Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Шкіль М.І. Математичний аналіз: Підручник ч. I. 2-ге вид

Скачати 97.54 Kb.

Шкіль М.І. Математичний аналіз: Підручник ч. I. 2-ге вид




Скачати 97.54 Kb.
Дата конвертації02.05.2017
Розмір97.54 Kb.

Денна, заочна форми навчання

Інститут фізико-математичної і технологічної освіти

Кафедра математики

Навчальна дисципліна «Математичний аналіз»


Галузь знань: 0402 Фізико-математичні науки

Освітньо-кваліфікаційний рівень: бакалавр

Напрям підготовки: 6.040201 Математика, 6.040203 Фізика

Курс: 1


Семестр: 1

Плани практичних занять
Практичне заняття №1.

Предмет і метод математичного аналізу
План


  1. Математичні величини, сталі, та змінні величини.
    Математи́чний ана́ліз - фундаментальний розділ математики, що веде свій відлік від XVII століття, коли було строго сформульовано теорію нескінченно малих. Сучасний математичний аналіз включає в себе також теорію функцій, теорії границь і рядів, диференційне та інтегральне числення, диференціальні рівняння та диференціальну геометрію.


  2. Елементарна та вища математика, їх об’єкти дослідження.
    Ви́ща матема́тика - курс, що входить в навчальний план технічних та деяких інших спеціальних навчальних закладів, включає в себе аналітичну геометрію, елементи вищої алгебри, диференціальне та інтегральне числення, диференціальні рівняння.


  3. Функціональні залежності між математичними величинами.

  4. Предмет і метод математичного аналізу.

  5. Початкова мова математичного аналізу;

    1. мова висловлювань;

    2. мова множин;

    3. мова арифметики;

    4. мова геометрії;

  6. Зв'язок математичного аналізу зі шкільним курсом математики.


Література
1. Шкіль М.І. Математичний аналіз: Підручник. ч. I.- 2-ге вид.- К.: Вища школа., 1994.- 423 с.[с.3 – 14] [с. 34 - 41]

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу. ч.I. – К.: Вища школа., 1976. – 368с. [с. 7 – 9]




Практичне заняття 2.

Дійсні числа
План


  1. Означення раціонального числа.

  2. Операції над раціональними числами.

  3. Властивості раціональних чисел:

    1. впорядкованість;

    2. транзитивність;

    3. щільність;

    4. властивості суми і добутку;

    5. аксіома Архімеда.

  4. Множина ірраціональних чисел.

  5. Аксіома Кантора.

  6. Властивості ірраціональних чисел.

  7. Множина дійсних чисел.
    Дійсні числа Дійсні числа - елементи числової системи, яка містить у собі раціональні числа і, в свою чергу, є підмножиною комплексних чисел. Математична абстракція, яка виникла з потреб вимірювання геометричних і фізичних величин навколишнього світу, а також виконання таких математичних операцій як добування кореня, обчислення логарифмів, розв'язування алгебраїчних рівнянь.


  8. Основні властивості дійсних чисел.

  9. Скінченні та нескінченні числові проміжки.

  10. Принцип вкладених відрізків.


Література
1. Шкіль М.І. Математичний аналіз: Підручник. ч. I.- 2-ге вид.- К.: Вища школа., 1994.- 423 с.[с.14 – 23]

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу. ч.I. – К.: Вища школа., 1976. – 368с. [с. 9 – 14]




Практичне заняття 3.

Модуль дійсного числа
План
1.Означення модуля дійсного числа.

2.Властивості модуля дійсного числа:

модуль суми:

модуль різниці;

модуль добутку;

модуль частки.

3.Поняття околу точки числової прямої.

4.Обмеженні числові множини.

5.Точна верхня і точна нижня межи числової множини.

6.Принцип Вейєрштрасса.


Література
1. Шкіль М.І. Математичний аналіз: Підручник. ч. I.- 2-ге вид.- К.: Вища школа., 1994.- 423 с.[с.23 – 33]

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу. ч.I. – К.: Вища школа., 1976. – 368с. [с. 14 –17]



Практичне заняття 4.

Загальне поняття функції
План


  1. Задачі, які приводять до поняття функції.

  2. Поняття відповідності та функції.

  3. Область визначення та множина значень функції.

  4. Звуження та розширення функції.

  5. Способи задання функції.

