Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



С. П. Луценко, Д. С. Громовий

Скачати 142.54 Kb.

С. П. Луценко, Д. С. Громовий




Скачати 142.54 Kb.
Дата конвертації16.06.2017
Розмір142.54 Kb.

УДК 004.424.5


А. С. Мельничук,

С. П. Луценко,

Д. С. Громовий,

К. В. Трофимова

АНАЛІЗ МЕТОДІВ СОРТУВАННЯ МАСИВУ ЧИСЕЛ


У даній статті розглянуті методи сортування (розстановки за певним правилом) в масиві чисел, які використовуються в обчислювальній техніці на сьогоднішній день.

Електро́нна обчи́слювальна маши́на (ЕОМ) - загальна назва для обчислювальних машин, що є електронними (починаючи з перших лампових машин, включаючи напівпровідникові тощо) на відміну від електромеханічних (на електричних реле тощо) та механічних обчислювальних машин.

Існуючі методи аналізуються за показниками кількості обмінів, ітерацій та порівнянь, що найповніше характеризують кожен алгоритм.

Характер (термін «характер» - грецького походження, він означає «риса», «ознака», «відбиток»)- це сукупність відносно стійких індивідуально-своєрідних якостей особистості, що виявляються у поведінці, діяльності та ставленні до людей, колективу, до себе, речей, роботи і тощо.

Кількість - в Арістотелівській логіці друга з 10 категорій (класів, розрядів, які спрощують процес розумового визначення будь-якої речі), побічна обставина матеріальних речей , за допомогою якої вони поширюються в просторі, вимірюються якоюсь математичною нормою і здатні бути поділеними на окремі частини.

В результаті оцінена загальна швидкодія кожного методу, визначені переваги та недоліки кожного з них.

Швидкодія (рос. быстродействие, англ. speed of response, нім. Schnelligkeit f, Reaktionsfähigkeit f, Ansprechgeschwindigkeit f) - швидкість реакції системи на зовнішні дії або кількість операцій, які здійснює система за одиницю часу.

Результат, пі́дсумок, (заст. ску́ток, вислід) - кінцевий наслідок послідовності дій. Можливі результати містять перевагу, незручність, вигоду, збитки, цінність і перемогу. Результат є етапом діяльності, коли визначено наявність переходу якості в кількість і кількості в якість.



Ключові слова: сортування, масив чисел, швидкодія, ітерація, об’єм пам’яті, алгоритм, програмування.


1. Вступ
Алгоритми сортування масиву чисел – одні з найбільш важливих процесів, які використовуються у обчислювальній техніці, оскільки сортування та пошук є найбільш загальними складовими частинами систем програмування [1]. Останнім часом інтерес до методів та засобів сортування великих масивів інформації зростає, що тісно пов’язано з новими досягненнями в області комп’ютерних технологій, а також з розширенням сфери застосування самих алгоритмів сортування [2, 3].

Сортування – це процес розстановки елементів в деякому визначеному порядку, за попередньо заданим законом. При цьому елементи розміщуються таким чином, щоб, по-перше, обчислення, які вимагають певного порядку розміщення даних, могли виконуватися ефективно, по-друге, результати мали змістовний вигляд, і по-третє, наступні процеси мали би придатні вихідні дані [1].

Інформаці́йні техноло́гії, ІТ (використовується також загальніший / вищий за ієрархією термін інформаційно-комунікаційні технології (Information and Communication Technologies, ICT) - сукупність методів, виробничих процесів і програмно-технічних засобів, інтегрованих з метою збирання, опрацювання, зберігання, розповсюдження, показу і використання інформації в інтересах її користувачів.

Застосунок, застосовна програма або прикладна програма (англ. application, application software, app) - користувацька комп'ютерна програма, що дає змогу вирішувати конкретні прикладні задачі користувача.

