Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Програма комплексного фахового випробування для вступу на освітньо-професійну програму підготовки магістра/спеціаліста по спеціальності 8 04020101 «Математика» для випускників окр бакалавр 040201 «Математика»

Скачати 132.89 Kb.

Програма комплексного фахового випробування для вступу на освітньо-професійну програму підготовки магістра/спеціаліста по спеціальності 8 04020101 «Математика» для випускників окр бакалавр 040201 «Математика»




Скачати 132.89 Kb.
Дата конвертації19.04.2017
Розмір132.89 Kb.
ТипПротокол

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ
«КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»

ЗАТВЕРДЖЕНО РАДОЮ

фізико-математичного факультету

Протокол № від



Декан ФМФ ____________В.В. Ванін

”__”____ ____2015 р.


ПРОГРАМА
комплексного фахового випробування для вступу на освітньо-професійну програму підготовки магістра/спеціаліста по спеціальності 8/7.04020101 «Математика»

для випускників ОКР бакалавр 6.040201 «Математика»


Програму рекомендовано

Методичною комісією

фізико-математичного факультету

Протокол № від ________________

Голова комісії О.І. Клесов

Київ – 2015



I. ВСТУП

В сучасній науці і техніці математичні методи дослідження, моделювання і проектування відіграють важливу роль. Важливим завданням освітньо кваліфікаційного рівня «математика» є розвиток логічного і алгоритмічного мислення студентів, вміння проводити математичний аналіз прикладних задач. Метою, зокрема, є вміння навчити студентів використовувати необхідний математичний апарат, який дозволить їм аналізувати, моделювати, розв’язувати фундаментальні та прикладні задачі із застосуванням комп’ютерних технологій;

Математи́чний ана́ліз - фундаментальний розділ математики, що веде свій відлік від XVII століття, коли було строго сформульовано теорію нескінченно малих. Сучасний математичний аналіз включає в себе також теорію функцій, теорії границь і рядів, диференційне та інтегральне числення, диференціальні рівняння та диференціальну геометрію.
Матема́тика (грец. μάθημα - наука, знання, вивчення) - наука, яка первісно виникла як один з напрямків пошуку істини (у грецькій філософії) у сфері просторових відношень (землеміряння - геометрії) і обчислень (арифметики), для практичних потреб людини рахувати, обчислювати, вимірювати, досліджувати форми та рух фізичних тіл.
здатність самостійно розширювати свої математичні знання, формулювати і вирішувати нові математичні задачі.

Ця програма з відображає нові вимоги, які ставить ХХІ століття до математичної освіти. ЇЇ характеризує прикладна направленість та орієнтація на використання математичних методів, особлива увага до ймовірнісно-статистичних методів, методів теорії диференціальних рівнянь та рівнянь математичної фізики в зв’язку з їх практичною значимістю. Загальний курс становить фундамент математичної підготовки.

Нормативні курси математики: теорія функцій комплексної змінної, рівняння математичної фізики, теорія випадкових процесів, теорія міри та інтегралу, – базуються на сучасних методах аналізу і потребують розуміння фундаментальних тверджень математики, їх використання і будуть запорукою успішного подальшого навчання, наукового зростання і творчих успіхів.

Теорія ймовірності - розділ математики, що вивчає закономірності випадкових явищ: випадкові події, випадкові величини, їхні функції, властивості й операції над ними. Математичні моделі в теорії ймовірності описують з деяким ступенем точності випробування (експерименти, спостереження, вимірювання), результати яких неоднозначно визначаються умовами випробування.
Міра множини - спільна назва різних типів узагальнень понять евклідової довжини, площі плоских фігур та n -вимірного об'єму для загальніших просторів.
Математична фізика - загальна назва математичних методів дослідження і розв'язання диференціальних рівнянь, які виникають, зокрема, в фізиці. Теорія математичних моделей фізичних явищ; займає особливе положення і у математиці, і у фізиці, перебуваючи на стику цих наук.
Диференціальне рівняння з частинними похідними (також відоме як рівняння математичної фізики) - диференціальне рівняння, що містить невідомі функції декількох змінних і їхні частинні похідні.
Випадко́вий проце́с (англ. stochastic process) - важливе поняття сучасної теорії ймовірностей. Є певним узагальненням поняття випадкова величина, а саме - це випадкова величина, що змінюється з часом (іншими словами: випадкова величина, що залежить від змінної величини, яку називають час, або іншими словами - це набір випадкових величин, параметризованих величиною T - часом).
Диференціа́льні рівня́ння - рівняння, що встановлює залежність між незалежними змінними, числами (параметрами), невідомими функціями та їх похідними. Невідома функція може бути як скалярною, так і векторною.
Компле́ксний ана́ліз, або тео́рія фу́нкції компле́ксної змі́нної (ТФКЗ) - розділ математики, що вивчає функції, які залежать від комплексної змінної. Використовується у багатьох розділах математики, зокрема у теорії чисел, прикладній математиці та фізиці.



II. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

Програма вступного випробування складена на основі програм таких дисциплін: «Дискретна математика», «Аналітична геометрія», «Лінійна алгебра», «Математичний аналіз», «Диференціальні рівняння», «Комплексний аналіз», «Теорія ймовірностей та математична статистика», «Алгебра та теорія чисел», «Рівняння математичної фізики», «Теорія міри та інтегралу», «Функціональний аналіз та інтегральні рівняння» – і містить такі розділи:



Розділ 1. Дискретна математика

  1. Основне правило комбінаторики. Комбінаторні сполуки (розміщення, перестановки та сполучення). Приклади.

  2. Загальна формула включень та виключень.

  3. Основні властивості комбінацій (без повторень). Трикутник Паскаля та його використання. Формула бінома Ньютона.

  4. Задача про розбиття скінченної множини на підмножини, кожна з яких містить наперед задане число елементів.
    Трикутник Паскаля - це геометрично, на зразок трикутника, розміщені біноміальні коефіцієнти. Це математичне поняття названо на честь Блеза Паскаля. Таку назву вживають переважно в західному світі, адже математики Індії, Персії, Китаю та Італії знали цей трикутник ще за кілька століть перед Паскалем.
    Дискре́тна матема́тика - галузь математики, що вивчає властивості будь-яких дискретних структур. Як синонім іноді вживається термін дискре́тний ана́ліз, що вивчає властивості структур скінченного характеру.
    Скінченна множина - це множина, кількість елементів якої є скінченна, тобто існує натуральне число k, що є числом елементів цієї множини. В протилежному випадку множина є нескінченною. Визначення 2. Множина, що не має рівнопотужної з нею власної підмножини, а також порожня множина, називається скінченною
    Перестановки з повтореннями. Поліноміальна формула.

  5. Сполучення з повтореннями та їх властивості. Підрахунок числа сполучень з повтореннями за допомогою сполучень без повторень (різні способи доведення формул).

  6. Твірні функції та методи їх використання. Числа Фібоначчі та формула Біне для них.
    Послідо́вність Фібона́ччі, чи́сла Фібона́ччі - у математиці числова послідовність F n , },} задана рекурентним співвідношенням другого порядку


  7. Звичайні графи. Формула Ейлера.
    Формула Ейлера - співвідношення, що пов'язує комплексну експоненту з тригонометричними функціями. Названа на честь Леонарда Ейлера, який її запропонував.
    Гамільтонові цикли.


Розділ 2. Аналітична геометрія

  1. Скалярний добуток векторів, його властивості, геометричний зміст, вираз через координати в довільному базисі.

  2. Векторний добуток векторів і його властивості, геометричний зміст, вираз через координати в довільному базисі.

  3. Змішаний добуток векторів і його властивості, геометричний зміст, вираз через координати в довільному базисі.

  4. Рівняння прямої у площині та просторі (векторно-параметричне; параметричне; канонічне; загальне; через дві задані точки). Умова паралельності та перпендикулярності прямих у просторі. Відстань від точки до прямої у просторі.

  5. Рівняння площини у просторі (загальне рівняння; через три задані точки, що не належать одній прямій; у відрізках на осях; нормальне рівняння). Відстань від точки до площини.

  6. Криві другого порядку (еліпс, гіпербола, парабола), їх означення, канонічні рівняння та оптичні властивості.

  7. Поверхні другого порядку (еліпсоїд; однопорожнинний та двопорожнинний гіперболоїди; еліптичний та гіперболічний параболоїди; циліндри; конус), їх канонічні рівняння та вигляд.


Розділ 3. Лінійна алгебра

  1. Визначник n-го порядку.
    Ліні́йна а́лгебра - важлива частина алгебри, що вивчає вектори, векторні простори, лінійні відображення та системи лінійних рівнянь. Векторні простори зустрічаються в математиці та її прикладних застосуваннях.
    Основні властивості.