  6. Обернена функція, графіки взаємо обернених функцій.

  7. Композиція функцій.

  8. Арифметичні операції над функціями.


Література
1. Шкіль М.І. Математичний аналіз: Підручник. ч. I.- 2-ге вид.- К.: Вища школа., 1994.- 423 с.[с.42 – 53] [55-58]

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу. ч.I. – К.: Вища школа., 1976. – 368с. [с. 17 –20]




Практичне заняття 5.

Класифікація функцій
План
1.Обмежені функції.

2.Монотонні функції.

3.Парні та непарні функції.

4.Періодичні функції.

5.Основні елементарні функції.

Елемента́рні фу́нкції - клас функцій, що містить в собі степеневі функції, многочлени, показникові функції, логарифмічні функції, тригонометричні функції, обернені тригонометричні функції, а також функції, що отримуються із перелічених вище за допомогою чотирьох арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення) та композиції, застосованих скінченну кількість разів.

6.Елементарні функції:

цілі раціональні функцій;

дробово-раціональні функції;

ірраціональні функції;

алгебраїчні та трансцендентні функції.

Трансценде́нтна фу́нкція - аналітична функція, що не є алгебраїчною. Простими прикладами трансцендентних функцій є показникова функція, тригонометричні функції, логарифмічна функція.

7.Функції з неперервним аргументом.

8.Числові послідовності.


Література
1. Шкіль М.І. Математичний аналіз: Підручник. ч. I.- 2-ге вид.- К.: Вища школа., 1994.- 423 с.[с.53– 55] [58-67]

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу. ч.I. – К.: Вища школа., 1976. – 368с. [с. 20 –25]




Практичне заняття 6.

Числові послідовності

Збіжні числові послідовності та їх властивості
План


  1. Означення та способи завдання числової послідовності.
    Послідо́вність - функція визначена на множині натуральних чисел яка набуває значення на об'єктах довільної природи. f : N → X \,\rightarrow \,\!X} .


  2. Монотонні числові послідовності.

  3. Обмежені числові послідовності.

  4. Арифметичні операції над числовими послідовностями.

  5. Границя числової послідовності. Збіжні послідовності.

  6. Найпростіші теореми про границі (границя послідовності, зв'язок збіжності з обмеженістю, єдність границі, про границю проміжної послідовності).

  7. Фундаментальні послідовності. Критерій Коші збіжності послідовності.


Література
1. Шкіль М.І. Математичний аналіз: Підручник. ч. I.- 2-ге вид.- К.: Вища школа., 1994.- 423 с.[с.67– 76] [85-88]

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу. ч.I. – К.: Вища школа., 1976. – 368с. [с. 61 –66]




Практичне заняття 7.

Нескінченно малі та нескінченно великі числові послідовності
План


  1. Нескінченно малі числові послідовності, їх властивості (алгебраїчна сума, добуток).

  2. Нескінченно великі числові послідовності, їх властивості.

  3. Основні властивості границь: зв'язок збіжної границі з нескінченно малою, границя суми, добутку, частки різниці.

  4. Невизначені вирази.

  5. Існування границі монотонної послідовності.

  6. Існування границі послідовності , .


Література


  1. Шкіль М.І. Математичний аналіз: Підручник. ч. I.- 2-ге вид.- К.: Вища школа., 1994.- 423 с.[с.76– 88]


Практичне заняття 8.

Границя функції неперервного аргументу
План


  1. Означення границі функції в точці та на нескінченності по Коші.
    Границя функції в точці - фундаментальне поняття математичного аналізу, зокрема аналізу функцій дійсної змінної, число, до якого прямує значення функції, якщо її аргумент прямує до заданої точки. Строге математичне означення границі функції дається мовою δ-ε.


  2. Означення границі функції в точці по Гейне.

  3. Еквівалентність означення границі функції в точці по Коші і по Гейне (критерій існування границі функції).

  4. Теореми про границі.

  5. Перша важлива границя.

  6. Друга важлива границя.

  7. Обчислення деяких границь.


Література
1. Шкіль М.І. Математичний аналіз: Підручник. ч. I.- 2-ге вид.- К.: Вища школа., 1994.- 423 с.[с.89– 103]

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу. ч.I. – К.: Вища школа., 1976. – 368с. [с. 46 –51]




Практичне заняття 9.

