Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Програма вступного фахового випробування з математики для громадян України, іноземних громадян та осіб без громадянства, при вступі на навчання для здобуття ступеня «магістр, спеціаліст»

Скачати 398.27 Kb.

Програма вступного фахового випробування з математики для громадян України, іноземних громадян та осіб без громадянства, при вступі на навчання для здобуття ступеня «магістр, спеціаліст»




Скачати 398.27 Kb.
Сторінка1/4
Дата конвертації28.04.2017
Розмір398.27 Kb.
ТипПрограма
  1   2   3   4

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ М. П. ДРАГОМАНОВА
Фізико-математичний інститут

Затверджено Рекомендовано

На засіданні Приймальної комісії Вченою радою

НПУ імені М. П. Драгоманова Фізико-математичного

інституту

Протокол № 8 Протокол № 5

від «25» березня 2015 р. від «18» березня 2015р.

Голова Приймальної комісії Голова Вченої ради



Андрущенко В. П. Працьовитий М.В.

Програма вступного фахового випробування

з математики

для громадян України, іноземних громадян та осіб без громадянства,

при вступі на навчання для здобуття ступеня

«магістр, спеціаліст»

на базі здобутого ступеня (ОКР)



«бакалавр»

напрям підготовки/спеціальність (шифр, назва)

8.04020101, 7.04020101 Математика

Київ - 2015



  1. ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА ВСТУПНОГО ФАХОВОГО ВИПРОБУВАННЯ (СПІВБЕСІДИ)

Метою вступного фахового випробування з математики та методики навчання математики є контроль рівня загальної математичної культури і перевірка фактичних знань, умінь та навичок з фундаментальних розділів математики та методики навчання математики, які є базовими для успішного продовження навчання для досягнення освітньо-кваліфікаційних рівнів «магістр» та «спеціаліст» спеціальності «МАТЕМАТИКА*».

Мето́дика (від грец. μέθοδος - «шлях через») навчання окремої навчальної дисципліни (предмета) - галузь педагогічної науки, що являє собою окрему теорію навчання (приватну дидактику).

Програма екзамену містить основні і найбільш важливі в ідейно-теоретичному і практичному відношенні питання з курсів лінійної алгебри, алгебри і теорії чисел, аналітичної і диференціальної геометрій, математичного аналізу, диференціальних рівнянь, комплексного аналізу, теорії ймовірностей і математичної статистики, методики навчання математики, методології математики.

Компле́ксний ана́ліз, або тео́рія фу́нкції компле́ксної змі́нної (ТФКЗ) - розділ математики, що вивчає функції, які залежать від комплексної змінної. Використовується у багатьох розділах математики, зокрема у теорії чисел, прикладній математиці та фізиці.
Теорія ймовірності - розділ математики, що вивчає закономірності випадкових явищ: випадкові події, випадкові величини, їхні функції, властивості й операції над ними. Математичні моделі в теорії ймовірності описують з деяким ступенем точності випробування (експерименти, спостереження, вимірювання), результати яких неоднозначно визначаються умовами випробування.
Диференціа́льні рівня́ння - рівняння, що встановлює залежність між незалежними змінними, числами (параметрами), невідомими функціями та їх похідними. Невідома функція може бути як скалярною, так і векторною.
Ліні́йна а́лгебра - важлива частина алгебри, що вивчає вектори, векторні простори, лінійні відображення та системи лінійних рівнянь. Векторні простори зустрічаються в математиці та її прикладних застосуваннях.
Математична статистика - розділ математики та інформатики, в якому на основі дослідних даних вивчаються імовірнісні закономірності масових явищ. Основними задачами математичної статистики є статистична перевірка гіпотез, оцінка розподілу статистичних імовірностей та його параметрів, вивчення статистичної залежності, визначення основних числових характеристик випадкових вибірок, якими є: вибіркове середнє, вибіркові дисперсії, стандартне відхилення. Прикладом перевірки таких гіпотез є з'ясування питання про те, змінюється чи не змінюється виробничий процес з часом. Прикладом оцінки параметрів є оцінка середнього значення статистичної змінної за дослідними даними. Для вивчення статистичної залежності використовують методи теорії кореляції. Загальні методи математичної статистики є основою теорії похибок.
Теорія чисел або вища арифметика - галузь математики, яка розпочалась з вивчення деяких властивостей натуральних чисел, пов'язаних з питаннями подільності і розв'язання алгебраїчних рівнянь у натуральних (а згодом також цілих) числах.
Математи́чний ана́ліз - фундаментальний розділ математики, що веде свій відлік від XVII століття, коли було строго сформульовано теорію нескінченно малих. Сучасний математичний аналіз включає в себе також теорію функцій, теорії границь і рядів, диференційне та інтегральне числення, диференціальні рівняння та диференціальну геометрію.

