікації за відповідним напрямом підготовки або спеціальністю.
Дисципліна «Комплексний аналіз» базується на наступних нормативних навчальних дисциплінах: «Математичний аналіз», «Загальна алгебра», «Диференціальні рівняння». Дисципліна «Комплексний аналіз» є базовою для вивчення усіх нормативних курсів теоретичної фізики, зокрема, курсів «Теоретична механіка», «Електродинаміка», «Квантова механіка», «Статистична фізика», курсу «Математична фізика» та спеціальних курсів теоретичної радіофізики.


Система контролю знань та умови підсумкового контролю. Навчальна дисципліна «Комплексний аналіз» оцінюється за модульно-рейтинговою системою. Вона складається з трьох модулів.

Результати навчальної діяльності студентів оцінюються в кожному семестрі за 100 - бальною шкалою.



Форми поточного контролю: оцінювання домашніх самостійних завдань та контрольних робіт виконаних студентами під час практичних занять (кількість балів зазначена в табл.1).

Модульний контроль: 3 модульних контрольних робіт (кількість балів зазначена в табл.1, модульні контрольні роботи проводяться викладачем на семінарських заняттях в обсязі 4 годин).
Практика (грец. πράξις «діяльність») - доцільна і цілеспрямована діяльність, яку суб'єкт здійснює для досягнення певної мети. Практика має суспільно-історичний характер і залежить від рівня розвитку суспільства, його структури.
Студе́нт (лат. studens, родовий відмінок studentis - «ретельно працюючий», «такий, що займається») - учень вищого, у деяких країнах і середнього навчального закладу.
Оцінювання - (фр. evaluation від value ціна, вартість) оцінка, визначення ціни, вартості, визначення кількості, якості продукції, якості ресурсів, придатності тощо; аналіз даних, обстановки.
Учи́тель/вчитель (педагог)- людина, яка навчає інших людей (своїх учнів), передає їм певні знання про життя. У вузькому розумінні - спеціаліст, який проводить навчальну та виховну роботу з учнями в загальноосвітніх школах різних типів.


Підсумкова оцінка розраховується за накопичувальною системою. При цьому максимальна кількість балів встановлюється наступним чином:

  • за змістовий модуль №1 – 20 балів;
    Кількість - в Арістотелівській логіці друга з 10 категорій (класів, розрядів, які спрощують процес розумового визначення будь-якої речі), побічна обставина матеріальних речей , за допомогою якої вони поширюються в просторі, вимірюються якоюсь математичною нормою і здатні бути поділеними на окремі частини.


  • за змістовий модуль №2 – 20 балів;

  • за змістовий модуль №№ – 20 балів

  • за комплексний підсумковий контроль (іспит) – 40 балів




Максимальна кількість балів

Вид контролю

Змістовий модуль

№ 1


Змістовий модуль

№ 2


Змістовий модуль

№ 3


Комплексний підсумковий контроль

Підсумкова оцінка

за модульну контрольну роботу

10

10

10

40

100

за активність на заняттях, виконання завдань самостійної роботи

10

10

10







Всього

20

20

20

40

100

Табл.1. Система поточного та підсумкового контролю.




Склад комплексного підсумкового контролю

Максимальна кількість балів

Перше екзаменаційне питання (теоретичне)

14

Друге екзаменаційне питання (задача)

13

Третє екзаменаційне питання (задача)

13

Всього

40

Табл.2. Система комплексного підсумкового контролю (іспит).


За 100-бальною шкалою

Оцінка за національною шкалою (для заліку)

90 – 100

відмінно (5)

75 – 89

добре (4)

60 – 74

задовільно (3)

1 – 59

не задовільно (2)




Табл.3. Шкала відповідності

Якщо за результатами модульно-рейтингового контролю студент отримав за три змістовні модуля (№1, №2 та №3) та залік кількість балів, яка менше ніж 36 балів, то студент не допускається до комплексного підсумкового модуля і вважається таким, що не виконав усі види робіт, які передбачаються навчальним планом на семестр з дисципліни «Комплексний аналіз».

Результат, пі́дсумок, (заст. ску́ток, вислід) - кінцевий наслідок послідовності дій. Можливі результати містять перевагу, незручність, вигоду, збитки, цінність і перемогу. Результат є етапом діяльності, коли визначено наявність переходу якості в кількість і кількості в якість.



