Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Програма Нормативного курсу Функціональний аналіз та інтегральні рівняння

Скачати 69.17 Kb.

Програма Нормативного курсу Функціональний аналіз та інтегральні рівняння




Скачати 69.17 Kb.
Дата конвертації19.04.2017
Розмір69.17 Kb.
ТипПрограма

П Р О Г Р А М А

нормативного курсу "Функціональний аналіз та інтегральні рівняння"

лекційних годин 105, практичних годин 35

спеціальність "Математика, статистика".
6 семестр

ПРОСТІР БАНАХА


Лінійні нормовані та банахові простори - означення, узгодженість структур лінійного, метричного та нормованого просторів.
Інтегральне рівняння - рівняння, яке містить невідому функцію під знаком інтеграла, наприклад,
Банахів простір - повний нормований векторний простір. Тобто, векторний простір V над полем дійсних або комплексних чисел з нормою | | ⋅ | | такою, що кожна фундаментальна послідовність є збіжною до елементу з V за метрикою d ( x , y ) = ∥ x − y ∥ .
Приклад неповного нормованого простору. Сепарабельність нормованих просторів. Несепарабельність простору . Еквівалентні норми. Еквівалентність норм, заданих на одному скінченновимірному просторі. Підпростори в нормованих просторах. Приклади.

ПРОСТІР ГІЛЬБЕРТА


Скалярний добуток - означення в дійсному та комплексному випадках, властивості: антилінійність за ІІ аргументом, рівність паралелограма, нерівність Коші-Шварца. Норма, породжена скалярним добутком; запис скалярного добутку через норму в дійсному та комплексному випадках. Неперервність скалярного добутку. Означення гільбертового простору із скалярним добутком.
Скалярний добуток (англ. dot product, англ. scalar product, нім. Skalarprodukt, рос. скалярное произведение) - бінарна операція над векторами, результатом якої є скаляр.
Гі́льбертів про́стір (на честь Давида Гільберта) - це узагальнення поняття евклідового простору на нескінченновимірний випадок. Є лінійним простором над полем дійсних або комплексних чисел (прийменник «над» означає, що у такому просторі дозволені операції множення на скаляри із відповідних полів), із визначеним скалярним добутком.
Простір як поповнення простору .

Ортогональність векторів гільбертового простору, ортогональне доповнення до множини. Теорема про існування найближчого елемента в підпросторі. Теорема про ортогональну проекцію. Проектування на площину та одновимірний підпростір. Ортогональна сума просторів. Приклади Ортонормовані системи векторів, приклади. Ряд Фур"є, нерівність Бесселя.

В математиці, нерівність Бесселя - твердження про коефіцієнти елемента x у гільбертовому просторі стосовно ортонормованої послідовності.
Ортонормовані базиси: означення,єдиність розкладу, збіжність ряду Фур"є.

Рівність Парсеваля. Приклади базисів. Процедура ортогоналізації Грамма-Шмідта, існування ортонормованого базиса в сепарабельному гільбертовому просторі. Многочлени Лежандра. Ізометрія сепарабельних гільбертових просторів.
ЛІНІЙНІ ФУНКЦІОНАЛИ

Лінійні, обмежені та неперервні функціонали. Рівносильність обмеженості та неперервності лінійного функціоналу. Норма функціонала, приклади її обчислення.

Спряжений простір та його повнота. Теорема Рісса. Лінійні функціонали в . Продовження функціоналу з підпростору гільбертового простору.Півнорма в лінійному просторі.

Ве́кторний (ліні́йний) про́стір - основне поняття лінійної алгебри, узагальнення множини всіх векторів на площині чи в просторі з операціями додавання векторів та множення вектора на скаляр.
Опуклі та врівноважені множини, приклади. Функціонал Мінковського. Теорема Хана-Банаха про продовження функціонала, підпорядкованого півнормі, в дійсному сепарабельному випадку. Гіперпідпростір, гіперплощина, опорна гіперплощина до одиничної кулі. Теорема про опорну гіперплощину до відкритої опуклої множини. Класична теорема Хана-Банаха та її наслідки. Рефлексивні простори, приклади. Нерефлексивність простору .
ЛІНІЙНІ ОПЕРАТОРИ
Лінійність. Обмеженість, неперервність операторів у нормованому

просторі. Норма оператора, простір лінійних операторів, його повнота.

Лінійним відображенням (лінійним оператором, лінійним перетворенням) - називається відображення векторного простору V над полем K в векторний простір W (над тим же полем K )
Приклади. Кільце обмежених лінійних операторів. Матричне представлення оператора в гільбертовому просторі. Пряма сума операторів та її матричне зображення у відповідному базисі. Функціонал як лінійний оператор.