На іспиті студент повинен продемонструвати вміння формулювати означення, аксіоми і теореми, наслідки з них, наводити при необхідності ілюстрації, приклади, контрприклади, доводити теореми і застосовувати відповідні факти при розв'язуванні конкретних математичних та прикладних задач. Студент має показати глибоке володіння аксіоматичним методом, вміння аналітично мислити та розв’язувати задачі з використанням синтетичних та штучних прийомів.

Екзаменовані повинні володіти теоретико-множинною і логічною символікою, основними поняттями алгебри і теорії чисел (алгебраїчна операція, група, кільце, поле, векторний простір, лінійна залежність і лінійна незалежність, базис і розмірність простору, лінійні оператори, матриці і визначники, прості числа, подільність, конгруенції, многочлени та інше); мати чітке уявлення про основні числові системи і їх будову, володіти навичками розв'язування систем лінійних рівнянь, знати основні арифметичні застосування теорії конгруенцій тощо.

Лінійним відображенням (лінійним оператором, лінійним перетворенням) - називається відображення векторного простору V над полем K в векторний простір W (над тим же полем K )
Лінійно незалежні вектори (лінійна незалежність множини векторів) - множина векторів, які не утворюють тривіальних лінійних комбінацій рівних нулю.
Ве́кторний (ліні́йний) про́стір - основне поняття лінійної алгебри, узагальнення множини всіх векторів на площині чи в просторі з операціями додавання векторів та множення вектора на скаляр.
Розмі́рність, Вимір, Вимірність (англ. dimension) - кількість незалежних параметрів (вимірів), необхідних для опису стану об'єкта, або кількості ступенів вільності фізичної або абстрактної системи.
Просте число - це натуральне число, яке має рівно два різних натуральних дільники (лише 1 і саме число). Решту чисел, окрім одиниці, називають складеними. Таким чином, всі натуральні числа, більші від одиниці, розбивають на прості і складені.
Лінійне рівняння - рівняння, обидві частини якого визначаються лінійними функціями. Найпростіший випадок має вигляд

Екзаменовані мають володіти як груповою, так і структурною точками зору на геометрію, сучасним аксіоматичним методом, основними фактами евклідової та неевклідових геометрій; мати загальні уявлення про елементи багатовимірної геометрії афінного і евклідового просторів; вміти застосовувати теоретичні знання на практиці, зокрема, до доведення теорем і розв‘язання задач шкільного курсу геометрії;

Доведення у математиці - процедура, за допомогою якої встановлюють істинність гіпотези чи будь-якого твердження.
використовувати знання топології при означенні ліній, поверхонь, поверхонь з межею, геометричного тіла тощо. Це означає, що при відповіді екзаменовані повинні продемонструвати достатньо широкий погляд на геометрію та її методи, а також на елементарну геометрію з точки зору вищої, готовність викладати шкільну геометрію, незалежно від того на якій аксіоматиці вона побудована, тобто готовність працювати в школі за будь-яким посібником (підручником).

Екзаменовані повинні володіти основними поняттями математичного аналізу (функція, послідовність, ряд, границя, неперервність, похідна, інтеграл, міра тощо); мати чітке уявлення про метричний простір та основні елементарні функції дійсної та комплексної змінної;

Ко́мпле́ксні чи́сла - розширення поля дійсних чисел, зазвичай позначається C } . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума x + i y , де x і y - дійсні числа, i - уявна одиниця.
Аспект (лат. aspectus - вигляд, погляд) - поняття філософії (онтології, теорії пізнання). У філософії аспект розглядається
Елемента́рні фу́нкції - клас функцій, що містить в собі степеневі функції, многочлени, показникові функції, логарифмічні функції, тригонометричні функції, обернені тригонометричні функції, а також функції, що отримуються із перелічених вище за допомогою чотирьох арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення) та композиції, застосованих скінченну кількість разів.
Метри́чний про́стір - це пара ( X , d ), яка складається з деякої множини X елементів і відстані d , визначеної для будь-якої пари елементів цієї множини.
володіти навичками обчислення границь, похідних, інтегралів; вміти розв'язувати найпростіші типи диференціальних рівнянь; знати застосування диференціального та інтегрального числення, а також диференціальних рівнянь до розв'язування практичних задач.