  2. Матриці розмірності mn. Основні поняття, операції над матрицями, застосування.

  3. Лінійні алгебраїчні системи. Сумісні, несумісні системи. Загальний розв’язок.

  4. Лінійний векторний простір.
    Ве́кторний (ліні́йний) про́стір - основне поняття лінійної алгебри, узагальнення множини всіх векторів на площині чи в просторі з операціями додавання векторів та множення вектора на скаляр.
    Основні властивості. Приклади: простір Rn, простір многочленів тощо.

  5. Лінійні оператори. Основні поняття. Простір L(X,Y). Власні числа та вектори.

  6. Лінійні, білінійні форми, канонічне зображення, знакосталість, закон інерції квадратичних форм.
    Квадрати́чна фо́рма - однорідний многочлен другого степеня від однієї чи декількох змінних.
    Зауваження: В цій статті векторні величини позначаються жирним шрифтом, тоді як скалярні - курсивом.


  7. Жорданова нормальна форма лінійного оператора (матриці).

  8. Функції від матриць та операторів.


Розділ 4. Математичний аналіз

  1. Числові послідовності та їх границі. Верхні та нижні границі послідовності та їх властивості.

  2. Неперервність функції в точці і на відрізку. Основні теореми.

  3. Похідна та диференціал. Похідні та диференціали вищих порядків. Повне дослідження функції за допомогою похідних. Формула Тейлора.

  4. Означення первісної і невизначеного інтеграла, їх властивості та основні методи інтегрування.

  5. Інтеграл Рімана. Необхідні та достатні умови існування. Формула Ньютона-Лейбніца.

  6. Класи інтегровних за Ріманом функцій однієї змінної. Основні властивості інтегралів.

  7. Застосування визначеного інтеграла в геометричних задачах.
    Неви́значений інтегра́л для функції f - це сукупність усіх первісних цієї функції.
    У математиці Ряд Те́йлора - представлення функції у вигляді нескінченної суми доданків, які обчислюються зі значень функцій похідних в одній точці.
    Точне знаходження первісної чи інтеграла для довільних функцій - справа значно складніша, ніж диференціювання, тобто пошук похідної. У загальному випадку подати інтеграл довільної функції в елементарних функціях часто просто неможливо.
    Інтеграл - центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі.


  8. Векторні функції скалярного аргумента та їх локальні властивості.

  9. Невласні інтеграли І та ІІ роду, абсолютна та умовна збіжність. Теореми Діріхле і Абеля про умовну збіжність невласних інтегралів І роду.

  10. Бета та гамма-функції Ейлера, їх властивості.

  11. Функції обмеженої варіації. Теорема Жордана.
    У топології, Жорданова крива - це довільна замкнена без самоперетинів крива в площині, інакше відома як проста замкнена крива.


  12. Інтеграл Рімана-Стілтьєса.

  13. Означення і збіжність числового ряду. Ознаки збіжності числових рядів з невід’ємними членами.

  14. Абсолютно та умовно збіжні числові ряди, їх властивості.

  15. Функціональні ряди: поточкова та рівномірна збіжності. Властивості рівномірно збіжних функціональних рядів.

  16. Степеневі ряди. Область збіжності, радіус збіжності. Теореми Абеля та Коші-Адамара.

  17. Ряди Тейлора і Маклорена.

  18. Формула Тейлора. Формули Тейлора для основних елементарних функцій.
    Ознаки збіжності рядів - ознаки, що доводять або спростовують збіжність числового ряду. Нехай дано ряд
    Функціональний ряд - ряд, кожен член якого є деякою функцією від однієї чи багатьох незалежних змінних.
    Елемента́рні фу́нкції - клас функцій, що містить в собі степеневі функції, многочлени, показникові функції, логарифмічні функції, тригонометричні функції, обернені тригонометричні функції, а також функції, що отримуються із перелічених вище за допомогою чотирьох арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення) та композиції, застосованих скінченну кількість разів.


  19. Тригонометричні ряди Фур’є. Інтегральне зображення часткової суми ряду Фур’є. Збіжність ряду Фур’є в точці. Ознаки Діні та Ліпшиця.

  20. Рівномірна збіжність тригонометричного ряду Фур’є.

  21. Інтеграл Фур’є та інтегральна формула Фур’є.

