Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Програма кандидатського іспиту зі спеціальності 01. 01. 07 Обчислювальна математика Київ 1999 Функціональний аналіз

Програма кандидатського іспиту зі спеціальності 01. 01. 07 Обчислювальна математика Київ 1999 Функціональний аналіз




Дата конвертації24.05.2017
Розмір46.4 Kb.
ТипПрограма

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

ПРОГРАМА


Кандидатського іспиту зі спеціальності

01.01.07 – Обчислювальна математика

Київ 1999
Функціональний аналіз



  1. Метричні , нормовані , Гілбертові простори .
    Обчи́слювальна матема́тика - розділ математики, що включає коло питань, зв'язаних з виконанням наближених обчислень. У більш вузькому розумінні, обчислювальна математика - теорія чисельних методів розв'язування типових математичних задач.

Метричні простори. Повнота. Неперервні відображення.

Непере́рвна фу́нкція - одне з основних понять математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі.
Компактні множини. Принципи стискаючих відображень, метод послідовних наближень та їх застосування. Лінійні, нормовані, бананові та Гілбертові простори. Сильна та слабка збіжність. Задача про найкраще наближення. Найкраще рівномірне наближення. Мінімальна властивість коефіцієнтів Фур’є.




  1. Лінійні функціонали та оператори .

Неперервні лінійні оператори.

Лінійним відображенням (лінійним оператором, лінійним перетворенням) - називається відображення векторного простору V над полем K в векторний простір W (над тим же полем K )
Норма і спектральний радіус оператора. Збіжність операторів. Оборотність. Ряд Неймана та умови його збіжності. Теореми про існування оберненого оператора. Міра обумовленості лінійного оператора та її використання при заміні точного рівняння ( розв’язку) наближеним. Лінійні функціонали. Спряжений простір. Принцип рівномірної обмеженості, теорема Банаха - Штейнгауза та її застосування . Теорема Ріска (для гільбертового простору) . Спектр оператора. Спряжені, самоспряжені, симетричні, додатково визначені, цілком неперервні оператори та їх спектральні властивості.
Спряжений простір - простір лінійних функціоналів на даному лінійному просторі.
Спектр оператора - множина чисел, що характеризує лінійний оператор. Використовується в лінійній алгебрі, функціональному аналізі та квантовій механіці.
Лінійна форма або лінійний функціонал (ковектор) - лінійне відображення даного векторного простору в поле скалярів, над яким визначено даний простір. Також поняття можна ввести для модулів над кільцями.
Гі́льбертів про́стір (на честь Давида Гільберта) - це узагальнення поняття евклідового простору на нескінченновимірний випадок. Є лінійним простором над полем дійсних або комплексних чисел (прийменник «над» означає, що у такому просторі дозволені операції множення на скаляри із відповідних полів), із визначеним скалярним добутком.
Цілкóм неперéрвний оперáтор - оператор, що відображає банахів простір в себе, називається цілком неперервним, якщо він кожну обмежену множину переводить у відносно компактну.
Абстрактна варіаційна задача. Теорема Лакса – Мільграма –Вишика. Апроксимація Гальоркіна та їх збіжність. Варіаційні методи мінімізації квадратичних функціоналів, розв’язування рівнянь і знаходження власних значень ( методи Рітца, Бубнова – Гальоркіна, найменших квадратів).
Вла́сний ве́ктор (англ. eigenvector) квадратної матриці A (з вла́сним зна́ченням (англ. eigenvalue) λ ) - це ненульовий вектор v , для якого виконується співвідношення
Метод Рітца - прямий метод знаходження приблизного розв'язку крайових задач варіаційного числення. Метод названий на честь Вальтера Рітца, який запропонував його в 1909.
Варіаційний метод - непертурбативний метод наближеного розв'язку складної математичної задачі шляхом її зведення до задачі знаходження мінімума певного функціоналу. Зазвичай варіаційний метод використовується в квантовій механіці для наближеного розв'язку рівняння Шредінгера та оцінки енергії основного стану й деяких збуджених станів, та ґрунтується на варіаційному принципі.
Диференціювання нелінійних операторів, похідні Фреше і Гато. Метод Ньютона, його збіжність та застосування. Теореми Фредгольма для рівнянь з цілком неперервним оператором. Теорема Гілберта – Шмідта.