З курсу теорії ймовірностей і математичної статистики абітурієнти мають: продемонструвати знання аксіоматичних основ теорії ймовірностей, володіння поняттями «ймовірність події», «ймовірність», «ймовірнісна міра», «ймовірнісний простір», вміння формулювати строгі математичні означення випадкової величини та функції розподілу, визначати числові характеристики (математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення) для дискретних та неперервно розподілених випадкових величин, бути знайомими з схемою Бернуллі, вміти виводити формулу повної ймовірності та формулу Байєса.

Проводяться n дослідів, у кожному з яких може настати певна подія («успіх») з ймовірністю p (або не настати - «неуспіх» - q = 1 - p). Задача - знайти ймовірність отримати m успіхів у досліді.
Функція розподілу ймовірностей - В теорії ймовірностей це функція, яка повністю описує розподіл ймовірностей випадкової величини.
Випадкова величина (англ. Random variable) - одне з основних понять теорії ймовірностей.
Станда́ртне відхи́лення (англ. standard deviation) або середнє квадратичне відхилення, позначається як S або σ. - у теорії ймовірності і статистиці найпоширеніший показник розсіювання значень випадкової величини відносно її математичного сподівання.

Екзаменовані мають володіти знаннями із загальної методики навчання математики в основній школі (методики навчання математики в 5-6 класах, алгебри і геометрії в 7-9 класах), вміти розв’язувати методичні задачі.

Вступне фахове випробування з «Математики та методики навчання математики» проводиться за білетами, кожен з яких містить п’ять завдань:



    • завдання 1 контролює знання основних фактів теорій відповідних курсів, здатність їх оперативно відтворювати, відчувати взаємозв'язок і органічну єдність понять, фактів та теорій. Зміст цього завдання черпається з розділу 3 “3.1. Математика: Основні факти та теореми”;

    • завдання 2 перевіряє знання студентів з основ методології математики, діагностує їх математичну культуру та кругозір, цілісність розуміння математики як науки, володіння фундаментальними математичними поняттями та математичними структурами, методами та загальними питаннями аксіоматики.
      Математична структура на множині - в математиці, загальна назва додаткових математичних об'єктів заданих на множині. Для визначення математичних структур задають відношення для елементів множини.
      Зміст цього завдання черпається з розділу 3 “3.2. Основи методології математики”;

    • завдання 3 контролює знання студентів з загальної методики навчання математики, методики навчання математики в 5-6 класах, алгебри і геометрії в 7-9 класах. Зміст цього завдання черпається з розділу 3 “3.3. Методика навчання математики”;

    • завдання 4 перевіряє здатність оперативно використовувати відомі з фундаментальних курсів алгоритми і синтетичним шляхом створювати нові. До уваги беруться вміння добре оформляти розв'язання задачі, аргументувати логічні кроки і використовувати відповідну символіку. Зміст цього завдання черпається з розділу 3 “3.4. Задачі на використання відомих алгоритмів”;

    • завдання 5 контролює вміння розв'язувати прикладні задачі (умови яких містять нематематичні поняття) шляхом створення і дослідження математичних моделей реальних об’єктів, процесів та явищ.
      Математи́чна моде́ль - система математичних співвідношень, які описують досліджуваний процес або явище. Математична модель має важливе значення для таких наук, як: економіка, екологія, соціологія, фізика, хімія, механіка, інформатика, біологія та ін.
      Зміст цього завдання черпається з розділу 3 “3.5. Прикладні задачі”.


  1. КРИТЕРІЇ ОЦІНЮВАННЯ ЗНАНЬ АБІТУРІЄНТА НА ВСТУПНОМУ ФАХОВОМУ ВИПРОБУВАННІ

(ТІЛЬКИ ДЛЯ ГРОМАДЯН УКРАЇНИ)

За шкалою університету

Визначення

Характеристика відповідей абітурієнта

на питання теоретичного змісту

на питання практичного змісту

100-123 бали

Низький

Абітурієнт не усвідомлює змісту питання білету, тому його відповідь не має безпосереднього відношення до поставленого питання. Наявна повна відсутність уміння міркувати.

Обсяг розв'язаних задач < 50%. У абітурієнта відсутня просторова уява, необхідна для розв'язування задачі.

124-149 балів

Задовільний

Відповіді на питання білету носять фрагментарний характер, характеризуються відтворенням знань на рівні запам'ятовування. Абітурієнт поверхово володіє умінням міркувати, його відповіді супроводжуються другорядними міркуваннями, які інколи не мають безпосереднього відношення до змісту запитання.

Обсяг розв'язаних задач у межах 50-75%. Абітурієнт погано володіє графічними засобами відтворення просторових властивостей предметів на площині

150-174 балів

Достатній

У відповідях на питання білету допускаються деякі неточності або помилки непринципового характеру. Абітурієнт демонструє розуміння навчального матеріалу на рівні аналізу властивостей. Помітне прагнення абітурієнта логічно розмірковувати при відповіді на питання білета.