Навчально-тематичний план лекцій і семінарських занять



№ теми

Назва лекції (тема семінару)

Кількість годин

Лекції

Семінари

Самостійна робота

Змістовий модуль №1 «Функції комплексної змінної»

1

Комплексні числа

2

2

4

2

Функції комплексної змінної

2

2

61

3

Інтеграл від функції комплексної змінної




1

2

4

Аналітичні функції

2

3

6

5

Інтеграл від аналітичної функції

2

2

4

Модульна контрольна робота № 1




22

23




ВСЬОГО

8

12

24

Змістовий модуль №2 «Теорія лишків»

6

Аналітичні функції і степеневі ряди

2

1

4

7

Особливі точки аналітичної функції

2

1

4

8

Лишки і методи їх обрахунку

2

1

64

9

Обчислення інтегралів за допомогою лишків




2

4

10

Плоскі векторні поля і фізичний зміст аналітичної функції

4

1

5

Модульна контрольна робота № 2




22

23




ВСЬОГО

10

8

25

Змістовий модуль №3 «Конформні відображення і задача Діріхле»

11

Задача Діріхле

4

2

65

12

Конформні відображення

2

5

5

13

Відображення багатокутників

2

1

4

14

Операційне числення

2

2

4

15

Аналітична теорія диференціальних рівнянь другого порядку

4

2

4

16

Кватерніони і рівняння Максвела

2




2

Модульна контрольна робота № 3




2Error: Reference source not found

23




ВСЬОГО

16

14

27

ВСЬОГО ЗА СЕМЕСТР

34

34

76



Зміст лекцій і семінарів за темами

Змістовий модуль №1 «Функції комплексної змінної»
Тема № 1. «Комплексні числа»
Лекція № 1. Комплексні числа (2 год).

Означення комплексних чисел. Операції над комплексними числами. Способи зображення комплексних чисел: векторне зображення, матричне зображення. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел. Добування кореня з комплексного числа. Основна теорема алгебри. Невпорядкованість комплексних чисел. Послідовності комплексних чисел. Граничні точки. Нескінченно віддалена точка та компактифікація поля комплексних чисел. Стереографічна проекція. Сфера Рімана.

Компактифіка́ція - операція в загальній топології, яка перетворює довільні топологічні простори у компактні.
Сфера Рімана - ріманова поверхня, природня структура на розширеній комплексній площині C ^ = C ∪ , }}=\mathbb \cup \,} яка є комплексною проективною прямою C P 1 . \mathbb ^.}


Семінар № 1. Комплексні числа (2 год).

Комплексні числа. Операції над комплексними числами. Способи зображення комплексних чисел.


Завдання для самостійної роботи: (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.


Рекомендована література: [1, 2, 7, 8, 12].
Тема № 2. «Функції комплексної змінної»
Лекція № 2. Функції комплексної змінної (2 год).

Неперервні функції. Однозначні, багатозначні, багатолистні функції. Інтеграл від функції комплексної змінної. Похідна функції комплексної змінної.

Матеріа́л - речовина, або суміш речовин, первинний предмет праці, який використовують для виготовлення виробу (основний матеріал), або які сприяють якимось діям. У останньому випадку уточнюють, що це допоміжний, чи витратний матеріал.
Похідна́ - основне поняття диференціального числення, що характеризує швидкість зміни функції. Визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує).
Формальні похідні Коші. Аналітична функція.
Аналіти́чна фу́нкція -функція, яка збігається зі своїм рядом Тейлора в околі будь-якої точки області визначення.
Умови Коші–Рімана в декартових, полярних і довільних ортогональних координатах.


Семінар № 2. Елементарні функції комплексної змінної (2 год).
Система координат - спосіб задання точок простору за допомогою чисел. Кількість чисел, необхідних для однозначного визначення будь-якої точки простору, визначає його вимірність. Обов'язковим елементом системи координат є початок координат - точка, від якої ведеться відлік відстаней.
Ортогональність (від грец. ὀρθός - прямий, and грец. γωνία - кут) - термін, яким позначають перпендикулярність векторів.
Елемента́рні фу́нкції - клас функцій, що містить в собі степеневі функції, многочлени, показникові функції, логарифмічні функції, тригонометричні функції, обернені тригонометричні функції, а також функції, що отримуються із перелічених вище за допомогою чотирьох арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення) та композиції, застосованих скінченну кількість разів.

Вивчення властивостей основних елементарних функції комплексної змінної.


Завдання для самостійної роботи (6 год).

Вивчення матеріалів лекції, вивчення елементарних функцій комплексної змінної та їх властивостей за рекомендованою літературою, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.

Літерату́ра (від лат. litterae - буква, літера), іноді книжництво, письменство - сукупність писаних і друкованих творів певного народу, епохи, людства. Література відображає та зберігає знання й культуру народу та певного історичного періоду.