Обчи́слення - є гілкою математики, зосередженою на функціях, похідних, інтегралах, і нескінченному ряду чисел. Цей предмет являє собою важливу частину сучасної математичної освіти. Воно складається з двох основних галузей - диференціального і інтегрального численнь, які пов'язують основні теореми обчислення.

Вихідні́ відо́мості - відомості, що містять довідкову інформацію про друковане видання, ідентифікують і класифікують його. Залежно від характеру видання вони розташовані на обкладинці, палітурці, титульному аркуші, поєднаному титульному аркуші, першій сторінці, останній сторінці, кінцевий сторінці видання.

Мета даної статті – проаналізувати часові характеристики процесу сортування для вибору алгоритму, найбільш придатного для реалізації конкретної задачі.

Про́даж - це оплатна передача майна однією особою у власність іншій особі.


2. Аналіз літературних даних і постановка проблеми
Незважаючи на значну кількість алгоритмів та вдосконалень відомих методів сортування, основними, або базовими, серед них є сім методів: метод лінійного вибору, лінійного вибору з обміном, лінійного вибору з підрахунком, парного обміну, стандартного обміну, просіювання та лінійної вставки [3].

Існуючі методи сортування, кожен з яких має свої переваги та недоліки [4], можна згрупувати у відповідності з визначальними принципами функціонування у три основні категорії [5]:

- сортування за допомогою включення (by insertion);

Принцип (лат. principium - начало, основа) - це твердження, яке сприймається як головне, важливе, суттєве, неодмінне або, принаймні, бажане. У повсякденному житті принципами називають внутрішні переконання людини, ті практичні, моральні та теоретичні засади, якими вона керується в житті, в різних сферах діяльності.

- сортування за допомогою виділення (by selection);

- сортування за допомогою обмінів (by exchange).

Двома найбільш важливими програмними аспектами є об’єм машинного часу, необхідний для роботи програми сортування, і об’єм пам’яті, необхідний для цієї програми [1]. Доброю мірою ефективності може бути число необхідних порівнянь та число пере посилань (перестановок) елементів масиву. Ці величини є функціями від числа елементів n, які сортуються. Ефективні алгоритми сортування потребуються порядку порівнянь.

Алгоритм сортування - це алгоритм, що розв'язує задачу сортування, тобто здійснює впорядкування лінійного списку (масиву) елементів.

В простих і очевидних методах, які називають прямими, потрібно порядку n2 порівнянь [5].

Для розгляду алгоритмів сортування доцільно ввести деяке умовне позначення [5]. Якщо є елементи

,

то сортуванням є перестановка цих елементів до одержання масиву



,

в якому при деякій функції впорядкування f виконується відношення



.

Звичайно, функція впорядкування не обраховується за якимось правилом, а зберігається як дійсна компонента (поле) кожного елемента [5].

Компоне́нт (від лат. componens, родовий відмінок componentis - складаючий) - складова частина, елемент чого-небудь.

Ді́лення (також діління́)- в математиці, бінарна операція, що обернена множенню.

Елеме́нт (лат. elementum - стихія, первинна речовина) - нерозкладний (у даній системі) компонент складних тіл, матеріальних систем, теоретичних побудов; будь-який об'єкт, пов'язаний певними відношеннями з іншими об'єктами в єдиний комплекс.

Методи сортування можна назвати стійким, якщо в процесі сортування відносне розташування елементів з рівними ключами не змінюється [6].

Проведемо порівняльний аналіз найбільш відомих методів сортування.
3. Порівняльний аналіз методів сортування масиву чисел
Найпростіший метод сортування називається бульбашковим сортуванням: на першому проході сусідні елементи порівнюються і якщо елементи не впорядковані, вони змінюються місцями, в результаті чого найбільший із тих, що залишились (порівняння іде між (n-1) елементами), переміщується на передостаннє місце і так до тих пір, поки масив не виявиться впорядкованим [5].