Обсяг правильно розв'язаних задач >75%. Результат розв'язування задачі містить окремі неточності і незначні помилки.

175-200 балів

Високий

Абітурієнт дає повну і розгорнуту відповідь на питання білету. Його відповіді свідчать про розуміння навчального матеріалу на рівні аналізу закономірностей, характеризуються логічністю і послідовністю суджень, без включення випадкових і випадання істотних з них.

Обсяг правильно розв'язаних задач =100%. Кожна розв'язана задача супроводжується ґрунтовним поясненням. Абітурієнт без помилок відтворює просторові властивості предметів на площині

Якщо абітурієнт під час вступного випробування з конкурсного предмету набрав від 100-123 балів, то дана кількість балів вважається не достатньою для допуску в участі у конкурсному відборі до НПУ імені М. П. Драгоманова.

Оцінювання рівня знань абітурієнтів проводиться кожним із членів предметної комісії окремо, відповідно до критеріїв оцінювання. Загальний бал оцінювання рівня знань абітурієнта виводиться за результатами обговорення членами комісії особистих оцінок відповідей абітурієнтів. Бали (оцінки) вступного фахового випробування виголошуються головою предметної комісії усім абітурієнтам, хто приймав участь у випробуванні після закінчення іспиту.




  1. КРИТЕРІЇ ОЦІНЮВАННЯ СПІВБЕСІДИ

Фахова комісія аналізує результати співбесіди методом експертної оцінки й колегіально приймає рішення: про «рекомендовано до зарахування» або «не рекомендовано до зарахування», з урахуванням співбесіди з мови (української, російської).


  1. ЗМІСТ ПРОГРАМИ ФАХОВОГО ВИПРОБУВАННЯ (СПІВБЕСІДИ)


4.1. МАТЕМАТИКА: ОСНОВНІ ФАКТИ ТА ТЕОРЕМИ

4.1. 1. Алгебра і теорія чисел

  1. Групи та їх підгрупи. Фактор-групи. Суміжні класи і теорема Лагранжа.

  2. Гомоморфізми та ізоморфізми алгебраїчних структур.

  3. Конгруенції. Їх властивості та застосування. Лінійні конгруенції з одним невідомим.

  4. Розв’язність алгебраїчних рівнянь п-го степеня в радикалах.

  5. Многочлени над числовими полями: C, R, Q (звідність та незвідність, канонічна форма).Основна теорема алгебри.

  6. Корені многочлена (існування, кількість, кратність). Теорема Безу.
    Канонічна форма - така форма, що однозначно репрезентує об'єкт. Її часто плутають зі схожим поняттям нормальна форма. В булевій алгебрі деяка булева функція може бути виражена у канонічному вигляді з використанням мінтермів або макстермів.
    Алгебраїчна система (алгебраїчна структура) - в математиці це непорожня множина з заданим на ній набором операцій та відношень, що задовільняють деякій системі аксіом.
    Теорема Безу - теорема про остачу від ділення многочлена на двочлен, названа на честь французького математика Етьєна Безу.


  7. Системи лінійних однорідних рівнянь, існування ненульового розв’язку.

  8. Система трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими. Методи її розв’язання.

  9. Числові функції. Число і сума натуральних дільників. Ціла і дробова частини дійсного числа. Функція Ейлера.

  10. Лінійні оператори. Власні значення та власні вектори. Інваріантні підпростори.


4.1.2. Геометрія

  1. Векторний добуток векторів, його властивості та застосування.

  2. Метод координат на площині. Полярна система координат.
    Вла́сний ве́ктор (англ. eigenvector) квадратної матриці A (з вла́сним зна́ченням (англ. eigenvalue) λ ) - це ненульовий вектор v , для якого виконується співвідношення
    Функція Ейлера φ ( n ) , де n - натуральне число, цілочисельна функція рівна кількості натуральних чисел, не більших за n і взаємно простих з ним.
    Дійсні числа - елементи числової системи, яка містить у собі раціональні числа і, в свою чергу, є підмножиною комплексних чисел. Математична абстракція, яка виникла з потреб вимірювання геометричних і фізичних величин навколишнього світу, а також виконання таких математичних операцій як добування кореня, обчислення логарифмів, розв'язування алгебраїчних рівнянь.
    Полярна система координат - двовимірна система координат, в якій кожна точка на площині визначається двома числами - кутом та відстанню. Полярна система координат особливо корисна у випадках, коли відношення між точками найпростіше зобразити у вигляді відстаней та кутів; в більш поширеній, Декартовій, або прямокутній системі координат, такі відношення можна встановити лише шляхом застосування тригонометричних рівнянь.
    Пряма, коло, еліпс, гіпербола та парабола в полярних координатах.