3. Простори функцій С, Сk, L2, Lp, l2,W,
Узагальнена похідна. Нерівності Пуанкаре – Стеклова – Фрідріхсе. Поняття про теореми вкладання. Простори узагальнених функцій .
Задачі математичної фізики
Математичні моделі фізичних задач, які приводяться до рівнянь математичної фізики;
Узагальнена фу́нкція або розподіл - математичне поняття, що узагальнює класичне поняття функції. Потреба в такому узагальненні виникає в багатьох фізичних, технічних і математичних задачах.
Математична фізика - загальна назва математичних методів дослідження і розв'язання диференціальних рівнянь, які виникають, зокрема, в фізиці. Теорія математичних моделей фізичних явищ; займає особливе положення і у математиці, і у фізиці, перебуваючи на стику цих наук.
Диференціальне рівняння з частинними похідними (також відоме як рівняння математичної фізики) - диференціальне рівняння, що містить невідомі функції декількох змінних і їхні частинні похідні.
основні рівняння математичної фізики, постановки задач. Коректно та некоректно поставлені задачі.

Узагальнений розв’язок крайових задач і задач на власні значення для еліптичних рівнянь у самоспряженій формі. Варіаційні властивості власних значень. Основні властивості гармонійних функцій ( формули Гріна, теореми про середнє, принцип максимуму). Фундаментальний розв’язок і функція Гріна для рівняння Лапласа.

Крайова задача - задача теорії диференціальних рівнянь, в якій граничні умови задаються в різних точках. Наприклад, при коливаннях струни із закріпленеми кінцями зміщення на кожному з кінців дорівнює нулю.
Рівня́ння Лапла́са - однорідне лінійне рівняння в часткових похідних другого порядку еліптичного типу.
Варіаційні методи розв’язування крайових задач (Рітца, Гальоркіна, найменших квадратів ).

Задача Коші для рівняння теплопровідності та рівняння коливань ( в одновимірному та багатовимірному випадках). Фундаментальні розв’язки. Характеристики. Поняття про узагальнені розв’язки. Узагальнені розв’язки змішаних задач з однорідними крайовими умовами для рівнянь параболічного та гіперболічного типів; існування, єдність та неперервна залежність. Метод Фур’є. Метод Гальоркіна .
Чисельні методи.

1. Чисельні методи алгебри

Прямі та інтеграційні методи розв’язування систем лінійних рівнянь з повними матрицями та матрицями спеціального виду.

Метод Гальоркіна - чисельний метод розв'язання диференціальних рівнянь з граничними умовами. Диференціальні рівняння з граничними умовами у математичній фізиці називаються задачею математичної фізики.
Рівня́ння теплопрові́дності - рівняння, що визначає закон зміни температури з часом при теплопередачі через теплопровідність.
Лінійне рівняння - рівняння, обидві частини якого визначаються лінійними функціями. Найпростіший випадок має вигляд
Чи́сельні ме́тоди - методи наближеного або точного розв'язування задач чистої або прикладної математики, які ґрунтуються на побудові послідовності дій над скінченною множиною чисел. Основні вимоги до чисельних методів, щоб вони були стійкими та збіжними.
Одно крокові ітераційні методи. Чебишевські одно крокові ітераційні методи. Оптимальний набір чебишевських параметрів та обчислювальна стійкість. Тричленні (однокрокові) чебишевські ітераційні методи. Методи спряжених градієнтів розв’язування лінійних систем і спектральних задач. Застосування методів регуляризації, мінімізації згладжую чого функціоналу та ітераційних методів до розв’язування вироджених, несумісних та погано обумовлених систем лінійних алгебраїчних рівнянь та інтегральних рівнянь 1-го роду.
Інтегральне рівняння - рівняння, яке містить невідому функцію під знаком інтеграла, наприклад,