  22. Дійсні функції багатьох змінних. Неперервні функції на компактах і їх властивості.
    Непере́рвна фу́нкція - одне з основних понять математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі.


  23. Похідна функції за напрямком, частинні похідні, градієнт функції.

  24. Диференційовність функції багатьох змінних: означення, необхідна та достатня умови диференційовності. Диференціал функції.

  25. Частинні похідні та диференціали вищих порядків. Дотична площина та нормаль до поверхні.

  26. Означення локального екстремуму функцій багатьох змінних.
    Градіє́нт, Ґрадіє́нт - міра зростання або спадання в просторі якоїсь фізичної величини на одиницю довжини.
    В математиці, часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних - це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.
    Екстремум - найбільше та найменше значення функції на заданій множині.
    Необхідна та достатня умови існування локального екстремуму функції багатьох змінних.

  27. Міра Жордана в Rn та її властивості.

  28. Кратні інтеграли Рімана, їх властивості та обчислення.

  29. Геометричні та фізичні застосування кратних інтегралів.

  30. Криволінійні інтеграли І та ІІ роду: означення, обчислення, властивості та фізичний зміст.

  31. Формули Гріна, Остроградського-Гауса та Стокса.

  32. Векторні та скалярні поля. Потенціальне векторне поле, умови потенціальності.
    Потенціальне ве́кторне по́ле, у математиці - векторне поле, яке можна представити як градієнт деякої скалярної функції координат (потенціалу). Необхідною і достатньою умовою потенційності векторного поля є рівність нулю ротора поля.



Розділ 5. Диференціальні рівняння

  1. Звичайні диференціальні рівняння 1-го порядку: основні поняття. Теорема Пікара про існування та єдиність розв’язку задачі Коші.
    Теоре́ма Піка́ра (велика). Якщо f ( z ) - однозначна аналітична функція в околі точки z = a , який є для неї суттєво особливою точкою, то в кожному околі точки z = a функція f ( z ) приймає довільне скінченне значення, за винятком, можливо, одного.
    Задача Коші - одна з основних задач теорії диференціальних рівнянь - полягає в пошуку розв'язку (інтеграла) диференціального рівняння, що задовольняє початковим умовам (початковим даним).


  2. Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник. Способи його знаходження.

  3. Автономні системи диференціальних рівнянь на площині. Особливі точки, їх класифікація.

  4. Диференціальні рівняння, не розв’язані відносно похідної. Рівняння Клеро та Лагранжа. Особливі розв’язки.

  5. Рівняння Клеро та Лагранжа. Особливі розв’язки, методи їх знаходження. Особливі розв’язки рівняння Клеро.

  6. Метод варіації довільних сталих (Лагранжа) для лінійних неоднорідних рівнянь.

  7. Диференціальні рівняння вищих порядків, що допускають зниження порядку.

  8. Однорідні та неоднорідні лінійні диференціальні рівняння n-го порядку.
    Особлива точка - точка голоморфної функції, в якій функція не визначена, її границя нескінченна або границі не існує.
    Лінійне диференціальне рівняння - звичайне диференціальне рівняння, в яке невідома функція та її похідні входять лінійно, тобто рівняння вигляду
    Структура загального розв’язку.

  9. Експонента матриці та її властивості.

  10. Матрицант лінійної системи. Його властивості. Формула Коші.

  11. Спектр лінійної системи. Умова асимптотичної стійкості системи.

  12. Функція Ляпунова. Теореми Ляпунова (І та ІІ) про стійкість та асимптотичну стійкість тривіального розв’язку нелінійної системи.

  13. Стійкість та асимптотична стійкість за Ляпуновим тривіального розв’язку системи.


Розділ 6. Комплексний аналіз

  1. Інтеграл від функції комплексної змінної: означення і основні властивості. Інтегральна теорема Коші.
    Інтегра́льна теоре́ма Коші́ - одна з основних теорем аналітичних функцій, сформульована та доведена Оґюстеном-Луї Коші.


  2. Поняття невизначеного інтеграла в комплексній області. Незалежність інтеграла Рімана функції комплексної змінної від шляху інтегрування.
    Інтегра́л Рі́мана - одне з найважливіших понять математичного аналізу, є узагальненням поняття суми, яке знаходить широке застосування в багатьох галузях математики. Був уведений Бернгардом Ріманом в 1854 році, і є однією з перших формалізацій поняття інтегралу.
    Формула Ньютона-Лейбніца.

