Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Розширення поняття множини дійсних чисел. Алгебраїчна форма комплексного числа. Степінь уявної одиниці

Скачати 71.63 Kb.

Розширення поняття множини дійсних чисел. Алгебраїчна форма комплексного числа. Степінь уявної одиниці




Скачати 71.63 Kb.
Дата конвертації 28.04.2017
Розмір 71.63 Kb.

Тема: Розширення поняття множини дійсних чисел.
Дійсні числа - елементи числової системи, яка містить у собі раціональні числа і, в свою чергу, є підмножиною комплексних чисел. Математична абстракція, яка виникла з потреб вимірювання геометричних і фізичних величин навколишнього світу, а також виконання таких математичних операцій як добування кореня, обчислення логарифмів, розв'язування алгебраїчних рівнянь.
Алгебраїчна форма комплексного числа.
Ко́мпле́ксні чи́сла - розширення поля дійсних чисел, зазвичай позначається C } . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума x + i y , де x і y - дійсні числа, i - уявна одиниця.
Степінь уявної одиниці.

  1. Розширення поняття множини дійсних чисел.

У багатьох розділах математики та її застосуваннях неможливо обмежитись розглядом лише дійсних чисел. Вже досить давно під час розв’язування різних задач виникла потреба добувати квадратний корінь з від’ємних чисел.
Квадра́тний ко́рінь з числа x - це число (матриця, функція, оператор тощо), квадрат якого (результат множення на себе) дорівнює x. Квадратний корінь часто називають просто корінь.
Щоб ця дія стала можливою, ввели множину нових чисел.

  1. Означення комплексного числа і уявної одиниці

Число a bi, де a і b – будь-які дійсні числа, i – уявна одиниця, називається комплексним числом (a – дійсна частина, bi – уявна частина комплексного числа, а b – коефіцієнт при уявній частині).

Число, квадрат якого дорівнює -1, позначають буквою i і називають уявною одиницею (i – перша буква латинського слова imaginarius – уявний).

Коефіціє́нт - характеристика процесу, явища, речовини або поля, яка має відносно сталий характер.
Лати́ни (лат. Latini) - народ італьської мовної групи індоєвропейської родини (італіки), мова яких (латинська) була найближчим родичем сабінської, умбрської й оскської мов. Латини стали основою формування римського народу.

Тобто, для символу i виконується рівність

i•i=i^2=-1.

Запис a bi називають алгебраїчною формою комплексного числа.



Примітка! Слово "комплексний" означає складений.

Часто комплексне число позначають буквою z і записують z=a bi.

Комплексні числа – це розширення числової системи дійсних чисел. Позначаються вони буквою c

Множина дійсних чисел є частиною (підмножиною) множини комплексних чисел.

Для комплексних чисел означені алгебраїчні операції додавання та множення, які узагальнюють додавання та множення дійсних чисел із зберіганням властивостей асоціативності, комутативності та дистрибутивності.

Дистрибутивність (розподільний закон) - властивість бінарних операцій, визначених на одній множині.
Додавання - бінарна арифметична операція, суть якої полягає в об'єднанні математичних об'єктів.
Зберіга́ння - дія за значенням зберігати; технологічний процес.
Алгебраїчною операцією на множині S називається функція f , яка є відображенням виду f : S n → S , n ∈ N , \to S,\ n\in \mathbb ,\ } де S n } - декартів добуток S×S×…×S, }} в який S входить n } разів.



Які комплексні числа називаються рівними, спряженими, протилежними?

Два комплексних числа a bi і c di рівні між собою тоді і тільки тоді, коли a=c і b=d, тобто, коли рівні їх дійсні частини і коефіцієнти при уявних частинах.

Поняття "більше" і "менше" для комплексних чисел не має смислу. Ці числа за величиною не порівнюють. Тому не можна, наприклад, сказати, яке з двох комплексних чисел більше 10i чи 3i2 5i чи 5 2i.

Числа a bi і a-bi, дійсні частини яких рівні, а коефіцієнти при уявих частинах рівні за модулем, але протилежні за знаком, називаютьспряженими.()



Приклад.

  1. Спряженими є комплексні числа 4 3i та 4-3i.

  2. Якщо дано число 6i, то спряженим до нього є -6i.

  3. До числа 11 спряженим буде 11, бо 11 0i=11-0i.

Числа a bi і –a-bi називаються протилежними. Тобто, два числа a bi та –a-bi, сума яких дорівнює нулю, називаютьпротилежними.

  1. Степені уявної одиниці. 
    http://ua-referat.com/dopb222455.ziphttp://ua-referat.com/dopb222456.zip
    Піднесення уявної частини числа до степеня з натуральним показником http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_022.gif:
    http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_023.gif, якщо http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_024.gif ділиться на 4 без остачі, n=4k;
    http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_025.gif, якщо http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_026.gif ділиться на 4 з остачею 1, n=4k 1;
    http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_027.gif, якщо http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_028.gif ділиться на 4 з остачею 2, n=4k 2;
    http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_029.gif, якщо http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_030.gif ділиться на 4 з остачею 3, n=4k 3.

Обчислити:

  1. Дії над комплексними числами.

Нехай дано два комплексні числа z_1=a_1 b_1 i і z_2=a_2 b_2 i.

а) Додавання комплексних чисел.

Сумою двох комплексних чисел a_1 b_1 i і a_2 b_2 i називається комплексне число (a_1 a_2 ) (b_1 b_2 )i, дійсна частина якого і коефіцієнт при уявній частині дорівнюють відповідно сумі дійсних частин і коефіцієнтів при уявних частинах додатків.