Рекомендована література: [1, 2, 7, 8, 12].

Тема № 3. «Інтеграл від функції комплексної змінної»
Семінар № 3. Інтеграл від функції комплексної змінної (1 год).

Інтеграл від функції комплексної змінної, його властивості. Обчислення інтегралу від елементарних функцій комплексної змінної.

Обчи́слення - є гілкою математики, зосередженою на функціях, похідних, інтегралах, і нескінченному ряду чисел. Цей предмет являє собою важливу частину сучасної математичної освіти. Воно складається з двох основних галузей - диференціального і інтегрального численнь, які пов'язують основні теореми обчислення.


Завдання для самостійної роботи (2 год).

Опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.


Рекомендована література: [1, 2, 7, 8, 12].
Тема № 4. «Аналітичні функції»
Лекція № 3. Аналітичні функції (2 год).

Означення та основні властивості аналітичних функцій. Геометрична інтерпретація аналітичної функції. Зміст модуля та аргументна похідної. Поняття конформного відображення


Семінар № 4.
Інтерпретатор мови програмування (interpreter) - програма чи технічні засоби, необхідні для виконання інших програм, вид транслятора, який здійснює пооператорну (покомандну, построкову) обробку, перетворення у машинні коди та виконання програми або запиту (на відміну від компілятора, який транслює у машинні коди всю програму без її виконання).
Геометричний стиль, або Геометрика - тип давньогрецького вазопису, характерний для доби кінця «темних віків в Греції» близько 900-700 років до н. е. Геометричний стиль витіснив протогеометричний стиль.
Аналітика (від грец. άναλυτικά ) - основа інтелектуальної, логіко-мисленевої діяльності, спрямованої на рішення практичних завдань. У її основі лежить не стільки принцип констатації фактів, скільки принцип «випередження подій», що дозволяє організації або індивідові прогнозувати майбутній стан об'єкту аналізу.
Конформне відображення - неперервне відображення, що зберігає кути. Більш формально, неперервне відображення області G n-вимірного евклідового простору в n-вимірний евклідовий простір називається конформним в точці z 0 ∈ G \in G} якщо воно в цій точці має властивість збереження кутів, тобто будь-яка пара неперервних кривих l 1 , l 2 ,l_} , що розташовані в G і перетинаються в точці z 0 } під кутом α . (Мають дотичні в точці z 0 } , що утворюють між собою кут α ), при даному відображенні переходить в пару неперервних кривих L 1 , L 2 , ,L_,} що перетинаються в точці w 0 = f ( z 0 ) =f(z_)} під тим же кутом α . Неперервне відображення області G називається конформним, якщо воно є конформним в кожній точці цієї області.
Умови Коші–Рімана
(2 год).

Умови Коші–Рімана. Геометричний зміст аналітичності.


Семінар № 5. Гармонічні функції (1 год).

Знаходження аналітичної функції за її дійсною чи уявною частинами, або за її модулем чи аргументом.


Завдання для самостійної роботи (6 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.


Рекомендована література: [1, 2, 7, 8, 12].
Тема № 5. «Інтеграл від аналітичної функції»
Лекція № 4. Інтеграл від аналітичної функції (2 год).

Інтеграл від аналітичної функції в однозв'язній та багатозв'язній області. Інтегральна формула Коші. Теорема про середнє значення. Теорема про максимум модуля. Формула Коші для похідної аналітичної функції. Оцінки модуля похідної аналітичної функції. Нескінченна диференційовність аналітичної функції. Три означення аналітичної функції. Теорема Ліувілля. Теорема Морера.


Семінар № 6. Інтегральна формула Коші (2 год).

Обчислення контурних інтегралів за допомогою інтегральної формули Коші.


Завдання для самостійної роботи (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.


Рекомендована література: [1, 2, 7, 8, 12].
Контрольні запитання


  1. Комплексні числа. Означення, модуль та аргумент комплексного числа. Зображення комплексних чисел. Тригонометрична та показникова форми комплексного числа. Приклад.

  2. Основні операції над комплексними числами та поле комплексних чисел. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел.

  3. Невпорядкованість комплексних чисел.

  4. Послідовності комплексних чисел. Граничні точки.

  5. Нескінченно віддалена точка та компактифікація поля комплексних чисел. Стереографічна проекція. Сфера Рімана.

  6. Функція комплексної змінної. Означення, однозначні, багатозначні, багатолистні функції. Аналітичні функції. Приклади.

  7. Функція комплексної змінної. Неперервні функції.
    Непере́рвна фу́нкція - одне з основних понять математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі.
    Інтеграл від функції комплексної змінної. Інтеграл від аналітичної функції по замкненому контуру.