  3. Поняття моногенної та аналітичної функції.
    Аналіти́чна фу́нкція -функція, яка збігається зі своїм рядом Тейлора в околі будь-якої точки області визначення.
    Необхідні та достатні умови моногенності (Коші-Рімана).

  4. Означення основних елементарних функцій комплексної змінної (). Їх основні властивості та обчислення значень.

  5. Дробово-лінійна функція комплексної змінної та її основні властивості.

  6. Інтегральна формула Коші для однозв’язної та багатозв’язної областей.

  7. Нескінченна диференційовність аналітичної функції.

  8. Розклад аналітичної функції в ряд Тейлора. Поняття гармонічної функції та його зв’язок з поняттям аналітичної функції.

  9. Принцип максимуму модуля аналітичної функції.

  10. Властивість єдиності аналітичної функції.

  11. Поняття ізольованої особливої точки. Класифікація ізольованих особливих точок. Розклад аналітичної функції в ряд Лорана.

  12. Поняття лишку аналітичної функції в ізольованій особливій точці. Основна теорема про лишки.

  13. Перетворення Лапласа: основні поняття. Теорема про диференціювання оригіналу та зображення.

  14. Перетворення Лапласа: основні поняття. Лінійність та подібність перетворення Лапласа.
    Перетворення Лапла́са - інтегральне перетворення, що зв'язує функцію F ( s ) комплексної змінної (зображення) з функцією f ( x ) дійсної змінної (оригінал). З його допомогою досліджуються властивості динамічних систем і розв'язуються диференціальні і інтегральні рівняння.


  15. Перетворення Лапласа: основні поняття. Інтегрування оригіналу та зображення.


Розділ 7. Теорія ймовірностей

  1. Випадкові події та операції над ними.

  2. Аксіоми ймовірності та властивості ймовірності.

  3. Формули множення ймовірностей. Умовні ймовірності та незалежні події.

  4. Формули повної ймовірності та Байєса.

  5. Схема Бернуллі. Біноміальний розподіл.

  6. Функція розподілу випадкової величини: означення та властивості. Приклади.

  7. Дисперсія випадкової величини: означення, обчислення та властивості.

  8. Математичне сподівання і дисперсія. Їх властивості.

  9. Нерівність Чебишова і закон великих чисел.

  10. Коефіцієнт кореляції: означення та властивості.

  11. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Поняття про центральну граничну теорему.
    Дискретна випадкова величина ξ називається такою, що має біноміальний розподіл, якщо ймовірність набуття нею конкретних значень має вигляд: P ( ξ = k ) = C n k p k q n − k , k = 0 , 1 , . . . n ^p^q^,k=0,1,...
    Випадкова величина (англ. Random variable) - одне з основних понять теорії ймовірностей.
    Центральна гранична теорема - теорема теорії ймовірностей про збіжність розподілу суми незалежних однаково розподілених випадкових величин до нормального розподілу. Ця теорема підкреслює особливість нормального розподілу в теорії ймовірностей.



Розділ 8. Алгебра і теорія чисел

  1. Основна теорема про гомоморфізми груп.
    Теорія чисел або вища арифметика - галузь математики, яка розпочалась з вивчення деяких властивостей натуральних чисел, пов'язаних з питаннями подільності і розв'язання алгебраїчних рівнянь у натуральних (а згодом також цілих) числах.


  2. Основна теорема про скінченні абелеві групи.
    Абелева група або комутативна група - група, операція в якій задовольняє умові комутативності. Названа на честь Нільса Абеля, що встановив роль таких груп в теорії розв'язності алгебраїчних рівнянь у радикалах.


  3. Мультиплікативна група кільця Zn (кільця лишків за модулем n).

  4. Поле алгебраїчних чисел.

  5. Скінченні поля, будова скінченних полів.


Розділ 9. Рівняння з частинними похідними

  1. Рівняння 1-го порядку. Поняття загального розв’язку, його повний та особливий інтеграл. Геометрична теорія розв’язування.

  2. Рівняння 2-го порядку з частинними похідними. Класифікація, зведення до канонічного вигляду.
    Канонічна форма - така форма, що однозначно репрезентує об'єкт. Її часто плутають зі схожим поняттям нормальна форма. В булевій алгебрі деяка булева функція може бути виражена у канонічному вигляді з використанням мінтермів або макстермів.


