Розділ 5. Інтеграл функції комплексної змінної
5.1. Визначення інтеграла
Означення інтеграла від функції комплексної змінної і його властивості аналогічні означенню і властивостям криволінійного інтеграла функції дійсної змінної. Озна́чення, ви́значення чи дефіні́ція (від лат. definitio) - роз'яснення чи витлумачення значення (сенсу) терміну чи поняття. Слід зауважити, що означення завжди стосується символів, оскільки тільки символи мають сенс що його покликане роз'яснити означення. Анало́гія - (грец. αναλογια - «відповідність») - подібність, схожість у цілому відмінних предметів, явищ за певними властивостями, ознаками або відношеннями. Математи́чний ана́ліз - фундаментальний розділ математики, що веде свій відлік від XVII століття, коли було строго сформульовано теорію нескінченно малих. Сучасний математичний аналіз включає в себе також теорію функцій, теорії границь і рядів, диференційне та інтегральне числення, диференціальні рівняння та диференціальну геометрію.
Рисунок.22
Дамо означення інтеграла у комплексній області. Нехай задана функція w=f(z) неперервна в деякій області D площини комплексної змінної Z. Виберемо у цій області яку-небудь гладку (гладкою кривою називається неперервна крива, напрямок дотичної до якої неперервно змінюється разом зі зміною розміщення точки дотику) криву С з початком у точці z0 і кінцем у точці z.
Розіб'ємо криву С довільно точками  на n частин елементарних дуг у напрямку від початкової точки до кінцевої (рис.22). У кожній частині  виберемо деяку точку та обчислимо значення функції  .
Складемо інтегральну суму
 ,
де  . Якщо границя цієї суми при  й  існує незалежно від того, яким способом розбивається крива С і вибираються точки  ,то вона називається інтегралом від функції  по кривій С і позначається  .
Інтеграл від функції комплексної змінної може бути виражений звичайними криволінійними інтегралами. Позначимо
і
 .
Тоді
 (36)
де  .
Суми у правій частині формули (36) є інтегральні суми відповідних криволінійних інтегралів, що, за нашими умовами, визначені за теоремою існування криволінійного інтеграла. Існува́ння (від екзистенція) - центральне поняття екзистенціалізму, унікальна особистісна сутність людини, що втілює в собі духовну, психоемоційну неповторність особи. Тому, спрямовуючи  до нуля, одержимо, що обидві суми правої частини рівності (36) прямують відповідно до границь
і  .
Отже,
 . (37)
За допомогою формули (37) обчислення інтеграла функції комплексної змінної зводиться до обчислення двох звичайних криволінійних інтегралів. Обчи́слення - є гілкою математики, зосередженою на функціях, похідних, інтегралах, і нескінченному ряду чисел. Цей предмет являє собою важливу частину сучасної математичної освіти. Воно складається з двох основних галузей - диференціального і інтегрального численнь, які пов'язують основні теореми обчислення. Якщо дуга C задана параметрично  тобто  а початкова і кінцева точки дуги відповідають при цьому значенням параметра  і  і з огляду на гладкість кривої існують  і  , то, користуючись формулою (37), обчислення інтеграла зводиться до обчислення інтеграла від комплексної функції дійсної змінної
 (38)
Дійсно,  
Приклад.Пара́метр (від дав.-гр. παραμετρέω) - відмірюю, розмірюю)(рос. параметр, англ. parameter, нім. Parameter m, Kennwert m, Kenngrösse f, Kennzahl f) - величина, що нею характеризують якусь властивість, стан, розмір або форму об'єкта, робочого тіла, процесу, явища або системи тощо. Обчислити  , якщо шлях інтегрування C є верхня половина еліпса  .
Рисунок 23
Розв’язання. Запишемо рівняння верхньої половини еліпса в параметричній формі:  а в комплексній формі:  , де дійсна змінна t змінюється від 0 до π.
Користуючись формулою (38), знайдемо значення інтеграла:    .
5.2.Властивості інтеграла
З означення інтеграла функції комплексної змінної випливають її властивості, аналогічні властивостям криволінійного, а також звичайного визначеного інтеграла:
1. Інтеграл - центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Інтеграл по контуру  від суми скінченного числа  неперервних в області  функцій  дорівнює сумі інтегралів від кожної з цих функцій по тому ж самому контуру.
