Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Програма спаівбесіди зі спеціальності „статистика" для вступників на навчання за освітньо-кваліфікаційними рівнями "

Скачати 54.73 Kb.

Програма спаівбесіди зі спеціальності „статистика" для вступників на навчання за освітньо-кваліфікаційними рівнями "




Скачати 54.73 Kb.
Дата конвертації28.04.2017
Розмір54.73 Kb.
ТипПрограма

ПРОГРАМА

спаівбесіди зі спеціальності „статистика” для вступників на навчання

за освітньо-кваліфікаційними рівнями "спеціаліст, „магістр”

2007 - 2008 навчальний рік



1. Математичний аналіз

  1. Поняття границі послідовності: числової, функцій (поточкова і рівномірна), елементів метричного простору.

    Метри́чний про́стір - це пара ( X , d ), яка складається з деякої множини X елементів і відстані d , визначеної для будь-якої пари елементів цієї множини.

    Теореми про три послідовності, про арифметичні дії зі збіжними послідовностями.

  2. Неперервні та рівномірно неперервні функції. Типи розривів. Неперервність елементарних функцій.

    Непере́рвна фу́нкція - одне з основних понять математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі.

    Елемента́рні фу́нкції - клас функцій, що містить в собі степеневі функції, многочлени, показникові функції, логарифмічні функції, тригонометричні функції, обернені тригонометричні функції, а також функції, що отримуються із перелічених вище за допомогою чотирьох арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення) та композиції, застосованих скінченну кількість разів.



  3. Похідна та диференціал функцій однієї та кількох змінних.

  4. Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа та Коші.

  5. Формула Тейлора з різними формами залишкових членів. Основні розклади.

  6. Достатні умови локального екстремуму функції кількох змінних.

  7. Теорема Банаха про стискаючі відображення.

  8. Інтеграл Рімана, умови його існування. Формула Ньютона - Лейбніца.

  9. Числові та функціональні ряди.

    Екстремум - найбільше та найменше значення функції на заданій множині.

    Функціональний ряд - ряд, кожен член якого є деякою функцією від однієї чи багатьох незалежних змінних.

    Сума ряду, ознаки збіжності. Абсолютна збіжність. Рівномірна збіжність.

    Ознаки збіжності рядів - ознаки, що доводять або спростовують збіжність числового ряду. Нехай дано ряд

    Рівномірна збіжність послідовності функцій - властивість послідовності f n : X → Y :X\to Y} , де X - довільна множина, Y = ( Y , d ) - метричний простір, n = 1 , 2 , … збігається до функції (відображення) f : X → Y , що означає, що для будь-якого ε > 0 існує такий номер N ε } , що для всіх номерів n > N ε } і всіх точок x ∈ X виконується нерівність



  10. Властивості суми функціонального ряду: теореми про неперервність, інтегровність, диференційовність.

  11. Ряд Тейлора. Умови розкладу функції в ряд Тейлора. Основні розклади.

  12. Ряд Фур’є. Достатні умови збіжності ряду Фур'є в точці.

  13. Формула зведення кратного інтеграла по брусу до повторного.

  14. Формула заміни змінних у кратному інтегралі.

  15. Формули Гріна, Гаусса - Остроградського, Стокса.

2. Теорія міри та інтеграла

  1. Конструкція міри Лебега.

  2. Теорема про у-адитивність міри Лебега – Стільтьєса

  3. Вимірні функції. Критерій вимірності.

  4. Збіжність за мірою та збіжність майже всюди.

    Міра Лебе́га на R n ^} - міра, що є розширенням міри Жордана на ширший клас множин, була введена Лебегом в 1902 році.

    Міра множини - спільна назва різних типів узагальнень понять евклідової довжини, площі плоских фігур та n -вимірного об'єму для загальніших просторів.

    Збіжність майже всюди - один з видів збіжності функцій у вимірних просторах або випадкових величин.



  5. Конструкція інтеграла Лебега.

  6. Теореми про граничний перехід під знаком інтеграла Лебега.

3. Функціональний аналіз

  1. Гільбертів простір. Ортонормовані базиси. Теорема про ортогональний розклад гільбертового простору.

    Інтеграл Лебега - це узагальнення інтегралу Рімана на більш широкий клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої і інтегровні за Ріманом, є також інтегровні за Лебегом, причому в такому випадку обидва інтеграли збігаються.

    Гі́льбертів про́стір (на честь Давида Гільберта) - це узагальнення поняття евклідового простору на нескінченновимірний випадок. Є лінійним простором над полем дійсних або комплексних чисел (прийменник «над» означає, що у такому просторі дозволені операції множення на скаляри із відповідних полів), із визначеним скалярним добутком.



  2. Загальний вигляд лінійного неперервного функціонала в гільбертовому просторі.

  3. Лінійні, неперервні, обмежені оператори. Норма оператора.

  4. Теорема Гана - Банаха.

  5. Теорема Банаха про обернений оператор.

  6. Компактні оператори. Теорема про спектр компактного оператора. Теореми Фредгольма.

4. Лінійна алгебра

  1. Матриці та дії над ними. Теорема про ранг матриці.

  2. Обернена матриця.

  3. Теорема про рівнопотужність баз у скінченновимірному векторному просторі.

    Ранг матриці - порядок найбільших відмінних від нуля мінорів цієї матриці (такі мінори називаються базисними).

    Векторний простір Ве́кторний (ліні́йний) про́стір - основне поняття лінійної алгебри, узагальнення множини всіх векторів на площині чи в просторі з операціями додавання векторів та множення вектора на скаляр.



  4. Формули зміни координат вектора і матриці лінійного перетворення при зміні бази.