  8. Похідна функції комплексної змінної. Формальні похідні Коші. Аналітична функція. Умови Коші-Рімана.

  9. Умови Коші-Рімана в декартових, полярних і довільних ортогональних координатах.

  10. Аналітичні функції. Означення та основні властивості аналітичних функцій. Приклад.

  11. Геометрічна інтерпретація аналітичної функції. Зміст модуля та аргумента похідної. Поняття конформного відображення. Приклад.

  12. Інтеграл вздовж замкненого контура від аналітичної функції в однозв'язній та багатозв'язній області.

  13. Інтегральна формула Коші. Теорема про середнє значення. Теорема про максимум модуля.

  14. Формула Коші для похідної аналітичної функції. Оцінки модуля похідної аналітичної функції. Нескінченна диференційовність аналітичної функції.

  15. Три означення аналітичної функції. Теорема Ліувілля. Теорема Морера.


Модульна контрольна робота № 1 (2 год).

Контрольна робота СРС (2 год).

Змістовий модуль №2 «Теорія лишків»
Тема № 6. «Аналітичні функції і степеневі ряди»
Лекція № 5. Представлення аналітичної функції степеневим рядом (2 год).

Нулі аналітичної функції. Єдиність завдання аналітичної функції. Аналітичне продовження. Представлення рядом Лорана однозначної функції, що аналітична в кільці.


Семінар № 7 Ряд Лорана (1 год).

Розклад функцій, що є аналітичними у кільці в ряд Лорана. Область збіжності ряду Лорана.


Завдання для самостійної роботи (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.


Рекомендована література: [1, 2, 7, 8, 12].
Тема № 7. «Особливі точки аналітичної функції»
Лекція № 6. Класифікація особливих точок (2 год).

Класифікація особливих точок однозначних аналітичних функцій. Цілі функції. Мероморфні функціЇ. Поведінка однозначної аналітичної функції в околі в околі полюса та суттєво особливої точки.

Поведі́нка - родовий термін, який охоплює різні реакції живого організму чи групи організмів.


Семінар № 7. Особливі точки (1 год).

Дослідження особливих точок аналітичних функцій.


Завдання для самостійної роботи (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.


Рекомендована література: [1, 2, 7, 8, 12].

Тема № 8. «Лишки і методи їх обрахунку»
Лекція № 7. Теорія лишків (2 год).

Означення лишка. Методи обрахунку лишка однозначної аналітичної функції. Обчислення лишка в полюсі. Лишок в нескінченно віддаленій точці. Основна теорема теорії лишків. Обчислення контурних інтегралів. Обчислення невласних інтегралів дійсного аналізу за допомогою теорії лишків


Семінар № 8. Обчислення лишків (1 год).

Обчислення лишків в однозначних особливих точках аналітичних функцій.


Завдання для самостійної роботи (6 год).

Вивчення матеріалів лекції, вивчення тем: логарифмічний лишок, принцип аргументу, підрахунок кількості нулів аналітичної функції за рекомендованою літературою, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.

Логари́фм (від грец. λόγος - «слово», «відношення» і грец. ἀριθμός - «число») - математична операція, обернена піднесенню до степеня.


Рекомендована література: [1, 2, 7, 8, 12].

Тема № 9. «Обчислення інтегралів за допомогою лишків»
Семінар № 9. Обчислення найпростіших інтегралів (2 год).

Обчислення інтегралів уздовж замкнених контурах за допомогою лишків. Обчислення визначених інтегралів, що містять раціональні функції від тригонометричних функцій.

Раціональність (від лат. Ratio - розум) - термін у найширшому сенсі означає розумність, свідомість, протилежність ірраціональності. У більш вузкому значенні - характеристика знання з точки зору його відповідності деяким принципам мислення.
Тригономе́трія (від грец. τρίγονο - трикутник та μετρειν - вимірюю, тобто буквально вимірювання трикутників) - розділ елементарної математики, що лежить на перетині алгебри та геометрії і вивчає співвідношення між сторонами й кутами трикутників, дозволяючи проводити кутові обчислення через спеціально визначені функції кутів.
Інтеграл - центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі.
Раціональна функція однієї змінної - це алгебраїчний вираз, що є відношенням двох многочленів, тобто має вигляд
Тригонометри́чні фу́нкції - це функції кута. Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін та кута трикутника або як відношення координат точок кола.


Семінар № 10. Обчислення невласних інтегралів (1 год).

Обчислення невласних інтегралів за допомогою теорії лишків.


Завдання для самостійної роботи (4 год).

Опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.


Рекомендована література: [1, 2, 7, 8, 12].

Тема № 10. «Плоскі векторні поля і фізичний зміст аналітичної функції»
Лекція № 8. Плоскі векторні поля (2 год).

Потенціальні та соленоідальні поля. Комплексний потенціал. Побудува еквіпотенціалней та силових ліній плоского векторного поля за комплексним потенціалом.

Ве́кторне по́ле - векторнозначна функція, відображення, яке кожній точці даного простору ставить у відповідність вектор. У сучасній диференціальній геометрії розглядається також узагальнення на довільні многовиди (гляньте векторне розшарування).
Силова́ лі́нія векторного поля - це уявна лінія в просторі, дотична до якої в будь-якій точці збігається з напрямком поля в цій точці.
Аналітична функція як комплексний потенціал. Критичні та особливі точки та їх фізична інтерпретація


Лекція № 9. Фізичний зміст аналітичної функції (2 год).

Розрахунок підйомної сили крила літака.

Крило́ літака́ - тримальна поверхня, несиметрично обтічний профіль для створення аеродинамічної підйомної сили перпендикулярно до вектора руху літального апарату, що забезпечує політ літака. Крило бере участь у забезпеченні поперечної стійкості й керованості літака.
Формула Жуковського. Електростатичне поле на краю плоского конденсатора. Конденсатор Роговського.


Семінар № 10. Плоскі векторні поля (1 год).

Побудова еквіпотенціалей та силових ліній плоского векторного поля за комплексним потенціалом. Електростатичне поле на краю плоского конденсатора. Конденсатор Роговського.


Завдання для самостійної роботи (5 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.


Рекомендована література: [1, 2, 8].

Контрольні запитання


  1. Представлення аналітичної функції степеневим рядом. Нулі аналітичної функції. Єдиність завдання аналітичної функції. Аналітичне продовження. Приклади.

  2. Представлення рядом Лорана однозначної функції, що аналітична в кільці.

  3. Класифікація особливих точок однозначних аналітичних функцій. Цілі функції. Мероморфні функціЇ.

  4. Класифікація особливих точок однозначної аналітичної функції. Поведінка однозначної аналітичної функції в околі в околі полюса та суттєво особливої точки. Приклад.

  5. Означення лишка. Методи обрахунку лишка однозначної аналітичної функції. Обчислення лишка в полюсі. Лишок в нескінченно віддаленій точці.

  6. Основна теорема теорії лишків. Обчислення контурних інтегралів. Приклад.

  7. Обчислення невласних інтегралів дійсного аналізу за допомогою теорії лишків. Приклад.

  8. Логарифмічний лишок. Основна теорема алгебри.

  9. Плоскі векторні поля. Потенціальні та соленоідальні поля. Комплексний потенціал. Побудова еквіпотенціалей та силових ліній плоского векторного поля за комплексним потенціалом.

  10. Аналітична функція як комплексний потенціал. Критичні та особливі точки та їх фізична інтерпретація. Приклад

  11. Фізичний зміст аналітичної функції. Розрахунок підйомної сили крила літака. Формула Жуковського. Електростатичне поле на краю плоского конденсатора. Конденсатор Роговського.


Модульна контрольна робота № 2 (2 год).

Контрольна робота СРС (2 год).

Змістовий модуль №3 «Конформні відображення і задача Діріхле»
Тема № 11. «Задача Діріхле»
Лекція № 10. Задача Діріхле (2 год).

Розв'язання задачі Діріхле за допомогою функції Гріна. Функція Гріна задачі Діріхле. Означення, фізичний зміст. Формула Гріна.


Лекція № 11. Функція Гріна (2 год).

Побудова функції Гріна для півплощини та круга. Розв'язання задачі Діріхле для круга. Формула Пуассона. Розв'язання задачі Діріхле для півплощини. Формула Шварца.


Семінар № 11. Функція Гріна (2 год).

Побудова функцій Гріна задачі Діріхле для елементарних областей.


Завдання для самостійної роботи (6 год).

Вивчення матеріалів лекції, вивчення тем: гармонічні функції, аналітичні та спряжені гармонічні функції, побудова гармонічної функції за спряженою, інваріантність оператора Лапласа відносно конформних відображень, .

Опера́тор Лапла́са - дія над скалярним або векторним полем, що визначається, як сума других часткових похідних по кожній декартовій координаті. Позначається Δ або ∇ 2 } .
опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.


Рекомендована література: [1, 2, 7, 8, 12].
Тема № 12. «Конформні відображення»
Лекція № 12. Основна задача теорії конформних відображень (2 год).

