Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Програма вступного іспиту до аспірантури математичний аналіз

Скачати 116.66 Kb.

Програма вступного іспиту до аспірантури математичний аналіз




Скачати 116.66 Kb.
Сторінка1/2
Дата конвертації03.06.2017
Розмір116.66 Kb.
ТипПрограма
  1   2

Програма вступного іспиту ДО АСПІРАНТУРИ
Математичний аналіз
Числа. Поняття числа. Дедекіндові перерізи. Дійсні числа.
Дійсні числа Дійсні числа - елементи числової системи, яка містить у собі раціональні числа і, в свою чергу, є підмножиною комплексних чисел. Математична абстракція, яка виникла з потреб вимірювання геометричних і фізичних величин навколишнього світу, а також виконання таких математичних операцій як добування кореня, обчислення логарифмів, розв'язування алгебраїчних рівнянь.
Комплексні числа.
Ко́мпле́ксні чи́сла - розширення поля дійсних чисел, зазвичай позначається C } . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума x + i y , де x і y - дійсні числа, i - уявна одиниця.

Функції. Властивості неперервних на компакті функцій. Диференційовні функції однієї та багатьох змінних, їх властивості. Формула Тейлора та її застосування. Дослідження на екстремум і умовний екстремум функцій багатьох змінних. Диференційовні відображення та їх властивості. Теорема про неявну функцію ([1, гл. 1-2,8,9,14,15]; [3. гл. 9]; [5, розд.1,2,3]).
Ряди. Числові та диференціальні ряди, ознаки збіжності.
Неявна функція - математична функція, задана за допомогою рівняння.
У математиці Ряд Те́йлора - представлення функції у вигляді нескінченної суми доданків, які обчислюються зі значень функцій похідних в одній точці.
Ознаки збіжності рядів - ознаки, що доводять або спростовують збіжність числового ряду. Нехай дано ряд
Степеневі ряди та їх властивості. Теореми Вейєрштрасса про апроксимацію ([2, гл. 1]; [3. гл. 7]; [4, розд.10,11]).
Визначений інтеграл. Умови існування. Зв’язок з невизначеним інтегралом. Застосування ([1, гл. 10]; [4. гл. 7, 9]).
Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли. Теорема існування, заміна змінних і обчислення кратних інтегралів. Формули Гріна, Гаусса-Остроградського і Стокса. Умова незалежності криволінійного інтегралу від шляху інтегрування ([2, гл. 4-7]; [5, розд.5,6]).
Невласні інтеграли і інтеграли, залежні від параметра. Ознаки збіжності, диференціювання і інтегрування за параметром. Ейлерові інтеграли ([2, гл. 3, 9]).
Елементи теорії множин.
Теорема існування, в математиці - це теорема, що починається з утвердження «існує…», або, у більш загальному вигляді, «для всіх х та у… існує…». Це означає, що в більш формальній термінології логіки першого порядку, це є теоремою з попереджанною нормальною формою за участи квантифікації існування.
У математиці поверхне́вий інтегра́л - це визначений інтеграл, котрий береться по поверхні (яка може бути зігнутою множиною в просторі); його можна розглядати як подвійний інтегральний аналог лінійного інтегралу.
Теорія множин Тео́рія множи́н - розділ математики, в якому вивчаються загальні властивості множин (переважно нескінченних). Виділення теорії множин в самостійний розділ математики відбулося на рубежі XIX і XX століть.
Скінченні множини.
Скінченна множина - це множина, кількість елементів якої є скінченна, тобто існує натуральне число k, що є числом елементів цієї множини. В протилежному випадку множина є нескінченною. Визначення 2. Множина, що не має рівнопотужної з нею власної підмножини, а також порожня множина, називається скінченною
Відображення множин. Еквівалентні множини. Порівняння потужностей. Зчисленні множини. Теорема про потужність підмножини ([7, гл. 1]; [8. гл.1-3]).
Метричні і топологічні простори. Збіжність у метричних просторах, повнота і поповнення.
Топологічний простір - це впорядкована пара (X, Γ), де X - множина, а Γ - система підмножин множини X (їх називають відкритими), що задовільняє таким умовам: Порожня множина ∅ та множина X належать Γ.
Фу́нкція (відображення, трансформація, оператор) в математиці - це правило, яке кожному елементу з першої множини (області визначення) ставить у відповідність один і тільки один елемент з другої множини.
Метри́чний про́стір - це пара ( X , d ), яка складається з деякої множини X елементів і відстані d , визначеної для будь-якої пари елементів цієї множини.
Компакти. Критерій компактності. Стискаючі відображення. Основні поняття теорії топологічних просторів. Приклади [8, гл.1-5].
Міра і інтеграл. Поняття алгебри та σ-алгебри множин і абстрактної міри. Теорема Каратеодорі про продовження міри. Міри Лебега і Лебега - Стілтьєса. Вимірні функції та їх властивості. Різні види збіжності послідовності вимірних функцій та їх зв’язок. Побудова і властивості інтегралу Лебега, порівняння з інтегралом Рімана.
Вимірні функції - певний клас функцій заданих на множинах з мірою. Широко використовуються в теорії міри і теорії ймовірностей.
Інтеграл Лебега - це узагальнення інтегралу Рімана на більш широкий клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої і інтегровні за Ріманом, є також інтегровні за Лебегом, причому в такому випадку обидва інтеграли збігаються.
Теореми про граничний перехід під знаком інтегралу. Добуток мір і теорема Фубіні. Функції обмеженої варіації і поняття заряду. Інтеграл Стілтьєса. Абсолютно неперервні функції. абсолютна неперервність і сингулярність мір. Теорема Радона-Никодима. Диференціювання монотонної функції. похідна від інтегралу за верхньою межею. інтеграли по довільних мірах ([7, гл. 3-6,8,9]; [8. гл. 5, 6]; [11, гл.1-5]).