(39)
2.Сталий співмножник (комплексний) підінтегральної функції можна винести за знак інтеграла:
  (40)
3. Якщо змінити напрямок контура інтегрування, то інтеграл змінить знак на протилежний:
 (41)
Тут  - крива, що збігається з , але обходиться у протилежному напрямку.
4. Якщо контур інтегрування розбитий на скінченне число частин
 то
 (42)
Усі ці властивості доводяться, виходячи з означення інтеграла як межі інтегральної суми.
Доведемо ще одну важливу властивість інтеграла.
5. Теорема про оцінку модуля інтеграла. Якщо  є найбільше значення модуля функції  на контурі і  - довжина цього контура, то
 (43)
Доведення. Для інтегральної суми виконуються такі нерівності:
 ,
де  - довжина ламаної, що вписана в криву (рис. 24). Нерівність - твердження про те, що два математичні об'єкти є різними, тобто не дорівнюють один одному. Для елементів упорядкованих множин нерівність може додатково стверджувати, що один із двох елементів менший або більший від іншого.
Переходячи до границі при  в останніх нерівностях, одержимо нерівність (43).
Рисунок 24
5.3. Теорема Коші
У загальному випадку інтеграл  залежить як від функції,так і від контура інтегрування . З'ясуємо, за яких умовах величина інтеграла не залежить від форми шляху інтегрування, а залежить від точок кінця і початку кривої інтегрування. Такою умовою, як ми зараз доведемо, є аналітичність підінтегральної функції .
Теорема Коші. Якщо функція аналітична в однозв'язній області і її похідна неперервна у цій області, то для всіх кусково-гладких кривих , що лежать в області і мають спільні кінцеві точки, інтеграл має одне і те саме значення.Аналітика (від грец. άναλυτικά ) - основа інтелектуальної, логіко-мисленевої діяльності, спрямованої на рішення практичних завдань. У її основі лежить не стільки принцип констатації фактів, скільки принцип «випередження подій», що дозволяє організації або індивідові прогнозувати майбутній стан об'єкту аналізу.
Доведення. Нехай
Тоді з огляду на співвідношення (37) 
незалежність інтеграла від шляху інтегрування визначається незалежністю від шляху інтегрування криволінійних інтегралів правої частини рівності. Але відомо, що для незалежності від шляху інтегрування криволінійного інтеграла  необхідно і достатньо, щоб у кожній точці області виконувалося співвідношення
 (44)
за умови, що  і  мають безперервні частинні похідні у розглянутій області. В математиці, часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних - це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.
Для криволінійних інтегралів  і  співвідношення (44) набере вигляду:
 . (45)
Неперервність частинних похідних функцій  і  випливає з неперервності  . Очевидно, що рівності (45) збігаються з умовами Даламбера-Ейлера, що виконуються в будь-якій точці області через аналітичність у ній функції  . Таким чином, теорема доведена.
Відзначимо, що теорему Коші можна сформулювати інакше. Якщо функція аналітична в однозв'язній області , то інтеграл від цієї функції, взятий вздовж будь-якого замкненого контура , що належить до області , дорівнює нулю:
 (46)
(кружок в інтегралі позначає замкненість шляху інтегрування).
5.4. Теорема Коші для багатозв'язаної області
Розглянемо теорему Коші на випадок багатозв’язної області. Нехай дана багатозв’язна область , обмежена зовнішнім  і внутрішніми  замкненими контурами (рис. 25).
Теорема. Якщо функція аналітична в багатозв’язній замкненій області , що обмежена контурами , то інтеграл, обчислений по всій границі області, яка обходиться так, що область залишається з одного боку, дорівнює нулю.
Доведення. Проведемо в області  додаткові контури  (розрізи рис. 25), що перетворюють, в однозв’язну область . Позначимо через  границю області, що складається із сукупності контурів і розрізів  .