Формулювання основної задачі теорії конформних відображень. Теорема Рімана. Нормування конформного відображення.


Семінар № 12. Дробово-лінійні відображення (2 год).

Дослідження конформних відображень дробово-лінійними функціями.


Семінар № 13. Конформні відображення елементарними функціями (2 год).

Дослідження конформних відображень елементарними функціями.


Семінар № 14. Конформні відображення елементарних областей (1 год).

Дослідження конформних відображень елементарних областей.


Завдання для самостійної роботи (5 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.


Рекомендована література: [1, 2, 7, 8, 12].

Тема № 13. «Відображення багатокутників»
Лекція № 13. Відображення багатокутників (2 год).
Многоку́тник[К 1] (багатоку́тник, поліго́н) - геометрична фігура, замкнена ламана (сама, або разом із точками, що лежать усередині). Вершини цієї ламаної називають вершинами многокутника, а відрізки ламаної - сторонами многокутника.

Відображення багатокутників. Інтеграл Шварца-Христоффеля. Конформне відображенні комплексної півплощини в півплощину та круг.


Семінар № 15. Відображення Шварца-Христоффеля (1 год).

Відображення Шварца-Христоффеля для трикутника і прямокутника


Завдання для самостійної роботи (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.


Рекомендована література: [1, 2, 3, 7, 12].

Тема № 14. «Операційне числення»
Лекція № 14. Перетворення Лапласа (2 год).
Прямоку́тник - це чотирикутник, усі кути якого прямі. Протилежні сторони прямокутника рівні. Є окремим випадком паралелограма.
Перетворення Лапла́са - інтегральне перетворення, що зв'язує функцію F ( s ) комплексної змінної (зображення) з функцією f ( x ) дійсної змінної (оригінал). З його допомогою досліджуються властивості динамічних систем і розв'язуються диференціальні і інтегральні рівняння.

Перетворення Лапласа. Основні властивості. Операційний метод і його застосування до розв'язування лінійних інтегральних рівнянь.


Семінар № 16. Перетворення Лапласа (2 год).

Перетворення Лапласа. Операційне числення.


Завдання для самостійної роботи (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.


Рекомендована література: [1, 2, 3, 7, 12].
Тема № 15. «Аналітична теорія диференціальних рівнянь другого порядку»
Лекція № 15.
Інтегральне рівняння - рівняння, яке містить невідому функцію під знаком інтеграла, наприклад,
Диференціа́льні рівня́ння - рівняння, що встановлює залежність між незалежними змінними, числами (параметрами), невідомими функціями та їх похідними. Невідома функція може бути як скалярною, так і векторною.
Звичайні та особливі точки
(2 год).

Аналітична теорія диференціальних рівнянь другого порядку. Звичайні та особливі точки.


Лекція № 16. Матриця монохромії (2 год).

Аналітична теорія диференціальних рівнянь другого порядку. Поведінка розв'язка диференціального рівняння в околі звичайної та особливої точки. Матриця монохромії.


Семінар № 17. Звичайні та особливі точки (2 год).

Аналітична теорія диференціальних рівнянь другого порядку. Звичайні та особливі точки.


Завдання для самостійної роботи (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.


Рекомендована література: [3].
Тема № 16. «Кватерніони і рівняння Максвела»
Лекція № 17. Кватерніони (2 год).

Кватерніони і операції з ними. Алгебра кватерніонів. Фізичне застосування — рівняння Максвела.

Кватерніо́н - гіперкомплексне число, яке реалізується в 4-вимірному просторі. Вперше описане В. Р. Гамільтоном у 1843 році.
Рівня́ння Ма́ксвелла - це основні рівняння класичної електродинаміки, які описують електричне та магнітне поле, створене зарядами й струмами.


Завдання для самостійної роботи (2 год).

Вивчення матеріалів лекції — 2 год.


Рекомендована література: [1, 10].

Контрольні запитання


  1. Гармонічні функції. Аналітичні та спряжені гармонічні функції. Побудова гармонічної функції за спряженою. Приклад.

  2. Інваріантність оператора Лапласа відносно конформних відображень.

  3. Задача Діріхле. Розв'язання задачі Діріхле за допомогою функції Гріна. Приклади.

  4. Функція Гріна задачі Діріхле. Означення, фізичний зміст. Формула Гріна.

  5. Означення та фізичний зміст функції Гріна. Побудова функції Гріна для півплощини та круга. Фізичний зміст.

  6. Розв'язання задачі Діріхле для круга. Формула Пуассона. Приклад.

  7. Розв'язання задачі Діріхле для півплощини. Формула Шварца. Приклади.

