Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Розділ Інтеграл функції комплексної змінної Визначення інтеграла

Розділ Інтеграл функції комплексної змінної Визначення інтеграла




Сторінка1/5
Дата конвертації18.05.2017
Розмір0.64 Mb.
  1   2   3   4   5

Зміст

С.



Розділ 5. Інтеграл функції комплексної змінної
5.1. Визначення інтеграла

Означення інтеграла від функції комплексної змінної і його властивості аналогічні означенню і властивостям криволінійного інтеграла функції дійсної змінної.

Озна́чення, ви́значення чи дефіні́ція (від лат. definitio) - роз'яснення чи витлумачення значення (сенсу) терміну чи поняття. Слід зауважити, що означення завжди стосується символів, оскільки тільки символи мають сенс що його покликане роз'яснити означення.

Анало́гія - (грец. αναλογια - «відповідність») - подібність, схожість у цілому відмінних предметів, явищ за певними властивостями, ознаками або відношеннями.

Математи́чний ана́ліз - фундаментальний розділ математики, що веде свій відлік від XVII століття, коли було строго сформульовано теорію нескінченно малих. Сучасний математичний аналіз включає в себе також теорію функцій, теорії границь і рядів, диференційне та інтегральне числення, диференціальні рівняння та диференціальну геометрію.



Рисунок.22


Дамо означення інтеграла у комплексній області. Нехай задана функція w=f(z) неперервна в деякій області D площини комплексної змінної Z. Виберемо у цій області яку-небудь гладку (гладкою кривою називається неперервна крива, напрямок дотичної до якої неперервно змінюється разом зі зміною розміщення точки дотику) криву С з початком у точці z0 і кінцем у точці z.
Розіб'ємо криву С довільно точками на n частин елементарних дуг у напрямку від початкової точки до кінцевої (рис.22). У кожній частині виберемо деяку точку та обчислимо значення функції .

Складемо інтегральну суму



,

де . Якщо границя цієї суми при й існує незалежно від того, яким способом розбивається крива С і вибираються точки ,то вона називається інтегралом від функції по кривій С і позначається .

Інтеграл від функції комплексної змінної може бути виражений звичайними криволінійними інтегралами. Позначимо

і

.

Тоді

(36)

де .

Суми у правій частині формули (36) є інтегральні суми відповідних криволінійних інтегралів, що, за нашими умовами, визначені за теоремою існування криволінійного інтеграла.

Існува́ння (від екзистенція) - центральне поняття екзистенціалізму, унікальна особистісна сутність людини, що втілює в собі духовну, психоемоційну неповторність особи.

Тому, спрямовуючи до нуля, одержимо, що обидві суми правої частини рівності (36) прямують відповідно до границь

і .

Отже,

. (37)

За допомогою формули (37) обчислення інтеграла функції комплексної змінної зводиться до обчислення двох звичайних криволінійних інтегралів.

Обчи́слення - є гілкою математики, зосередженою на функціях, похідних, інтегралах, і нескінченному ряду чисел. Цей предмет являє собою важливу частину сучасної математичної освіти. Воно складається з двох основних галузей - диференціального і інтегрального численнь, які пов'язують основні теореми обчислення.

Якщо дуга C задана параметрично тобто а початкова і кінцева точки дуги відповідають при цьому значенням параметра і і з огляду на гладкість кривої існують і , то, користуючись формулою (37), обчислення інтеграла зводиться до обчислення інтеграла від комплексної функції дійсної змінної



(38)

Дійсно,





Приклад.

Пара́метр (від дав.-гр. παραμετρέω) - відмірюю, розмірюю)(рос. параметр, англ. parameter, нім. Parameter m, Kennwert m, Kenngrösse f, Kennzahl f) - величина, що нею характеризують якусь властивість, стан, розмір або форму об'єкта, робочого тіла, процесу, явища або системи тощо.

Обчислити , якщо шлях інтегрування C є верхня половина еліпса .

Рисунок 23



Розв’язання. Запишемо рівняння верхньої половини еліпса в параметричній формі: а в комплексній формі: , де дійсна змінна t змінюється від 0 до π.

Користуючись формулою (38), знайдемо значення інтеграла: .


5.2.Властивості інтеграла
З означення інтеграла функції комплексної змінної випливають її властивості, аналогічні властивостям криволінійного, а також звичайного визначеного інтеграла:

1.