Однорідні границі

Границі функції та нескінченності
План


  1. Правостороння (лівостороння границя функції).

  2. Нескінченно малі функції.

  3. Еквівалентні нескінченно малі функції.

  4. Нескінченно малі різних порядків.

  5. Нескінченно великі функції.

  6. Теореми о границях.


Література
1. Шкіль М.І. Математичний аналіз: Підручник. ч. I.- 2-ге вид.- К.: Вища школа., 1994.- 423 с.[с.104– 117]

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу. ч.I. – К.: Вища школа., 1976. – 368с. [с. 55 –66]




Практичне заняття 10.

Неперервність функції
План


  1. Неперервність функцій в точці.

  2. Критерії неперервності функції в точці.
    Неперервна функція Непере́рвна фу́нкція - одне з основних понять математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі.


  3. Арифметичні дії над неперервними функціями.

  4. Неперервність функції та множині.

  5. Неперервність основних та елементарних функцій.

  6. Неперервність складної функції.

  7. Точки розриву функції I і II роду.


Література
1. Шкіль М.І. Математичний аналіз: Підручник. ч. I.- 2-ге вид.- К.: Вища школа., 1994.- 423 с.[с.117- 126]

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу. ч.I. – К.: Вища школа., 1976. – 368с. [с. 66 –74]




Практичне заняття 11.

Властивості функцій неперервних на відрізку
План

  1. Неперервність функції на відрізку.

  2. Обмеженість функції неперервної на відрізку.

  3. Найменше та найбільше значення функції неперервної на відрізку.

  4. Нулі функції неперервної на відрізку.

  5. Проміжне значення функції неперервної на відрізку.

  6. Рівномірна неперервність функції на проміжку.

  7. Зв'язок неперервної і рівномірної неперервності функції.
    Рівномірна неперервність в математичному і функціональному аналізі - це властивість функції бути однаково неперервною в усіх точках області визначення.



Література
1. Шкіль М.І. Математичний аналіз: Підручник. ч. I.- 2-ге вид.- К.: Вища школа., 1994.- 423 с.[с.127– 131]

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу. ч.I. – К.: Вища школа., 1976. – 368с. [с. 75 –81]




Практичне заняття 12.

Похідна дійсної змінної

План


  1. Задачі, які приводять до поняття похідної.

  2. Похідна у ШКМ.

  3. Означення похідної функції в точці.

  4. Геометричний та механічний зміст похідної.

  5. Рівняння дотичної і нормалі до кривої в точці.

  6. Односторонні похідні.

  7. Диференційованість функції в точці та на в проміжках. Похідна оберненої функції.
    Похідна́ - основне поняття диференціального числення, що характеризує швидкість зміни функції. Визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує).
    Обернена функція Обернена функція (обернене відображення) до даної функції f - в математиці така функція g, яка в композиції з f дає тотожне відображення.


  8. Необхідна умова диференційованості функції в точці. Похідні елементарних функцій. Таблиця похідних.


Література
1. Шкіль М.І. Математичний аналіз: Підручник. ч. I.- 2-ге вид.- К.: Вища школа., 1994.- 423 с.[с.137– 161]

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу. ч.I. – К.: Вища школа., 1976. – 368с. [с. 94 –98]




Практичне заняття 13.

Основні правила диференціювання функцій
План


  1. Похідна суми (різниці) двох функцій.

  2. Похідна добутку двох функцій.

  3. Похідна частки.

  4. Похідна складної функції.

  5. Метод логарифмічного диференціювання.

  6. Похідна неявної функції.
    Неявна функція - математична функція, задана за допомогою рівняння.


  7. Похідна від функції, що задана параметрично.


Література
1. Шкіль М.І. Математичний аналіз: Підручник. ч. I.- 2-ге вид.- К.: Вища школа., 1994.- 423 с.[с.162– 170]

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу. ч.I. – К.: Вища школа., 1976. – 368с. [с. 98 –102]




Практичне заняття 14.

Диференціал функції
План


  1. Диференціал функції.

  2. Правила диференціювання функцій та таблиця диференціалів.

  3. Геометричний зміст диференціала.

  4. Механічний зміст диференціала.

  5. Диференціювання параметрично заданих функцій.

  6. Похідні і диференціали вищих порядків.