Переміщення - зміна положення якогось матеріального об'єкту. В фізиці - це переміщення фізичного тіла. Переміщенням також називають вектор, який характеризує цю зміну. Має властивість адитивності. Абсолютна величина переміщення, тобто довжина відрізка, що сполучає початкову й кінцеву точку, вимірюється в метрах у системі СІ та в сантиметрах у системі СГС.

Основна перевага бульбашкового методу сортування – це те, що його легко реалізувати у вигляді програми. Недолік цього методу полягає в тому, що він володіє незначною швидкодією [1].

Найбільш істотного покращення можна досягти, використовуючи сортування Шела (або сортування з кроком, що зменшується). В цьому методі в першопочатковому масиві сортуються окремі під масиви. При цьому К називається кроком n, наприклад, якщо К рівне 5, то першим сортується підмасив, який складається з елементів а(1), а(6), а(11) і т.д. П’ять підмасивів кожен з яких містить 1/5 елементів початкового масиву, сортуються аналогічним чином [1].

При швидкому сортуванні за методом Хоара масив переглядається одразу з двох боків. Якщо з одного боку знаходиться елемент більший, ніж з іншого, то ці елементи змінюються місцями. Так продовжується до того часу, поки вказівники на лівий і правий елементи не перетнуться.

Вказівник, іноді посилання та покажчик (англ. pointer або англ. reference) - тип даних в комп'ютерних мовах програмування. Значення вказівника посилається на інше значення, що записане будь-де в пам'яті комп'ютера (фактично містить його адресу).

В результаті такого проходження алгоритму весь масив розбитий на дві частини.

Проходження (в астрономії) - видиме пересування небесного тіла на тлі видимого диска іншого.

В лівій частині знаходяться елементи з меншими значеннями ключів, а в правій – з більшими. Тепер залишається відсортувати тим самим методом кожну частину окремо [3].

При сортуванні методом підрахунку кожен елемент порівнюється з усіма іншими елементами. Якщо який-небудь елемент більший, ніж К елементів цього масиву, то після впорядкування він повинен займати (К 1) місце, відповідно, необхідно порівняти попарно всі ключі та підрахувати, скільки з них менше кожного окремого ключа. Після цього необхідно переставити елементи у відповідності з певними місцями [6].

При сортуванні вставкою елементи переглядаються по одному і кожен новий елемент вставляється в підходяще місце серед раніше впорядкованих елементів [3]. Суть сортування простими вставками полягає в наступному: нехай на і-му кроці алгоритму послідовність з (і–1) перших елементів масиву впорядкована. Додавання і-го елементу в цю послідовність відбувається впорядковано: елемент, який потрібно вставити, порівнюється з попереднім до тих пір, поки не знайдеться місце і-го елемента [5].

Послідо́вність - функція визначена на множині натуральних чисел яка набуває значення на об'єктах довільної природи. f : N → X \,\rightarrow \,\!X} .

Додавання - бінарна арифметична операція, суть якої полягає в об'єднанні математичних об'єктів.

Сортування простим вибором здійснюється так: спочатку з n елементів вибирається максимальний. Далі n-ний та знайдений максимальний елементи міняються місцями. Потім серед (n–1) елементів, що залишилися, від 1 до (n–1) вибирається максимальний і міняються місцями з елементом, який стоїться на (n–1)-му місці і т.д. [7]. Так продовжується до того часу, поки весь масив не буде відсортований. Останній раз максимум вибирається з двох елементів, які стоять на першому і на другому місці відповідно, і більший з них стає на друге місце [5].

Сортування за допомогою двійкового дерева пошуку, яке можна використовувати для сортування, виконується так: береться порожнє дерево, до нього додаються всі елементи масиву в порядку зростання [1].

Двійкове (або Бінарне) дéрево пóшуку (англ. binary search tree, BST) в інформатиці - двійкове дерево, в якому кожній вершині x зіставлене певне значення val[x]. При цьому такі значення повинні задовольняти умові впорядкованості:[джерело?]