Інтеграл - центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі.

Інтеграл по контуру від суми скінченного числа неперервних в області функцій дорівнює сумі інтегралів від кожної з цих функцій по тому ж самому контуру.



(39)

2.Сталий співмножник (комплексний) підінтегральної функції можна винести за знак інтеграла:



(40)

3. Якщо змінити напрямок контура інтегрування, то інтеграл змінить знак на протилежний:



(41)

Тут - крива, що збігається з , але обходиться у протилежному напрямку.


4. Якщо контур інтегрування розбитий на скінченне число частин

то

(42)

Усі ці властивості доводяться, виходячи з означення інтеграла як межі інтегральної суми.

Доведемо ще одну важливу властивість інтеграла.

5. Теорема про оцінку модуля інтеграла. Якщо є найбільше значення модуля функції на контурі і - довжина цього контура, то

(43)

Доведення. Для інтегральної суми виконуються такі нерівності:

,
де - довжина ламаної, що вписана в криву (рис. 24).

Нерівність - твердження про те, що два математичні об'єкти є різними, тобто не дорівнюють один одному. Для елементів упорядкованих множин нерівність може додатково стверджувати, що один із двох елементів менший або більший від іншого.

Переходячи до границі при в останніх нерівностях, одержимо нерівність (43).




Рисунок 24
5.3. Теорема Коші
У загальному випадку інтеграл залежить як від функції,так і від контура інтегрування . З'ясуємо, за яких умовах величина інтеграла не залежить від форми шляху інтегрування, а залежить від точок кінця і початку кривої інтегрування. Такою умовою, як ми зараз доведемо, є аналітичність підінтегральної функції .

Теорема Коші. Якщо функція аналітична в однозв'язній області і її похідна неперервна у цій області, то для всіх кусково-гладких кривих , що лежать в області і мають спільні кінцеві точки, інтеграл має одне і те саме значення.

Аналітика (від грец. άναλυτικά ) - основа інтелектуальної, логіко-мисленевої діяльності, спрямованої на рішення практичних завдань. У її основі лежить не стільки принцип констатації фактів, скільки принцип «випередження подій», що дозволяє організації або індивідові прогнозувати майбутній стан об'єкту аналізу.



Доведення. Нехай

Тоді з огляду на співвідношення (37)

незалежність інтеграла від шляху інтегрування визначається незалежністю від шляху інтегрування криволінійних інтегралів правої частини рівності. Але відомо, що для незалежності від шляху інтегрування криволінійного інтеграла необхідно і достатньо, щоб у кожній точці області виконувалося співвідношення

(44)

за умови, що і мають безперервні частинні похідні у розглянутій області.

В математиці, часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних - це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.

Для криволінійних інтегралів і співвідношення (44) набере вигляду:

. (45)
Неперервність частинних похідних функцій і випливає з неперервності . Очевидно, що рівності (45) збігаються з умовами Даламбера-Ейлера, що виконуються в будь-якій точці області через аналітичність у ній функції . Таким чином, теорема доведена.

Відзначимо, що теорему Коші можна сформулювати інакше. Якщо функція аналітична в однозв'язній області , то інтеграл від цієї функції, взятий вздовж будь-якого замкненого контура , що належить до області , дорівнює нулю:



(46)

(кружок в інтегралі позначає замкненість шляху інтегрування).


5.4. Теорема Коші для багатозв'язаної області
Розглянемо теорему Коші на випадок багатозв’язної області. Нехай дана багатозв’язна область , обмежена зовнішнім і внутрішніми замкненими контурами (рис. 25).

Теорема. Якщо функція аналітична в багатозв’язній замкненій області , що обмежена контурами , то інтеграл, обчислений по всій границі області, яка обходиться так, що область залишається з одного боку, дорівнює нулю.

Доведення. Проведемо в області додаткові контури (розрізи рис. 25), що перетворюють, в однозв’язну область. Позначимо через границю області, що складається із сукупності контурів і розрізів .

Функція є аналітичною в однозв’язаній області , тому за теоремою Коші



(47)

Виберемо напрямок обходу на контурі . Додатним напрямком обходу будемо вважати такий напрямок, при русі по якому область увесь час залишається ліворуч. Виходячи з цього, під час руху по контуру в додатному напрямку контур буде проходиться в додатному, контури - у від’ємному, а - двічі у протилежних напрямках.