ПРИНЦИП РІВНОМІРНОЇ ОБМЕЖЕНОСТІ. СЛАБКА ЗБІЖНІСТЬ.

Теорема Банаха-Штейгауза. Наслідки. Слабка збіжність

Функціоналів, критерій. Застосування. Слабка повнота спряженого простору та слабка компактність кулі.

Пряма сума модулів - в абстрактній алгебрі це комбінування декількох модулів в один більший модуль, який міститиме вихідні модулі як підмодулі.
Спряжений простір - простір лінійних функціоналів на даному лінійному просторі.
Слабка збіжність елементів простору, критерій. Приклади. Повнота рефлексивного простору відносно слабкої збіжності.

Операторні збіжності: рівномірна, сильна, слабка. Приклади, порівняння різних типів збіжності. Неперервність добутку відносно рівномірної збіжності.

Рівномірна збіжність послідовності функцій - властивість послідовності f n : X → Y :X\to Y} , де X - довільна множина, Y = ( Y , d ) - метричний простір, n = 1 , 2 , … збігається до функції (відображення) f : X → Y , що означає, що для будь-якого ε > 0 існує такий номер N ε } , що для всіх номерів n > N ε } і всіх точок x ∈ X виконується нерівність
Критерій сильної операторної збіжності, повнота простору лінійних операторів.


ВЛАСТИВОСТІ ЛІНІЙНИХ ОПЕРАТОРІВ
Ядро та образ оператора. Алгебраїчний обернений до оператора, критерій його існування. Приклади. Неперервний обернений оператор, аналіз означення. Критерій неперервної оборотності, приклад. Теорема Банаха про обернений оператор. Оборотність збуреного одиничного оператора. Ряд Неймана.

Спряжений оператор в просторі Гільберта, приклади. Властивості спряжених операторів. Самоспряжені оператори: матричне зображення, критерій самоспряженості в термінах квадратичної форми.

Квадрати́чна фо́рма - однорідний многочлен другого степеня від однієї чи декількох змінних.
Ортопроектор.

Оператор Гільберта-Шмідта, норма Гільберта-Шмідта та її властивості. Ядро Гільберта-Шмідта та інтегральний оператор Гільберта-Шмідта в . Спряжений інтегральний оператор, умова самоспряженості.

Означення компактного оператора. Скінченновимірний оператор та його компактність. Приклади. Властивості компактних операторів. Наближення компактного оператора скінченновимірними операторами в гільбертовому просторі. Компактність оператора Гільберта-Шмідта.


7 семестр
ЕЛЕМЕНТИ СПЕКТРАЛЬНОЇ ТЕОРІЇ
Спектр лінійного неперервного оператора. Приклади. Означення регулярної точки, резольвентної множини, резольвенти, спектра.

Приклади. Власні значення, власні вектори, точковий спектр.

Вла́сний ве́ктор (англ. eigenvector) квадратної матриці A (з вла́сним зна́ченням (англ. eigenvalue) λ ) - це ненульовий вектор v , для якого виконується співвідношення
Структура спектра: обмеженість, замкненість, ілюстрація на прикладах. Аналітичні операторно-значні функції, аналітичність резольвенти. Теорема про непорожність спектру. Спектральний радіус, приклади. Коректна розв'язність рівняння з оператором, спектральний радіус якого менше одиниці. Спектр самоспряженого оператора: ортогональність його власних підпросторів.

Спектральна теорія компактних операторів у гільбертовому просторі. Розв'язність системи лінійних рівнянь з дійсними коефіціентами, теорема Кронекера -Капеллі, альтернатива Фредгольма в просторі .

Лінійне рівняння - рівняння, обидві частини якого визначаються лінійними функціями. Найпростіший випадок має вигляд

Рівняння з компактним оператором у гільбертовому просторі, приклади.

Аналітична теорема Фредгольма. Три теореми Фредгольма для рівнянь з компактними операторами. Теорема Рісса-Шаудера про спектр компактного оператора. Спектр компактного самоспряженого опратора. Інваріантний підпростір оператора, інваріантність власного підпростору. Інваріантність ортогонального доповнення до інваріантного підпростору самоспряженого оператора. Теорема про власний базис компактного оператора. Ряд Шмідта для компактного самоспряженого оператора, його рівномірна збіжність.
ІНТЕГРАЛЬНІ РІВНЯННЯ
Запис рівняння Фредгольма в просторі з ядром Гільберта- Шмідта і рівнянь Фредгольма та Вольтерра в просторі з неперервним ядром, приклади. Рівняння Фредгольма ІІ роду з виродженим ядром. Приклад. Ряд Неймана для операторних рівнянь. Рівняння Фредгольма: запис розв'язку через визначник Фредгольма. Повторні ядра, резольвента інтегрального рівняння, збіжність резольвентного ряду для рівнянь в та . Формула розв'язку через резольвенту інтегрального рівняння. приклад. Рівняння Вольтерра в : повторні ядра, резольвента інтегрального рівняння, рівномірна збіжність резольвентного ряду, формула розв'язку, приклад.