Якщо елементи масиву різні та розміщені у випадковому порядку, а довжина масиву n, то алгоритм вимагає в середньому операцій [10]. Якщо елементи відсортовані у порядку збільшення або порядку спадання, то дерево стає незбалансованим (тобто у нього з’являється багато порожніх гілок), і алгоритм вимагає операцій [1].

Алгоритм сортування злиттям є процесом об’єднання двох або більш відсортованих файлів в деякий третій відсортований файл [8].

Сортування злиттям (англ. merge sort) - алгоритм сортування, в основі якого лежить принцип «Розділяй та володарюй».

Нехай є два відсортованих масиви M i N, тоді порівнюються два найменші елементи обох масивів і найменший з них виводиться як найменший елемент сумарного масиву, потім процедура повторюється до тих пір, поки результуючий масив не буде відсортований злиттям.

Порівняння здійснювалось за такими характеристиками: кількість ітерацій (КІ), кількість порівнянь в ітерації (КПІ), загальна кількість порівнянь (ЗКП). Для кожного методу наведемо також переваги та недоліки.

1. Метод бульбашки (bubble) [1, 5].

Бульбашка - невеликий об'єм газу в рідині або твердому тілі. Бульбашки в рідинах виникають при кипінні, при хімічних реакціях, наприклад при реакції соди з оцтом, при турбулентній течії рідини, при кавітації.



.

Переваги: для поліпшеного сортування середнє число проходів (ітерацій) рівне .

Недоліки: середня кількість переміщень ; велика кількість обмінів при масиві зі зворотнім порядком [6].

2. Метод Шела (Shell) [1, 6].



.

Переваги: мінімальний об’єм пам’яті, скорочення повторних порівнянь.

Недоліки: велике число обмінів при масиві зі зворотним порядком.

3. Метод лінійного вибору з підрахунком (linear choice with count) [3, 6].



.

Переваги: можливість обрахувати адресу будь-якого елемента в списку виведення.

Абревіатура (лат. abbrevio - скорочую) - складноскорочені слова, похідне слово, що виникає внаслідок абревіації - утворення з перших літер або з інших частин слів, що входять до складу назви чи поняття.

Можливість - це дія, що може відбутися або ні (можливо, приїду, а, можливо, і ні). Можливість можна забезпечити чи покладатись на «авось» та якось буде. Альтернатива дає шанс, але не гарантує без відповідних дій забезпечення результату і адекватності та конструктиву діяльності.

Недоліки: необхідна додаткова пам’ять під список лічильників..

4. Метод лінійної вставки (linear insert) [2-5].



[5].

Переваги: всі елементи повинні бути відомі.

Недоліки: виконується переміщення з однієї позиції в іншу, а не взаємний обмін; середня кількість переміщень .

5. Метод просіювання (лінійна вставка з обміном) (sifting) [3, 6].



[6].

Переваги: метод не зберігає фіксовану послідовність порівнянь.

Недоліки: велике число обмінів при списку в зворотному порядку.

6. Метод швидкого сортування, або метод Хоара (quick sort) [4, 5].

Швидке сортування (англ. Quick Sort) - алгоритм сортування, добре відомий, як алгоритм розроблений Чарльзом Гоаром, який не потребує додаткової пам'яті і виконує у середньому O ( n log n ) операцій. Однак, у найгіршому випадку робить O ( n 2 ) )} порівнянь.

В кращому випадку, в гіршому – [5, 7].

Переваги: в метод можна легко включити будь-який метод сортування.

Недоліки: недостатньо висока продуктивність при невеликих n.

7. Метод простого вибору (simple choice) [1, 5, 8].



.

Переваги: метод не вимагає використання додаткової пам’яті.

Недоліки: середня кількість переміщень , де – постійна Ейлера. Час сортування збільшується квадратично відносно кількості елементів. Метод характеризується нестійкістю [8].

8. Метод підрахунку (calculation) [5, 10].



.