Рисунок 25

З огляду на властивості 1,3 інтеграли функції комплексної змінної рівності (46) можемо записати так:

або


, тому що.

Теорема Коші для багатозв’язної області доведена.

Відмітимо, що при доведенні теореми ми розглядали додатний напрямок обходу границі області , для якого необхідно, щоб зовнішній контур проходив проти годинкової стрілки, а внутрішні - за годинковою стрілкою.

Якщо змінити напрямок інтегрування на протилежне по внутрішніх контурах , то формулу (47) можна записати у вигляді



. (48)

Теорему Коші для багатозв’язаної області можна сформулювати.



Теорема Коші. Якщо функція аналітична в багатозв’язній замкненій області, то інтеграл по зовнішньому контуру дорівнює сумі інтегралів по внутрішніх контурах за умови, що обхід усіх контурів відбувається в одному напрямку.

Детальніший аналіз показує, що теорема Коші для багатозв’язної області залишається в силі , якщо аналітична у відкритій області і неперервна в .



Приклад. Обчислити , де - замкнений контур, що містить усередині себе точку . Розглянемо усередині контура коло з центром у точці і радіусом . Позначимо його .

Рисунок 26

Функція аналітична в області, обмеженої контурами і . Отже, за теоремою Коші, з огляду на формулу (48), можна записати . На колі , тоді
і

.Таким чином, інтеграл по будь-якому замкненому контуру, що (рис. 26) охоплює точку z=2, дорівнює .
5.5. Невизначений інтеграл функції комплексної змінної
Із доведеної у 5.

Неви́значений інтегра́л для функції f - це сукупність усіх первісних цієї функції.

3 теореми Коші випливає, що якщо функція аналітична в однозв'язній області , то не залежить від форми шляху інтегрування, а його величина залежить лише від початкової точки і кінцевої точки z кривої . Тому якщо вважати точку сталою, а точку z -змінною, то інтеграл буде однозначною функцією змінної z :

(через позначена змінна інтегрування) . Для функції можна довести теорему 1.



Теорема 1.Якщо функція аналітична в однозв'язній області , то інтеграл = . (49)

Розглянемо як функцію своєї верхньої межі функцію, що є аналітичною функцією у тій самій області і похідна від неї дорівнює підінтегральній функції .

Доведення цієї теореми ми не наводимо, читач може його знайти в кожному підручнику, зазначеному в списку рекомендованої літератури.

Підру́чник (калька з пол. podręcznik) - книжка, у якій системно викладено інформацію з певної галузі знань і яку використовують в системі освіти на різних рівнях, а також для самостійного навчання. Різновид навчального видання.



Означення. Функція , похідна від якої дорівнює заданій функції , називається первісною цієї функції. Тому інтеграл від , що розглядається як функція своєї верхньої межі, є однією з первісних функцій.

Аналогічно тому, як було доведено для первісних функцій дійсної змінної, для функцій комплексної змінної можна довести таку теорему;



Теорема 2. Будь-які дві первісні однієї і тієї самої функції відрізняються одна від одної на сталий комплексний доданок.

Доведення. Нехай Ф(z) і F(z) первісні однієї і тієї самої функції , тобто

і . Позначимо різницю через :

і . (50)

Але якщо то за формулою (7) для похідної, маємо



(51)

Враховуючи рівності (50) і (51), знаходимо



Таким чином, функції і , а отже, і стала, тобто =C. Що і було необхідно довести.



Означення. Сукупність усіх первісних для функції називається невизначеним інтегралом і позначається символом .

Нехай F(z) є первісною функції . Інтеграл також є первісною, і, отже, відрізняється від на сталу

(див. теорему 2)

= С.

Якщо у рівності (52) покладемо z=, то, з огляду на рівність =0, одержимо і C= -F. Звідси = - F .

Отримана формула і є формулою Ньютона-Лейбніца.

.

  1   2   3   4   5



  • Зміст С. Розділ 5. Інтеграл функції комплексної змінної 5.1. Визначення
  • 5.2.Властивості інтеграла З означення інтеграла функції комплексної змінної випливають її властивості, аналогічні властивостям криволінійного, а також звичайного визначеного інтеграла
  • 5. Теорема про оцінку модуля інтеграла.
  • Доведення.
  • Теорема Коші.
  • 5.4. Теорема Коші для багато звязаної області
  • 5.5. Невизначений інтеграл
  • Теорема 2.