  5. Лінійні перетворення. Ранг і дефект лінійного перетворення.

  6. Визначники, їх властивості та застосування.

  7. Жорданова нормальна форма лінійного оператора (матриці).

    Лінійним відображенням (лінійним оператором, лінійним перетворенням) - називається відображення векторного простору V над полем K в векторний простір W (над тим же полем K )



  8. Канонічний вигляд самоспряженого оператора в евклідовому просторі.

  9. Закон інерції дійсних квадратичних форм.

    Евклідів простір - скінченновимірний дійсний векторний простір E із скалярним добутком. Характеристики евклідового простору неформально можна вважати узагальненнями звичних та досліджуваних Евклідом 2- та 3-вимірних просторів.

    Квадрати́чна фо́рма - однорідний многочлен другого степеня від однієї чи декількох змінних.



  10. Критерій Сільвестра.

5. Алгебра та теорія чисел

  1. Поняття групи та кільця. Гомоморфізми та ізоморфізми.

  2. Теорема Лагранжа про порядки групи та підгрупи.

6. Аналітична геометрія



  1. Векторний та мішаний добутки векторів, вираз через координати векторів-співмножників.

  2. Рівняння прямої на площині і в просторі.

  3. Канонічні рівняння ліній другого порядку.

  4. Канонічні рівняння поверхонь другого порядку в просторі.

7. Диференціальні рівняння

  1. Теореми Пікара та Пеано для нормальної системи.

  2. Теорема про існування фундаментальної системи розв’язків лінійного однорідного рівняння довільного порядку та фундаментальної системи розв’язків лінійної однорідної системи.

  3. Стійкість розв’язку нормальної системи за Ляпуновим, асимптотична стійкість.

  4. Стійкість лінійної однорідної системи зі сталою матрицею.

  5. Теорема про стійкість за першим наближенням.

  6. Теореми Ляпунова про стійкість і асимптотичну стійкість.

8. Варіаційне числення

  1. Теореми про апроксимацію в нормованих і гільбертових просторах.

  2. Теорема Куна – Таккера.

  3. Необхідні умови локального екстремуму в гладких задачах.

  4. Необхідні умови локального екстремуму в задачах Лагранжа, Больца та ізопериметричній задачі.

  5. Принцип максимуму Понтрягіна в задачах Больца та оптимальної швидкодії.

9. Комплексний аналіз

  1. Аналітична функція в точці. Теорема про диференційовність функцій комплексної змінної. Умови Коші - Рімана.

  2. Теорема про аналітичність суми степеневого ряду в крузі збіжності.

  3. Теорема Коші про інтеграл від аналітичної функції.

  4. Теорема Коші про лишки.

  5. Основні поняття теорії аналітичного продовження.

10. Рівняння математичної фізики

  1. Постановки основних задач математичної фізики та їх фізичний зміст.

    Аналіти́чна фу́нкція -функція, яка збігається зі своїм рядом Тейлора в околі будь-якої точки області визначення.

    Математична фізика - загальна назва математичних методів дослідження і розв'язання диференціальних рівнянь, які виникають, зокрема, в фізиці. Теорія математичних моделей фізичних явищ; займає особливе положення і у математиці, і у фізиці, перебуваючи на стику цих наук.



  2. Задача Штурма – Ліувілля. Основні властивості власних функцій та власних значень.

  3. Гармонічні функції та їхні властивості.

  4. Поняття фундаментального розв'язку для рівняння теплопровідності.

11. Теорія ймовірностей

  1. Загальне означення випадкової величини та вектора, борелєва у-алгебра, критерій вимірності.

    Вла́сний ве́ктор (англ. eigenvector) квадратної матриці A (з вла́сним зна́ченням (англ. eigenvalue) λ ) - це ненульовий вектор v , для якого виконується співвідношення

    Рівня́ння теплопрові́дності - рівняння, що визначає закон зміни температури з часом при теплопередачі через теплопровідність.

    Випадкова величина (англ. Random variable) - одне з основних понять теорії ймовірностей.



  2. Функція розподілу та її властивості, породжена міра Лебега - Стілтьєса.

  3. Функції від випадкової величини, перетворення величин, апроксимація простими величинами.

  4. Приклади обчислення математичного сподівання (дискретний та неперервний випадки).

  5. Математичне сподівання добутку та дисперсія суми незалежних величин.

12. Математична статистика

  1. Теорема Крамера - Рао для скалярного параметра.

  2. Конзистентність оцінок максимальної вірогідності, інформація за Кульбаком.

  3. Розподіли ч2, Стьюдента і Фішера - Снедекора.

  4. Рангові критерії однорідності Вілкоксона, незалежності Спірмена.

  5. Найбільш потужні критерії. Лема Неймана - Пірсона.

13. Актуарна математика

  1. Елементарні типи страхування життя. Разові та річні нетто-премії.

  2. Елементарні типи страхових ануїтетів. Резерв нетто-премій.

  3. Ймовірність банкрутства. Модель Крамера - Лундберга.

14. Інформатика

  1. Поняття типу даних.

    Тип даних - характеристика, яку явно чи неявно надано об'єкту (змінній, функції, полю запису, константі, масиву тощо). Тип даних визначає множину припустимих значень, формат їхнього збереження, розмір виділеної пам'яті та набір операцій, які можна робити над даними.



  2. Перша теорема про рекурентні співвідношення.

Програму затверджено на засіданні Вченої ради механіко-математичного факультету, протокол № 7 від 18 лютого 2008 року.


Декан механіко-математичного факультету М.Ф.Городній


Скачати 54.73 Kb.

  • Теорія міри