Функція є аналітичною в однозв’язаній області  , тому за теоремою Коші
 (47)
Виберемо напрямок обходу на контурі  . Додатним напрямком обходу будемо вважати такий напрямок, при русі по якому область увесь час залишається ліворуч. Виходячи з цього, під час руху по контуру  в додатному напрямку контур буде проходиться в додатному, контури - у від’ємному, а - двічі у протилежних напрямках.
Рисунок 25
З огляду на властивості 1,3 інтеграли функції комплексної змінної рівності (46) можемо записати так:
або
 , тому що .
Теорема Коші для багатозв’язної області доведена.
Відмітимо, що при доведенні теореми ми розглядали додатний напрямок обходу границі області , для якого необхідно, щоб зовнішній контур проходив проти годинкової стрілки, а внутрішні - за годинковою стрілкою.
Якщо змінити напрямок інтегрування на протилежне по внутрішніх контурах , то формулу (47) можна записати у вигляді
 . (48)
Теорему Коші для багатозв’язаної області можна сформулювати.
Теорема Коші. Якщо функція  аналітична в багатозв’язній замкненій області , то інтеграл по зовнішньому контуру дорівнює сумі інтегралів по внутрішніх контурах за умови, що обхід усіх контурів відбувається в одному напрямку.
Детальніший аналіз показує, що теорема Коші для багатозв’язної області залишається в силі , якщо аналітична у відкритій області і неперервна в .
Приклад. Обчислити  , де - замкнений контур, що містить усередині себе точку  . Розглянемо усередині контура коло з центром у точці і радіусом  . Позначимо його  .
Рисунок 26
Функція  аналітична в області, обмеженої контурами і . Отже, за теоремою Коші, з огляду на формулу (48), можна записати  . На колі  , тоді
 і
 .Таким чином, інтеграл  по будь-якому замкненому контуру, що (рис. 26) охоплює точку z=2, дорівнює  .
5.5. Невизначений інтеграл функції комплексної змінної
Із доведеної у 5. Неви́значений інтегра́л для функції f - це сукупність усіх первісних цієї функції. 3 теореми Коші випливає, що якщо функція аналітична в однозв'язній області , то не залежить від форми шляху інтегрування, а його величина залежить лише від початкової точки  і кінцевої точки z кривої . Тому якщо вважати точку сталою, а точку z -змінною, то інтеграл буде однозначною функцією змінної z :
(через  позначена змінна інтегрування) . Для функції  можна довести теорему 1.
Теорема 1.Якщо функція аналітична в однозв'язній області , то інтеграл =  . (49)
Розглянемо як функцію своєї верхньої межі функцію, що є аналітичною функцією у тій самій області і похідна від неї дорівнює підінтегральній функції  .
Доведення цієї теореми ми не наводимо, читач може його знайти в кожному підручнику, зазначеному в списку рекомендованої літератури. Підру́чник (калька з пол. podręcznik) - книжка, у якій системно викладено інформацію з певної галузі знань і яку використовують в системі освіти на різних рівнях, а також для самостійного навчання. Різновид навчального видання.
Означення. Функція , похідна від якої дорівнює заданій функції , називається первісною цієї функції. Тому інтеграл від , що розглядається як функція своєї верхньої межі, є однією з первісних функцій.
Аналогічно тому, як було доведено для первісних функцій дійсної змінної, для функцій комплексної змінної можна довести таку теорему;
Теорема 2. Будь-які дві первісні однієї і тієї самої функції відрізняються одна від одної на сталий комплексний доданок.
Доведення. Нехай Ф(z) і F(z) первісні однієї і тієї самої функції , тобто
 і  . Позначимо різницю  через  :
 і  . (50)
Але якщо  то за формулою (7) для похідної, маємо
 (51)
Враховуючи рівності (50) і (51), знаходимо
Таким чином, функції і , а отже, і стала, тобто =C. Що і було необхідно довести.
Означення. Сукупність усіх первісних для функції називається невизначеним інтегралом і позначається символом  .
Нехай F(z) є первісною функції . Інтеграл також є первісною, і, отже, відрізняється від на сталу
(див. теорему 2)
= С.
Якщо у рівності (52) покладемо z=, то, з огляду на рівність =0, одержимо  і C= -F . Звідси = - F .
Отримана формула і є формулою Ньютона-Лейбніца.
.
|