  3. Оптична властивість параболоїда обертання та її застосування.

  4. Теорема про геометричний зміст лінійної нерівності з двома змінними.

  5. Основна теорема про рухи площини та її застосування. Аналітичний вираз рухів і їх класифікації.

  6. Алгебраїчний метод розв’язання задач на побудову. Критерій розв'язності задачі на побудову циркулем та лінійкою. Класичні задачі на побудову, які не розв’язуються за допомогою циркуля та лінійки.

  7. Натуральні рівняння гладкої кривої та їх роль.

  8. Аксіома Лобачевского, кут паралельності, функція Лобачевского. Сума кутів трикутника на площині Лобачевского.

  9. Класифікація правильних многогранників в R3.
    Пра́вильний многогра́нник або Плато́нове ті́ло - опуклий многогранник з максимально можливою симетрією, тобто всі його грані - рівні правильні многокутники, а всі вершини рівновіддалені від деякої точки, яку означають центром.
    Теорема Ейлера.

  10. Неперервні відображення топологічних просторів. Критерій неперервності відображення.


4.1.3. Математичний аналіз

  1. Теорема про існування точної верхньої (точної нижньої) межі множини.

  2. Зчисленні множини. Теорема про існування незчисленних множин. Множини потужності континуум.

  3. Перша і друга важливі границі.

  4. Теорема Кантора про зв’язок рівномірної неперервності функції з неперервністю.
    Топологічний простір - це впорядкована пара (X, Γ), де X - множина, а Γ - система підмножин множини X (їх називають відкритими), що задовільняє таким умовам: Порожня множина ∅ та множина X належать Γ.
    Непере́рвна фу́нкція - одне з основних понять математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі.


  5. Екстремуми функції однієї змінної. Необхідна умова екстремуму. Достатні умови екстремуму.

  6. Визначений інтеграл із змінною верхньою межею інтегрування. Формула Ньютона-Лейбніца.

  7. Диференційовність функції багатьох змінних. Достатня умова диференційовності функції.

  8. Знакозмінні ряди. Теорема Лейбніца. Абсолютно та умовно збіжні числові ряди.

  9. Властивості рівномірно збіжних функціональних рядів.

  10. Інтеграл від функції комплексної змінної. Інтегральна теорема Коші.
    Функціональний ряд - ряд, кожен член якого є деякою функцією від однієї чи багатьох незалежних змінних.
    Інтегра́льна теоре́ма Коші́ - одна з основних теорем аналітичних функцій, сформульована та доведена Оґюстеном-Луї Коші.


  11. Повнота метричних просторів .

  12. Компактні множини в метричному просторі. Критерій компактності множини в просторах або .

  13. Теорема Банаха про нерухому точку стискуючого відображення та її застосування.

  14. Різні означення аналітичної функції та їх еквівалентність.
    Нерухома точка відображення множини в себе - точка, яка відображається сама в себе.
    Аналіти́чна фу́нкція -функція, яка збігається зі своїм рядом Тейлора в околі будь-якої точки області визначення.


  15. Теореми про структуру загального розв’язку лінійного однорідного та неоднорідного рівняння вищого порядку.

  1   2   3   4


Скачати 398.27 Kb.

  • Затверджено ” Рекомендовано
  • Програма вступного фахового випробування з математики
  • «магістр, спеціаліст»
  • ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА ВСТУПНОГО ФАХОВОГО ВИПРОБУВАННЯ (СПІВБЕСІДИ) Метою вступного фахового випробування з математики та методики навчання
  • КРИТЕРІЇ ОЦІНЮВАННЯ ЗНАНЬ АБІТУРІЄНТА НА ВСТУПНОМУ ФАХОВОМУ ВИПРОБУВАННІ (ТІЛЬКИ ДЛЯ ГРОМАДЯН УКРАЇНИ)
  • За шкалою університету Визначення Характеристика відповідей абітурієнта
  • 124-149 балів Задовільний
  • 150-174 балів Достатній
  • 175-200 балів Високий
  • КРИТЕРІЇ ОЦІНЮВАННЯ СПІВБЕСІДИ
  • ЗМІСТ ПРОГРАМИ ФАХОВОГО ВИПРОБУВАННЯ (СПІВБЕСІДИ) 4.1. МАТЕМАТИКА: ОСНОВНІ ФАКТИ ТА ТЕОРЕМИ 4.1. 1. Алгебра і теорія чисел
  • Полярна система координат