  8. Основна задача теорії конформних відображень. Теорема Рімана. Нормування конформного відображення. Відображення багатокутників. Інтеграл Крістофеля-Шварца. Приклад.

  9. Конформне відображенні комплексної півплощини в півплощину та круг.

  10. Перетворення Лапласа. Основні властивості. Приклад.

  11. Операційний метод і його застосування до розв'язування лінійних інтегральних рівнянь типу згортки. Приклад.

  12. Операційний метод і його застосування до розв'язування звичайних диференціальних рівнянь.

  13. Аналітична теорія диференціальних рівнянь другого порядку. Звичайні та особливі точки. Поведінка розв'язка диференціального рівняння в околі звичайної та особливої точки. Матриця монодромії.

  14. Кватерніони і операції з ними. Алгебра кватерніонів. Фізичне застосування — рівняння Максвела.


Модульна контрольна робота № 3 (2 год).

Контрольна робота СРС (2 год).


Організація самостійної роботи студентів
Перелік питань змістових модулів, винесених на самостійну роботу:


  1. Змістовий модуль № 1, тема № 2.

Тема: «Елементарні функції комплексної змінної та їх властивості».

План:


    1. Функції і [1, п.6, стор. 23-27];

    2. Функція Жуковського [1, п.7, стор. 27-30];

    3. Показникова функція і логарифм [1, п.8, стор. 30-34];

    4. Тригонометричні і гіперболічні функції [1, п.9, стор. 34-39];

    5. Узагальнена степенева функція [1, п.
      Гіперболі́чні фу́нкції - сімейство елементарних функцій, які виражаються через експоненту і тісно пов'язанні з тригонометричними функціями.
      Степене́ва функція - функція вигляду f ( x ) = x a \!\ } , де a - дійсне число.
      10, стор. 39-40].




  1. Змістовий модуль № 2, тема № 8.

Тема: «Логарифмічний лишок».

План:


    1. Означення логарифмічного лишка [2, § 3.1, стор. 143-144];

    2. Принцип аргументу. Підрахунок кількості нулів аналітичної функції. Теорема Руше [1, п.75, стор. 424-425] ; [2, § 3.2, стор. 145-147].




  1. Змістовий модуль № 3, тема № 11.

Тема: «Гармонічні функції».

План:


    1. Означення та властивості гармонічних функцій; побудова гармонічної функції за спряженою [1, п.41, п.42, стор. 186-200], [2, § 7.1, стор. 184-185];

    2. Інваріантність оператора Лапласа відносно конформних відображень [2, §7.2, стор. 185-187].

Перелік питань, які виносяться на іспит


  1. Комплексні числа. Означення, модуль та аргумент комплексного числа. Зображення комплексних чисел. Тригонометрична та показникова форми комплексного числа. Приклад.

  2. Основні операції над комплексними числами та поле комплексних чисел. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел.

  3. Невпорядкованість комплексних чисел.

  4. Послідовності комплексних чисел. Граничні точки.

  5. Нескінченно віддалена точка та компактифікація поля комплексних чисел. Стереографічна проекція. Сфера Рімана.

  6. Функція комплексної змінної. Означення, однозначні, багатозначні, багатолистні функції. Аналітичні функції. Приклади.

  7. Функція комплексної змінної. Неперервні функції. Інтеграл від функції комплексної змінної. Інтеграл від аналітичної функції по замкненому контуру.

  8. Похідна функції комплексної змінної. Формальні похідні Коші. Аналітична функція. Умови Коші-Рімана.

  9. Умови Коші-Рімана в декартових, полярних і довільних ортогональних координатах.

  10. Аналітичні функції. Означення та основні властивості аналітичних функцій. Приклад.

  11. Геометрична інтерпретація аналітичної функції. Зміст модуля та аргумента похідної. Поняття конформного відображення. Приклад.

  12. Інтеграл вздовж замкненого контуру від аналітичної функції в однозв'язній та багатозв’язній області.

  13. Інтегральна формула Коші. Теорема про середнє значення. Теорема про максимум модуля.

  14. Формула Коші для похідної аналітичної функції. Оцінки модуля похідної аналітичної функції. Нескінченна диференційовність аналітичної функції.

  15. Три означення аналітичної функції. Теорема Ліувілля. Теорема Морера.

  16. Представлення аналітичної функції степеневим рядом. Нулі аналітичної функції. Єдиність завдання аналітичної функції. Аналітичне продовження. Приклади.

  17. Представлення рядом Лорана однозначної функції, що аналітична в кільці.