Приклади (додавання комплексних чисел):

  1. (–3 5i) (4-8i)=(-3 4) (5-8)i=1-3i

  2. (3 2i) (-1-5i)=(3-1) (2-5)i=2-3i

  3. (2 3i) (6-3i)=(2 6) (3-3)i=8-0i=8

  4. (10-3i) (-10 3i)=(10-10) (-3 3)i=0-0i=0

Примітка! Означення суми комплексних чисел поширюється і на випадок трьох і більше доданків.

б) Віднімання комплексних чисел.
Відніма́ння - двомісна математична операція, обернена додаванню.


Різницею двох комплексних чисел a_1 b_1 i і a_2 b_2 i називається комплексне число (a_1-a_2 ) (b_1-b_2 )i.

Приклади (віднімання комплексних чисел):

  1. (-5 2i)-(3-5i)=(-5-3) (2-(-5) )i=-8 7i

  2. (6 7i)-(6-5i)=(6-6) (7 5)i=12i

  3. (0,3 2,5i)-(-0,75 1,5i) =(0,3 0,75) (2,5-1,5)i=1,05 i

в) Множення комплексних чисел.

Добутком двох комплексних чисел a_1 b_1 i і a_2 b_2 i називається комплексне число (a_1 a_2-b_1 b_2 ) (a_1 b_2 b_1 a_2 )i.

Приклад (множення комплексних чисел):



(1-2i)•(3 2i)=(1•3-(-2)•2) (1•2 (-2)•3)i=

=(3 4) (2-6)i=7-4i.

Добуток двох спряжених комплексних чисел:

(a bi)•(a-bi)=a^2 b^2.
г) Ділення комплексних чисел.

Часткою комплексних чисел a_1 b_1 i і a_2 b_2 i називається комплексне число

(a_1 a_2 b_1 b_2)/(a_2^2 b_2^2 )-(a_1 b_2-b_1 a_2)/(a_2^2 b_2^2 ) i.

Приклад (знайти частку комплексних чисел):

(7-4i)/(3 2i)=(7-4i)(3-2i)/(3 2i)(3-2i) =(13-26i)/13=1-2i.

Властивості дій над комплексними числами в алгебраїчній формі

1. Комутативний закон додавання: 


http://ua-referat.com/dopb222443.zip . 
2. Асоціативний закон додавання: 
http://ua-referat.com/dopb222444.zip . 
3. Комутативний закон множення: 
http://ua-referat.com/dopb222445.zip . 
4. Асоціативний закон множення: 
http://ua-referat.com/dopb222446.zip . 
5. Дистрибутивний (розподільний) закон множення відносно додавання: 
http://ua-referat.com/dopb222447.zip . 
6. http://ua-referat.com/dopb222448.zip . 
7. http://ua-referat.com/dopb222449.zip . 
8. http://ua-referat.com/dopb222450.zip . 

Приклад 1. Обчислити значення виразів

1) http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_031.gif


2) http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_032.gif
3) http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_033.gif
4) http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_034.gif
якщо http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_035.gif

Розв'язок. Основні операції з комплесними числами, це як основа основ даній теорії тому спробуйте розібратися з правилами з першого разу та в майбутньому не мати проблем з обчисленнями.

Майбутнє - суб'єктивна з людського погляду й об'єктивна з погляду стороннього спостерігача часова категорія сприйняття реальності, яка характеризується комплексом явищ і подій, що не здійснились і не відбулися відносно об'єкта, який перебуває в більш ранньому часі.

1) Проведемо додавання та віднімання згідно правил
http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_036.gif
http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_037.gif

2) Спряженим до числа http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_038.gif буде http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_039.gif


Обчислимо добуток перших двох чисел
http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_040.gif
http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_041.gif
Обчислимо добуток отриманого числа на http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_042.gif
http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_043.gif
http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_044.gif
Отже, шуканий добуток буде рівний 65-13i

http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_045.gif

3) Виконаємо ділення компексних чисел за формулою


http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_046.gif
В результаті отримали число, яке має тільки уявну частину.

4) Спочатку підносимо число z3 до квадрату


http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_048.gif
Тепер виконаємо ділення
http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_049.gif
http://yukhym.com/images/stories/complex/com1_050.gif
При обчисленнях будьте уважні і слідкуйте за знаками, як правило, неуважність є причиною більшості помилок при роботі з омплесними числами. Правила піднесення до степеня уявної частини прості і, розв'язавши необхідну кількість подібних прикладів, Ви їх засвоїте без особливих зусиль.
Підвищення (елевація) - кутова висота об'єкта спостереження (земного предмета, літального апарату, небесного світила тощо) над істинним горизонтом. Підвищення спільно з азимутом служить для визначення напрямку на об'єкт.
Результат, пі́дсумок, (заст. ску́ток, вислід) - кінцевий наслідок послідовності дій. Можливі результати містять перевагу, незручність, вигоду, збитки, цінність і перемогу. Результат є етапом діяльності, коли визначено наявність переходу якості в кількість і кількості в якість.
Обчи́слення - є гілкою математики, зосередженою на функціях, похідних, інтегралах, і нескінченному ряду чисел. Цей предмет являє собою важливу частину сучасної математичної освіти. Воно складається з двох основних галузей - диференціального і інтегрального численнь, які пов'язують основні теореми обчислення.
Кількість - в Арістотелівській логіці друга з 10 категорій (класів, розрядів, які спрощують процес розумового визначення будь-якої речі), побічна обставина матеріальних речей , за допомогою якої вони поширюються в просторі, вимірюються якоюсь математичною нормою і здатні бути поділеними на окремі частини.


Домашнє завдання

  • Вивчити конспект

  • Знайти для кожного з комплексних чисел протилежне, спряжене, їх суму, різницю, добуток і частку:

  • Знайти степінь уявної одиниці:




Скачати 71.63 Kb.

2021