Функції комплексної змінної. Елементарні функції комплексної змінної.
У теорії міри Теоремою Фубіні, Теоремою Тонеллі, Теоремою Тонеллі - Фубіні називається ряд пов'язаних тверджень, що зводять обчислення подвійного інтеграла на добутку мір до обчислення повторних інтегралів.
Непере́рвна фу́нкція - одне з основних понять математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі.
Інтеграл Стілтьєса (або інтеграл Рімана-Стілтьєса) - узагальнення визначеного інтеграла, дане в 1894 році голландським математиком Томасом Стілтьєсом.
Інтеграл Рімана Інтегра́л Рі́мана - одне з найважливіших понять математичного аналізу, є узагальненням поняття суми, яке знаходить широке застосування в багатьох галузях математики. Був уведений Бернгардом Ріманом в 1854 році, і є однією з перших формалізацій поняття інтегралу.
Моното́нна фу́нкція - це функція, приріст якої не змінює знаку, тобто завжди або невід'ємний, або недодатній. Якщо при цьому приріст ще і не дорівнює нулю, то функція називається стро́го моното́нною.
Елемента́рні фу́нкції - клас функцій, що містить в собі степеневі функції, многочлени, показникові функції, логарифмічні функції, тригонометричні функції, обернені тригонометричні функції, а також функції, що отримуються із перелічених вище за допомогою чотирьох арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення) та композиції, застосованих скінченну кількість разів.
Умови аналітичності функції. Теорема і формула Коші. Принцип максимуму модуля. Розклад в ряд Тейлора і формула Коші. Класифікація особливих точок. Приклади найпростіших конформних відображень. Основні теореми про конформні відображення. Обчислення визначених інтегралів за допомогою лишків.

Властивість єдиності аналітичних функцій. Аналітичне продовження. Поняття ріманової поверхні.

Особлива точка - точка голоморфної функції, в якій функція не визначена, її границя нескінченна або границі не існує.
Аналіти́чна фу́нкція -функція, яка збігається зі своїм рядом Тейлора в околі будь-якої точки області визначення.
Конформне відображення - неперервне відображення, що зберігає кути. Більш формально, неперервне відображення області G n-вимірного евклідового простору в n-вимірний евклідовий простір називається конформним в точці z 0 ∈ G \in G} якщо воно в цій точці має властивість збереження кутів, тобто будь-яка пара неперервних кривих l 1 , l 2 ,l_} , що розташовані в G і перетинаються в точці z 0 } під кутом α . (Мають дотичні в точці z 0 } , що утворюють між собою кут α ), при даному відображенні переходить в пару неперервних кривих L 1 , L 2 , ,L_,} що перетинаються в точці w 0 = f ( z 0 ) =f(z_)} під тим же кутом α . Неперервне відображення області G називається конформним, якщо воно є конформним в кожній точці цієї області.
Інтеграл - центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі.
Ріманова поверхня - традиційна в комплексному аналізі назва 1-вимірного комплексного многовиду. Такі поверхні почав систематично вивчати Бернгард Ріман. Прикладами ріманових поверхонь є комплексна площина і сфера Рімана.
Цілі функції, їх порядок і тип. Теорема Вейєрштрасса. Мероморфні функції. Теорема Міттаг-Леффера ([9, гл. 5-12,14-15]; [6, розд. 8-13]).