2. Наближення функцій.
Загальні властивості ортогональних систем многочленів. Многочлени Лежандра і Чебишева; їх властивості та застосування. Кусково-визначені апроксимації функцій методу скінчених елементів, їх властивості та застосування. Швидке дискретне перетворення Фур’є та його застосування в теорії наближень та методах розв’язування задач математичної фізики, інтерполяція сплайнами. Методи спуску для пошуку екстремуму функціоналів .
3.Чисельне інтегрування.
Задача оптимізації квадратури. Квадратурні формули типу Гауса. Квадратурні формули з випадковими вузлами. Багатовимірні інтерполяційні, симетричні квадратурні формули.

Інтегрування сильно осцилюючих функцій. Інтеграли з верхньою змінною границею і методи їх обчислення.


4.Методи розв’язування звичайних диференціальних та інтегральних рівнянь
Чисельні методи розв’язування задачі Коші і крайових задач.
Задача Коші - одна з основних задач теорії диференціальних рівнянь - полягає в пошуку розв'язку (інтеграла) диференціального рівняння, що задовольняє початковим умовам (початковим даним).
Оцінка похибки, збіжність та стійкість. Методи прогонки. Однорідні різницеві схеми. Поняття про жорсткі системи рівнянь та методи їх розв’язування. Чисельні методи розв’язування інтегральних рівнянь першого та другого роду.
5.Різницеві та варіаційно-різницеві методи розв’язування рівнянь математичної фізики
Основні поняття (апроксимація, збіжність, стійкість). Методи побудови різницевих схем (метод сіток, інтегро - інтерполяційний метод, метод апроксимації інтегральних тотожностей); їх застосування до розв’язування крайових задач для еліптичних, параболічних та гіперболічних рівнянь. Оцінка порядку точності. Дивергентні, консервативні різницеві схеми. Двошарові та трьохшарові схеми; їх стійкість. Методи побудови проекційно-сіткових схем (метод скінчених елементів, метод зважених залишків), їх застосування до розв’язування крайових задач математичної фізики. Побудова енергетичних апріорних оцінок; стійкість та збіжність. Методи розщеплення багатовимірних нестаціонарних задач . Поняття про економічні методи розв’язування багатовимірних задач. Нелінійні рівняння (теплопровідності та газодинаміки ).
6. Методи розв’язування різницевих рівнянь
Прямі методи (методи прогонки, швидке перетворення Фур’є, циклічної редукції). Метод послідовної верхньої релаксації, неявні схеми з еквівалентними за спектром операторами, позмінно-трикутний метод, метод спряжених градієнтів . Метод розщеплення та змінних напрямків. Оцінка збіжності.
7. Чисельні методи математичного програмування
Методи мінімізації функцій без обмежень (градієнтні методи, методи ньютонівського типу, метод спряжених градієнтів). Мінімізація функцій з обмеженнями. Задача лінійного програмування, симплекс-метод.
Математи́чне програмува́ння - це прикладна математична дисципліна, яка досліджує екстремум функції (задачі пошуку максимуму або мінімуму) і розробляє методи їх розв'язання. Такі задачі ще називають оптимізаційними.
Лінійне програмування або лінійна оптимізація (LP, англ. Linear Programming) - метод досягнення найліпшого виходу (такого як найбільший прибуток або найменша вартість) у математичній моделі чиї вимоги представлені через лінійні відношення.
Нелінійні задачі (метод проекції градієнта, метод штрафних функцій та ін.)



  • Лінійні функціонали . Спряжений простір
  • Спектр оператора
  • Варіаційні методи
  • Метод Гальоркіна . Чисельні методи. 1. Чисельні методи
  • Задача лінійного програмування