Література
1. Шкіль М.І. Математичний аналіз: Підручник. ч. I.- 2-ге вид.- К.: Вища школа., 1994.- 423 с.[с.170– 187]

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу. ч.I. – К.: Вища школа., 1976. – 368с. [с. 110 –120]




Практичне заняття 15.

Основні теореми диференціального числення
План


  1. Теорема Ролля.
    Диференціальне числення - розділ математики, в якому вивчаються похідні, диференціали та їх застосування в дослідженні властивостей функцій. Формування диференціального числення пов'язано з іменами Ісаака Ньютона та Ґотфріда Лейбніца.


  2. Теорема Лагранжа.

  3. Наслідки з теореми Лагранжа.

  4. Теорема Коші.

  5. Формула Тейлора.


Література
1. Шкіль М.І. Математичний аналіз: Підручник. ч. I.- 2-ге вид.- К.: Вища школа., 1994.- 423 с.[с.188– 204]

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу. ч.I. – К.: Вища школа., 1976. – 368с. [с. 121 –128]




Практичне заняття 16.

Дослідження функції за допомогою похідних (максимум і мінімум)
План


  1. Необхідна і достатня умови постійності функції на проміжку .

  2. Необхідна і достатня умови неспадності функції на проміжку .

  3. Локальний екстремум функції.

  4. Необхідна умова екстремуму функції в точці.
    Екстремум - найбільше та найменше значення функції на заданій множині.


  5. Достатні умови екстремуму функції в точці.

  6. Мінімум і максимум функції на відрізку.


Література
1. Шкіль М.І. Математичний аналіз: Підручник. ч. I.- 2-ге вид.- К.: Вища школа., 1994.- 423 с.[с.205– 223]

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу. ч.I. – К.: Вища школа., 1976. – 368с. [с. 128 –133]




Практичне заняття 17.

Дослідження функцій за допомогою похідних

(опуклість, асимптоти, загальна схема)
План


  1. Опуклість кривої і точки перегину.

  2. Асимптоти кривих.

  3. Правила Лопіталя.

  4. Загальна схема дослідження функції.


Література
1. Шкіль М.І. Математичний аналіз: Підручник. ч. I.- 2-ге вид.- К.: Вища школа., 1994.- 423 с.[с.224-247]

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу. ч.I. – К.: Вища школа., 1976. – 368с. [с. 134 –149]


Практичне заняття 18.

Наближенні методи обчислення коренів рівнянь
План


  1. Метод вилки.

  2. Метод дотичних.

  3. Метод хорд.

  4. Комбінований метод.


Література
1. Шкіль М.І. Математичний аналіз: Підручник. ч. I.- 2-ге вид.- К.: Вища школа., 1994.- 423 с.[с.247-252]

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу. ч.I. – К.: Вища школа., 1976. – 368с. [с. 149 –156]


Скачати 97.54 Kb.

  • Плани практичних занять Практичне заняття №1. Предмет і метод математичного аналізу
  • Практичне заняття 2. Дійсні числа План
  • Практичне заняття 3. Модуль дійсного числа План
  • Практичне заняття 4. Загальне поняття функції План
  • Практичне заняття 5. Класифікація функцій План
  • Практичне заняття 6. Числові послідовності Збіжні числові послідовності та їх властивості План
  • Практичне заняття 7. Нескінченно малі та нескінченно великі числові послідовності План
  • Література Шкіль М.І. Математичний аналіз: Підручник. ч. I.- 2-ге вид.- К.: Вища школа., 1994.- 423 с.[с.76– 88] Практичне заняття 8.
  • Границя функції неперервного аргументу План Означення границі функції
  • Практичне заняття 9. Однорідні границі Границі функції та нескінченності План
  • Практичне заняття 10. Неперервність функції План
  • Практичне заняття 11. Властивості функцій неперервних на відрізку План
  • Практичне заняття 12. Похідна дійсної змінної План
  • Практичне заняття 13. Основні правила диференціювання функцій План
  • Практичне заняття 14. Диференціал функції План
  • Практичне заняття 15. Основні теореми диференціального числення
  • Практичне заняття 16. Дослідження функції за допомогою похідних (максимум і мінімум) План
  • Практичне заняття 17. Дослідження функцій за допомогою похідних (опуклість, асимптоти, загальна схема) План
  • Практичне заняття 18. Наближенні методи обчислення коренів рівнянь План