  3. Класичні (гіперболічні, параболічні та еліптичні) рівняння та постановка основних задач для них.

  4. Метод відокремлювання змінних Фур’є розв’язування мішаних задач для рівняння теплопровідності.

  5. Метод характеристик розв’язування задачі Коші для рівняння вільних коливань однорідної струни.


Розділ 10. Теорія міри та інтегралу

  1. Міри та їх властивості.

  2. Означення міри на півкільці інтервалів в R за допомогою функцій розподілу.
    Рівня́ння теплопрові́дності - рівняння, що визначає закон зміни температури з часом при теплопередачі через теплопровідність.
    Функція розподілу ймовірностей - В теорії ймовірностей це функція, яка повністю описує розподіл ймовірностей випадкової величини.


  3. Міри Лебега на прямій, площині та на Rn. Властивості міри Лебега.
    Міра Лебе́га на R n ^} - міра, що є розширенням міри Жордана на ширший клас множин, була введена Лебегом в 1902 році.
    Інваріантність міри Лебега відносно зсуву.

  4. Міра Лебега-Стілтьєса на прямій. Міри на прямій, скінченні на кільці обмежених множин, та їх функції розподілу. Властивості функцій розподілу міри. Характеризація мір на прямій їх функціями розподілу.

  5. Заряди та їх властивості. Розклад заряду за Ганом. Розклад заряду за Жорданом. Функції обмеженої варіації та їх зв’язок із зарядами. Теорема Жордана про зображення функції обмеженої варіації.

  6. Вимірні відображення та функції. Критерії вимірності. Борельові функції. Суперпозиція вимірних відображень. Властивості вимірних функцій.

  7. Прості функції та їх властивості. Критерій вимірності простих функцій. Теорема про наближення невід’ємної вимірної функції монотонною послідовністю невід’ємних простих функцій.

  8. Властивості, які є правильними майже скрізь відносно міри. Еквівалентність функцій. Збіжність майже скрізь та її властивості.
    Вимірні функції - певний клас функцій заданих на множинах з мірою. Широко використовуються в теорії міри і теорії ймовірностей.
    Збіжність майже всюди - один з видів збіжності функцій у вимірних просторах або випадкових величин.
    Теорема Єгорова.

  9. Збіжність за мірою та її властивості. Теореми Лебега та Ріса про взаємозв’язок збіжності майже скрізь та збіжності за мірою.

  10. Інтеграл Лебега: означення та його властивості.

  11. Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега (теорема Бепо Леві, лема Фату, теорема Лебега про мажоровну збіжність).
    Ле́ма Фату́ - твердження, яке використовується при доведені різних теорем у функціональному аналізі і теорії ймовірностей.
    Теорема Єгорова (теорема Северіні - Єгорова) - твердження в теорії міри про зв'язок збіжності майже всюди і рівномірної збіжності.
    Інтеграл Лебега - це узагальнення інтегралу Рімана на більш широкий клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої і інтегровні за Ріманом, є також інтегровні за Лебегом, причому в такому випадку обидва інтеграли збігаються.


  12. Інтеграли Лебега за мірою Лебега. Порівняння інтегралів Рімана та Лебега на відрізку прямої. Критерій інтегровності функції за Ріманом на відрізку прямої. Порівняння невласних інтегралів та інтеграла Лебега на прямій.

  13. Абсолютно неперервні міри та заряди. Теорема Радона-Никодима.

  14. Кратні інтеграли за добутком мір. Повторні інтеграли. Теорема Фубіні-Тонеллі.


Розділ 11. Функціональний аналіз

  1. Поняття метричного простору.
    Метри́чний про́стір - це пара ( X , d ), яка складається з деякої множини X елементів і відстані d , визначеної для будь-якої пари елементів цієї множини.
    Нерівності Гельдера та Мінковського для скінченних та нескінченних сум.

  2. Інтегральні метрики.

  3. Повні метричні простори. Приклади. Теорема про вкладені кулі. Теорема Бера.

  4. Принцип стискаючих відображень та його застосування.

  5. Компактні множини та їх властивості. Критерій компактності (теорема Гаусдорфа).

  6. Компактні множини в просторі неперервних функцій (теорема Асколі-Арцела).

  7. Неперервні функції на компактних множинах та їх властивості. Теорема Стоуна-Вейєрштрасса.