Лінійні нормовані простори. Поняття лінійного нормованого і гільбертового просторів, приклади і основні властивості. Простори С, Lp, еp; їх повнота і щільні множини цих просторів. Лінійні неперервні функціонали. Теорема Хана-Банаха. спряжений простір, його властивості. Слабка топологія в спряженому просторі. Ортонормовані системи векторів у гільбертовому просторі.
Меромо́рфна фу́нкція (від грец. μέρος - дріб, грец. ὅλος - вид) - у комплексному аналізі голоморфна функція, визначена на підмножині Ω ⊂ C } , і у кожній особливій точці має полюс, який не має граничних точок.
Гі́льбертів про́стір (на честь Давида Гільберта) - це узагальнення поняття евклідового простору на нескінченновимірний випадок. Є лінійним простором над полем дійсних або комплексних чисел (прийменник «над» означає, що у такому просторі дозволені операції множення на скаляри із відповідних полів), із визначеним скалярним добутком.
Розклад вектора за ортонормованим базисом. Рівність Парсеваля. Ортогональні поліноми. Поліноми Ерміта та Лагерра.
Ортогональні поліноми або ортогональні многочлени - послідовність поліномів n-го порядку f n ( x ) (x)} , заданих на відрізку [a, b], що задовольняє умовам
Рівність Парсеваля - аналог теореми Піфагора у векторних просторах з скалярним добутком. Початково подібне твердження для простору періодичних функцій, було сформульоване Парсевалем у 1799 році.
Поліноми Ерміта (англ. Hermite polynomials) - ортогональні поліноми, що використовуються в теорії ймовірностей, математичній фізиці при розв'язку рівняння дифузії, чисельному аналізі та квантовій механіці (як власні функції квантового гармонічного осцилятора).
Ряди Фур’є та їх зв’язок з розкладом вектора за ортонормованим базисом. Мінімальна властивість частинних сум ряду Фур’є. умови точкової збіжності рядів Фур’є за тригонометричною системою функцій ([8, гл. 1-4,7,8]; [11, гл. 6-7]).
Оператори. Поняття лінійного неперервного оператора, найпростіші властивості таких операторів. Простір лінійних обмежених операторів, теорема Банаха-Штейнгауза. Самоспряженність, унітарні та нормальні оператори. Ортопроетори. Резольвента і спектр оператора.
Спектр оператора - множина чисел, що характеризує лінійний оператор. Використовується в лінійній алгебрі, функціональному аналізі та квантовій механіці.
Оператори Гільберта-Шмідта та інтегральні оператори. Компактні (цілком неперервні) оператори, їх властивості. Теорема Фредгольма про розв’язність рівняння з компактними операторами. інтегральне рівняння Фредгольма 2-го роду, теорія розв’язності. Оператори Вольтерра. Самоспряжені компактні оператори, їх спектральний розклад.
Цілкóм неперéрвний оперáтор - оператор, що відображає банахів простір в себе, називається цілком неперервним, якщо він кожну обмежену множину переводить у відносно компактну.
Інтегральні оператори з ермітовим ядром, теорема про розклад за їх власними функціями. Інтегральні оператори з додатно визначеним ядром. Функції від операторів ([8, гл. 2,4,5-6,9]; [10, гл. 20]; [11, гл.8-10]).
Узагальнені функції. Простір D і поняття узагальненої функції. Основні операції над узагальненими функціями. Простір S і поняття узагальненої функції повільного зростання. Поняття про перетворення Фур’є. Перетворення Фур’є узагальнених функцій ([8, гл. 4,8]; [11, гл. 11]).
  1   2


Скачати 116.66 Kb.

  • Формула Тейлора
  • Відображення множин
  • Вимірні функції
  • Рівність Парсеваля . Ортогональні поліноми . Поліноми Ерміта