Недоліки: кількість переміщень . Вимагає додаткової пам’яті.

9. Метод бінарного дерева (binary tree) [1, 3, 10].

В програмуванні двійкове дерево - структура даних у вигляді дерева, в якому кожна вершина має не більше двох дітей. Зазвичай такі діти називаються правим та лівим. На базі двійкових дерев будуються такі структури, як двійкові дерева пошуку та двійкові купи.



[10].

Переваги: мінімальна кількість рівнів та мінімальний об’єм.

Недоліки: вимагає додаткової пам’яті; немає можливості точно передбачати потрібний об’єм пам’яті.

10. Метод простого злиття (simple merge) [1, 9, 10].



.

Недоліки: потребує додаткову пам’ять; доступ до даних відбувається набагато повільніше, ніж при використанні інших методів.

11. Метод сортування з обчисленням адреси (sorting with calculation of address) [1, 10].

.

Переваги: велика швидкодія.

Недоліки: порядок елементів в масиві не збігається з їх порядком в списку; складність здійснення динамічне розширення масиву.

12. Метод пірамідального сортування (heap sort) [7].



.

Переваги: не потребує додаткової пам’яті.

Недоліки: метод характеризується нестійкістю.

13. Метод порозрядного сортування (radix sort) [1, 9].



.

Переваги: найбільш підходить для використання в комп’ютерній графіці; списки легко реорганізовувати, об’єднувати.

Недоліки: вимагає додаткову пам’ять [10].

14. Метод парного обміну (pair exchange) [3, 6].



; в кращому випадку , в гіршому – .

Переваги: найвища ефективність при використанні у вигляді мережі для паралельних процесорів.

Недоліки: потребує додаткових витрат на управління парними-непарними переглядами; великий об’єм пам’яті під процедури і низька швидкодія.

15. Метод турнірного сортування (tournament sorting) [1, 8].



.

Переваги: мінімальний метод по пам’яті.

Недоліки: верхні рівні дерева містять вказівники, а дійсні дані зберігаються тільки на найнижчому рівні;

Верхні Рівні - село в Україні, в Чутівському районі Полтавської області. Населення становить 62 осіб. Орган місцевого самоврядування - Черняківська сільська рада.

на декількох рівнях дерева присутнє дублювання інформації;

Дублюва́ння, дубльо́ваний пере́клад або дубля́ж (від фр. double «подвійний») - вид перекладу фільмів, мультфільмів та серіалів, за якого відбувається повна заміна оригінального мовлення на іншу мову з метою транслювання фільму в країнах, у котрих не користуються мовою, якою говорять персонажі аудіовізуального твору.

вимагає додаткового об’єму пам’яті.

Порівняння методів сортування в загальному вигляді представлено в табл. 1, де приведено мінімальне, середнє та максимальне значення вказаних величин [4, 6–10].

Нами було проведено перевірку швидкодії комп’ютерних програм на основі відомих методів сортування. Час роботи різних програм сортування для масиву розмірністю n=256 представлено в табл. 2.


Таблиця 1

Порівняння методів сортування

Група методів сортування

Мінімальне значення

Середнє значення

Максимальне значення

Число необхідних порівнянь ключів

Число обмінів

Число необхідних порівнянь ключів

Число обмінів

Число необхідних порівнянь ключів

Число обмінів

Включення

n–1

2(n–1)

(n2 n–2)/4

(n2–9n–10)/4

(n2 n–2)/2–1

(n2–3n–4)/2

Вибір

(n2n)/2

3(n–1)

(n2n)/2

n(lnn 0,57)

(n2n)/2

n2/4 3(n–1)

Обмін

(n2n)/2

0

(n2n)/2

(n2n)3/4

(n2n)/2

(n2n)3/2

Таблиця 2



Час роботи алгоритмів сортування (в секундах)