  8. Гільбертові простори. Скалярний добуток та евклідові простори.
    Евклідів простір - скінченновимірний дійсний векторний простір E із скалярним добутком. Характеристики евклідового простору неформально можна вважати узагальненнями звичних та досліджуваних Евклідом 2- та 3-вимірних просторів.
    Скалярний добуток (англ. dot product, англ. scalar product, нім. Skalarprodukt, рос. скалярное произведение) - бінарна операція над векторами, результатом якої є скаляр.
    Ортогональні системи та базиси. Процес ортогоналізації.

  9. Нерівність Бесселя. Замкнені та повні ортогональні системи. Рівність Парсеваля.

  10. Теорема Ріса-Фішера. Теорема про ізоморфність сепарабельних гільбертових просторів.
    Рівність Парсеваля - аналог теореми Піфагора у векторних просторах з скалярним добутком. Початково подібне твердження для простору періодичних функцій, було сформульоване Парсевалем у 1799 році.
    Гі́льбертів про́стір (на честь Давида Гільберта) - це узагальнення поняття евклідового простору на нескінченновимірний випадок. Є лінійним простором над полем дійсних або комплексних чисел (прийменник «над» означає, що у такому просторі дозволені операції множення на скаляри із відповідних полів), із визначеним скалярним добутком.


  11. Теорема про перпендикуляр у гільбертовому просторі та її застосування. Ортогональні системи функцій в просторі .

  12. Нормовані та банахові простори.
    Банахів простір - повний нормований векторний простір. Тобто, векторний простір V над полем дійсних або комплексних чисел з нормою | | ⋅ | | такою, що кожна фундаментальна послідовність є збіжною до елементу з V за метрикою d ( x , y ) = ∥ x − y ∥ .
    Приклади.

  13. Теорема Гана-Банаха для нормованих просторів та її наслідки.

  14. Сильна топологія у спряженому просторі. Рефлексивні простори.

  15. Слабка топологія та слабка збіжність у нормованих та спряжених просторах. Обмежені множини в спряжених просторах.
    Обмежена множина у математичному аналізі, і прилеглих розділах математики - множина, яка у певному сенсі має скінченний розмір. Базовим є поняття обмеженості числової множини, яке узагальнюється на випадок довільного метричного простору, а також на випадок довільної частково упорядкованої множини.
    Теорема Банаха-Штейнгауза.

  16. Лінійні оператори та дії над ними. Операторні норми.

  17. Обернені оператори, спряжені оператори та їх властивості.

  18. Лінійні оператори в гільбертових просторах. Оператори Гільберта-Шмідта.

  19. Спектр та резольвента лінійного неперервного оператора. Компактні оператори та їх властивості.


3. ПРИКІНЦЕВІ ПОЛОЖЕННЯ

1. Допоміжні матеріали.

На екзамені не допускається користування додатковою літературою.
2. Критерії оцінювання.

Екзаменаційний білет складається з двох теоретичних питань з фізики, одного питання з охорони праці та одного практичного завдання (задачі) з фізики.

Цілкóм неперéрвний оперáтор - оператор, що відображає банахів простір в себе, називається цілком неперервним, якщо він кожну обмежену множину переводить у відносно компактну.
Охорóна прáці (рос. охрана труда; англ. labour protection; нім. Arbeitsschutz m) - це: система правових, соціально-економічних, організаційно-технічних, санітарно-гігієнічних і лікувально-профілактичних заходів та засобів, спрямованих на збереження життя, здоров'я і працездатності людини в процесі трудової діяльності; діюча на підставі відповідних законодавчих та інших нормативних актів система соціально-економічних, організаційно-технічних, санітарно-гігієнічних і лікувально-профілактичних заходів та засобів, що забезпечують збереження здоров'я і працездатності людини в процесі праці. дозвіл на початок робіт підвищеної небезпеки, який необхідний організації чи підприємству, хто працює в будівництві.

Система оцінювання оцінює здатність студента:


  • узагальнювати отримані знання для вирішення конкретних завдань, проблем;

  • застосовувати правила, методи, принципи, закони у конкретних ситуаціях;

  • аналізувати і оцінювати факти, події та робити обґрунтовані висновки;

  • інтерпретувати схеми, графіки, діаграми;

  • викладати матеріал логічно, послідовно, з дотриманням вимог стандартів.