  18. Класифікація особливих точок однозначних аналітичних функцій. Цілі функції. Мероморфні функції.

  19. Класифікація особливих точок однозначної аналітичної функції. Поведінка однозначної аналітичної функції в околі в околі полюса та суттєво особливої точки. Приклад.

  20. Означення лишка. Методи обрахунку лишка однозначної аналітичної функції. Обчислення лишка в полюсі. Лишок в нескінченно віддаленій точці.

  21. Основна теорема теорії лишків. Обчислення контурних інтегралів. Приклад.

  22. Обчислення невласних інтегралів дійсного аналізу за допомогою теорії лишків. Приклад.

  23. Логарифмічний лишок. Основна теорема алгебри.

  24. Плоскі векторні поля. Потенціальні та соленоідальні поля. Комплексний потенціал. Побудова еквіпотенціалней та силових ліній плоского векторного поля за комплексним потенціалом.

  25. Аналітична функція як комплексний потенціал. Критичні та особливі точки та їх фізична інтерпретація. Приклад

  26. Фізичний зміст аналітичної функції. Розрахунок підйомної сили крила літака. Формула Жуковського. Електростатичне поле на краю плоского конденсатора. Конденсатор Роговського.

  27. Гармонічні функції. Аналітичні та спряжені гармонічні функції. Побудова гармонічної функції за спряженою. Приклад.

  28. Інваріантність оператора Лапласа відносно конформних відображень.

  29. Задача Діріхле. Розв'язання задачі Діріхле за допомогою функції Гріна. Приклади.

  30. Функція Гріна задачі Діріхле. Означення, фізичний зміст. Формула Гріна.

  31. Означення та фізичний зміст функції Гріна. Побудова функції Гріна для півплощини та круга. Фізичний зміст.

  32. Розв'язання задачі Діріхле для круга. Формула Пуассона. Приклад.

  33. Розв'язання задачі Діріхле для півплощини. Формула Шварца. Приклади.

  34. Основна задача теорії конформних відображень. Теорема Рімана. Нормування конформного відображення. Відображення багатокутників. Інтеграл Крістофеля-Шварца. Приклад.

  35. Конформне відображенні комплексної півплощини в півплощину та круг.

  36. Перетворення Лапласа. Основні властивості. Приклад.

  37. Операційний метод і його застосування до розв'язування лінійних інтегральних рівнянь типу згортки. Приклад.

  38. Операційний метод і його застосування до розв'язування звичайних диференціальних рівнянь.

  39. Аналітична теорія диференціальних рівнянь другого порядку. Звичайні та особливі точки. Поведінка розв'язка диференціального рівняння в околі звичайної та особливої точки. Матриця монодромії.

  40. Кватерніони і операції з ними. Алгебра кватерніонів. Фізичне застосування — рівняння Максвела.

Перелік джерел інформації
а) основна література:


  1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М: Наука. 1987. - 688 с.

  2. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. - М: Наука. 1979. - 320 с.

  3. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. - М: Наука. 1982. - 488 с.

  4. Евграфов М.А., Бежанов К.А., Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Сборник задач по теории аналитических функций. - М: Наука. 1972. 416 с.

  5. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. - М: Наука. 1970. 320 с.


б) додаткова література


  1. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. - М: Наука. 1984. 320 с.

  2. Евграфов М.А. Аналитические функции. - М: Наука. 1968. 472 с.

  3. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. - М: Наука. 1999. - 432 с.

  4. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. - М: Наука. 1968. 648 с.

  5. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. ч. 1,2. - М: Наука. 1976.

  6. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. - М.- Л.: ГИТТЛ. 1950. 436 с.

  7. Бейтман Г., Ердейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.1 М.: Н. – 1973.


б) джерела іnternet


  1. Білоколос Є.Д., Шека Д.Д., Збірник задач з комплексного аналізу. - К: 2004. (http://matphys.rpd.unіv.kіev.ua/downloads/publ/complan_problems.pdf)

1 Підтему «Елементарні функції комплексної змінної та їх властивості» винесено на самостійне опрацювання.

2 Модульна контрольна робота проводиться викладачем на практичному занятті в обсязі 2 год.

3 Контрольна робота проводиться викладачем під час керівництва самостійною роботи студентів в обсязі 2 год.
Керівн́ицтво - (адміністрування, розпорядництво) є однією з функцій управління, а в умовах командно-адміністративної системи саме тією функцією, що разом з контролем включила в себе всі інші функції.


4 Підтему «Логарифмічний лишок» винесено на самостійне опрацювання.

5 Підтему «Гармонічні функції» винесено на самостійне опрацювання.



Скачати 258.24 Kb.