Методи сортування

Природа масиву чисел

Впорядкований

Випадковий

Зворотній порядок

Лінійна вставка

0,82

0,82

1,64

Лінійний вибір

0,94

0,96

1,18

Бульбашка

1,26

2,04

2,80

Метод Шела

0,10

0,24

0,24

Пірамідальне сортування

0,20

0,20

0,20

Швидке сортування

0,08

0,12

0,08

Злиття

0,18

0,18

0,18




4. Висновки
Результати аналізу відомих методів сортування за такими часовими характеристиками, як кількість порівнянь в ітерації, загальна кількість порівнянь, кількість ітерацій (переглядів), виконаних в даній роботі, дозволяють вибрати оптимальний з цієї точки зору метод сортування для програмної та апаратної реалізації.

Оптимальність - властивість, при якій забезпечується найбільша відповідність даному завданню, умовам тощо.

Аспект (лат. aspectus - вигляд, погляд) - поняття філософії (онтології, теорії пізнання). У філософії аспект розглядається

Аналіз сучасних співвідношень при програмній реалізації трьох найбільш поширених груп методів сортування (методи включення, вибору й обміну) свідчить про можливість нових рішень в області апаратної реалізації з метою підвищення рівня паралелізму та пришвидшення процесу сортування.

Підвищення (елевація) - кутова висота об'єкта спостереження (земного предмета, літального апарату, небесного світила тощо) над істинним горизонтом. Підвищення спільно з азимутом служить для визначення напрямку на об'єкт.

У цьому випадку перевагу слід надати методам сортування на основі обміну, наприклад, методу парного обміні, оскільки він вимагає мінімальних часових витрат (найменшу кількість обмінів). При цьому підтверджено, що саме метод парного обміну можна реалізувати у вигляді сортувальної мережі.



В результаті перевірки відомих методів сортування на швидкодію з використанням масиву сталого об’єму було визначено час роботи програм сортування на основі різних методів. При цьому найкращі результати показали методи Шела та швидкого сортування.

Література

  1. Лэнгсам, Й. Структуры данных для персональных ЭВМ [Текст] / Й. Лэнгсам, М. Огенстайн, А. Тененбаум. – М. : Мир, 1989. – 568 с.

  2. Вышинский, В. А. Сортировка чисел в матрично-алгебраической ЭВМ [Текст] / В. А. Вышинский // Управляющие системы и машины. – 2001. – № 2. – С. 50–52.

  3. Лорин, Г. Сортировка и системы сортировки [Текст] / Г. Лорин. – М. : Мир, 1983. – 384 с.

  4. Вирт, Н. Алгоритмы структуры данных = программа [Текст] / Н. Вирт. – М. : Мир, 1985. – 406 с.

  5. Программирование алгоритмов обработки данных [Текст] / О. В. Ускова, Н. В. Огаркова, И. Е. Воронина и др. – СПб. : БХВ-Петербург, 2003. – 102 с.

  6. Гузик, В. Ф. Организация различных методов сортировки в вычислительных системах [Текст] / В. Ф. Гузик, В. Е. Золотовский, С. А. Чиненков // Электронное моделирование. – 1992. – Т. 14, № З. – С. 25–28.

  7. Hea, M. An optimal and processor efficient parallel sorting algorithm on a linear array with a reconfigurable pipelined bus system [Text] / M. Hea, X. Wua, S. Q. Zhengb // Computers & Electrical Engineering. – 2009. – Vol. 35, Issue 6. – P. 951–965.

  8. Sorting algorithms on transputer arrays [Text] / S. Chandra, M. Jain, A. Basu, P. S. Kumar // Parallel Computing. – 1993. – Vol. 19, Issue 6. – P. 595–607.

  9. Lin, Y.-C. Parallel sorting with cooperating heaps in a linear array of processors [Text] / Yen-Chun Lin, Ferng-Ching Lin // Parallel Computing. – 1990. – Vol. 16, Issue 2–3. – P. 273–278.