Альтернатива Фредгольма для інтегральних рівнянь з ядром Гільберта-Шмідта. Випадок виродженого рівняння, ІV теорема Фредгольма. Приклад. Альтернатива Фредгольма для рівнянь з неперервним ядром. Інтегральні рівняння з ермітово-симетричним ядром: альтернатива Фредгольма, формула розв'язку, приклад.

Інтегральні рівняння з неперервним та симетричним ядром. Теорема Гільберта-Шмідта. Додатно визначені ядра, теорема Мерсера. Приклад.
ЕЛЕМЕНТИ НЕЛІНІЙНОГО АНАЛІЗУ
Похідна Фреше. Приклади. Похідна складної функції.Похідна Гато, приклади. Аналог теореми Лагранжа в термінах похідної Гато.

Нехай G, Y - локально опуклі топологічні векторні простори. Нехай відображення f : G → Y , x ∈ G і ℓ - одиничний вектор простору G, що визначає деякий напрям. Тоді границя
Екстремум нелінійного функціоналу, необхідна умова екстремуму. Приклад.
УЗАГАЛЬНЕНІ ФУНКЦІЇ
Задача розширення сукупності звичайних функцій. Простір основних функцій . Носій функції. Приклади основних функцій. Оператор осереднення, властивості. Збіжність у , збіжність осереднень від основної функції. Неперервність лінійних операцій, операцій диференціювання та множення на функцію з .

Простір узагальнених функцій Шварца .

Носій (англ. Support) функції - це замикання підмножини області визначення функції, де функція набуває ненульових значень. Поняття широко використовується в математичному аналізі. В деякому сенсі поняття носія схоже до області визначення функції.
Узагальнена фу́нкція або розподіл - математичне поняття, що узагальнює класичне поняття функції. Потреба в такому узагальненні виникає в багатьох фізичних, технічних і математичних задачах.
Регулярні узагальнені функції, лема Дюбуа-Реймона. Дельта-функція Дірака.
δ-функція - це узагальнена функція, формально визначається як неперервний лінійний функціонал у просторі диференційовних функцій. δ-функція не є функцією в класичному розумінні.
Узагальнені функції, породжені мірами, достатня умова регулярності. Сингулярність - функції.

Збіжність в . Приклади. Збіжність регулярних узагальнених функцій. Множення узагальненої функції на гладку та заміна змінної під знаком узагальненої функції - означення, приклади, властивості. Диференціювання узагальнених функцій. Старші похідні. Неперервність оператора диференціювання. Диференціювання суми ряду. Збіжність тригонометричних рядів з коефіцієнтами степеневого росту.

Фундаментальні розв'язки диференціальних рівнянь. Первісна узагальненої функції. Згортка в , згортка локально інтегровної функції та основної. Згортка узагальненої та основної функції, приклад. Класичні та узагальнені розв'язки лінійних диференціальних рівнянь, приклади.

Диференціа́льні рівня́ння - рівняння, що встановлює залежність між незалежними змінними, числами (параметрами), невідомими функціями та їх похідними. Невідома функція може бути як скалярною, так і векторною.
Диференціальний оператор, означення його фундаментального розв'язку, приклад. Знаходження фундаментального розв'язку звичайного диференціального рівняння зі сталим коефіцієнтом, прикдад. Розв'язок неоднорідного диференціального рівняння як згортка.

Перетворення Фур'є узагальнених функцій. Простір основних функцій , збіжність, приклади. Вкладення . Перетворення Фур'є. Образ згортки при перетворенні Фур'є. Побудова фундаментального розв'язку із сталими коефіцієнтами.
ЛІТЕРАТУРА
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М. : Наука, 1981.

2. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. - М.:В. ш., 1982.

3. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений.-М.: Изд-во Моск. Ун- та, 1984.

4. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. –

5. Завдання для практичних і лабораторних занять з курсу”Функціональний аналіз та інтегральні рівняння” для студентів спеціальності “математика”. – Чернівці: ЧДУ. 1992.
ДОДАТКОВА ЛІТЕРАТУРА


  1. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука,1971.

  1. 2. Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шертель З.Г. Функциональный анализ “

  2. К.: В. ш., 1990.

3. Антоневич А.Б., Радино Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения. – Минск: Изд-во “Университет”, 1984.

4. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. – М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1989.



5. Кирилов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачии функционального анализа. – М.: Наука, 1979.






Скачати 69.17 Kb.