Система критеріїв оцінювання передбачає наступне:

  • відповідь студента оцінюється за 100-бальною шкалою;

  • кількість балів (qi max), яка нараховується за виконання окремого завдання складає 25 балів, ;

  • оцінювання результатів кожного завдання (запитання, етапу) здійснюється у чотирирівневій системі балів:



Оцінка відповіді
на завдання

Розподіл балів відносно значення «ваги» запитання qmax

Бали оцінки відповіді (qma= 25)

«відмінно»

q ≥ 0,9 qmax

25…22

«добре»

0,75 qmaxq < 0,9 qmax

21…19

«задовільно»

0,6 qmaxq <0,75 qmax

18…15

«незадовільно»

q < 0,6 qmax

14...0

Загальна кількість балів за відповідь визначається шляхом підсумовування балів (qi) за виконання окремих його частин.





СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

  1. Дороговцев А.Я. Математичний аналіз, Ч. 1, 2. К., Либідь, 1994.

  2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т.1, 2, 3 М., Наука, 1969.

  3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М., Наука, 1971.

  4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учеб.: Для вузов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

  5. Самойленко А.М., Перестюк М.О., Парасюк І.О. Диференціальні рівняння. Київ, Либідь, 1994.

  6. Араманович И.Г., Лунц Г.Ц., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М., Наука, 1968.

  7. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М., Наука, 1981.

  8. Чинаев П.И. Высшая математика (спецглавы). Киев, Вища школа, 1977.

  9. И.И. Гихман, А.В. Скороход, М.И. Ядренко Теория вероятностей и математическая статистика. Киев, Высшая школа, 1988.

  10. А.Н. Ширяев Вероятность. М., Наука, 1989.

  11. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971.

  12. Вандер дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.

  13. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.

  14. Калужнин Л.А. Введение в общую алгебру. М.: Наука, 1973.

  15. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

  16. Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ. Киев, Выща школа, 1990.

  17. Конторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. Москва, Наука.

  18. Рудин У. Функциональный анализ. Москва, Мир, 1975.

  19. Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла, Киев, " Выща школа", 1989.

Розробники програми:



зав. каф. математичного аналізу та теорії ймовірностей, д.ф.-м.н., проф. Клесов Олег Іванович

(посада, науковий ступінь, вчене звання, прізвище, ім’я, по батькові)

в.о.
Наукові ступені і вчені звання - кваліфікаційна система в науковій та науково-педагогічній діяльності, державне визнання рівня кваліфікації вченого, що є критеріями ранжування наукових і науково-педагогічних працівників.
Науковий ступінь (учений ступінь, академічний ступінь, титул) - ступінь кваліфікаційної системи в науці, що дозволяє ранжувати наукових діячів і науково-педагогічних працівників у певній галузі знання на окремих етапах академічної кар'єри.
зав. каф. диференціальних рівнянь, д.ф.-м.н., проф. Дудкін Микола Євгенович


(посада, науковий ступінь, вчене звання, прізвище, ім’я, по батькові)

в.о. зав. каф. математичної фізики, д.ф.-м.н., проф. Івасишен Степан Дмитрович

(посада, науковий ступінь, вчене звання, прізвище, ім’я, по батькові)


Скачати 132.89 Kb.

  • I. ВСТУП
  • Розділ 1. Дискретна математика
  • Трикутник Паскаля
  • Розділ 2. Аналітична геометрія
  • Розділ 3. Лінійна алгебра
  • Розділ 4. Математичний аналіз
  • Формула Тейлора . Означення первісної і невизначеного інтеграла
  • Потенціальне векторне поле
  • Розділ 5. Диференціальні рівняння Звичайні диференціальні рівняння 1-го порядку: основні поняття. Теорема Пікара
  • Розділ 6. Комплексний аналіз Інтеграл від функції комплексної змінної: означення і основні властивості. Інтегральна теорема Коші
  • Розділ 7. Теорія ймовірностей
  • Біноміальний розподіл . Функція розподілу випадкової величини
  • Розділ 8. Алгебра і теорія чисел
  • Розділ 9. Рівняння з частинними похідними
  • Розділ 11. Функціональний аналіз Поняття метричного простору
  • Скалярний добуток та евклідові простори
  • Рівність Парсеваля . Теорема Ріса-Фішера. Теорема про ізоморфність сепарабельних гільбертових просторів
  • Компактні оператори
  • Критерії оцінювання.
  • Івасишен Степан Дмитрович