  10. Кнут, Д. Э. Искусство программ-мирования. Т. 3. Сортировка и поиск [Текст] / Д. Э. Кнут. – 2-е изд. – М. : Вильямс, 2003. – 832 с.




АНАЛИЗ МЕТОДОВ СОРТИРОВКИ МАССИВА ЧИСЕЛ
В статье рассмотрены методы сортировки (расстановки по определенному правилу) в массиве чисел, которые используются в вычислительной технике на сегодняшний день. Существующие методы анализируются по показателям количества обменов, итераций и сравнений, что наиболее полно характеризуют каждый алгоритм. В результате оценено общее быстродействие каждого метода, определены преимущества и недостатки каждого из них.

Ключевые слова: сортировка, массив чисел, быстродействие, итерация, объем памяти, алгоритм, программирование.



Мельничук Андрій Сергійович, студент, кафедра радіотехніки, Вінницький національний технічний університет, Україна, е-mail: a_melnychuk@i.

Радіоте́хніка - галузь науки і технології, що стосується застосування радіохвиль для передавання інформації та енергії, а також відповідна галузь техніки.

Націоналі́зм (фр. nationalisme) - ідеологія і напрямок політики, базовим принципом яких є теза про цінність нації як найвищої форми суспільної єдності та її первинності в державотворчому процесі[джерело?].

Вíнницький націона́льний технічний університе́т - вищий навчальний заклад четвертого рівня акредитації.

ua.


Луценко Сергій Петрович, студент, кафедра радіотехніки, Вінницький національний технічний університет, Україна.

Громовий Дмитро Сергійович, студент, кафедра радіотехніки, Вінницький національний технічний університет, Україна.

Трофимова Карина Вікторівна, студентка, кафедра проектування медико-біологічної апаратури, Вінницький національний технічний університет, Україна.

Апаратура (рос. аппаратура, англ. apparatus, нім. Apparatur) - сукупність функціонально різноманітних вимірювальних приладів і допоміжних пристроїв та пристосувань, спеціально підібраних для виконання певної технічної задачі.





Мельничук Андрей Сергеевич, студент, кафедра радиотехники, Винницкий национальный технический университет, Украина, е-mail: a_melnychuk@i.ua.

Луценко Сергей Петрович, студент, кафедра радиотехники, Винницкий национальный технический университет, Украина.

Громовой Дмитрий Сергеевич, студент, кафедра радиотехники, Винницкий национальный технический университет, Украина.

Трофимова Карина Викторовна, студентка, кафедра радиотехники, Винницкий национальный технический университет, Украина.



Melnychuk Andriy Serhiyovych, Vinnytsya national technical university, Ukraine, е-mail: a_melnychuk@i.ua.

Lutsenko Serhiy Petrovych, Vinnytsya national technical university, Ukraine.

Hromovyi Dmytro Serhiyovych, Vinnytsya national technical university, Ukraine.

Trofymova Karyna Viktorivna, Vinnytsya national technical university, Ukraine.

TECHNOLOGY AUDIT AND PRODUCTION RESERVES – № 4/1(12), 2013, © Мельничук А. С.

Мельничук - поширене українське прізвище, особливо в правобережній Україні.

, Луценко С. П,

Громовий Д. С., Трофимова К. В.




Скачати 142.54 Kb.

  • А. С. Мельничук, С. П. Луценко, Д. С. Громовий, К. В. Трофимова
  • Ключові слова
  • 2. Аналіз літературних даних і постановка проблеми
  • 3. Порівняльний аналіз методів сортування масиву чисел
  • Порівняння методів сортування
  • Час роботи алгоритмів сортування (в секундах)
  • АНАЛИЗ МЕТОДОВ СОРТИРОВКИ МАССИВА ЧИСЕЛ
  • Мельничук Андрій Сергійович, с
  • Мельничук Андрей Сергеевич, с
  • Трофимова Карина Викторовна , с
  • Melnychuk Andriy Serhiyovych
  • Trofymova Karyna Viktorivna