Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Сніжинка коха означення сніжинки Коха

Скачати 59.22 Kb.

Сніжинка коха означення сніжинки Коха




Скачати 59.22 Kb.
Дата конвертації28.04.2017
Розмір59.22 Kb.

СНІЖИНКА КОХА

1.1. Означення сніжинки Коха
Означення 1.
Крива́ Ко́ха - фрактальна крива, описана в 1904 році шведським математиком Хельге фон Кохом. Крива Коха цікава тим, що ніде не має дотичних, тобто ніде не диференційована, хоча всюди неперервна.
Нехай - початковий відрізок (рис 1.1). Заберемо середню третину і додамо два нових відрізки такої самої довжини. Назвемо отриману множину . Повторимо цю процедуру багатократно, на кожному кроці заміняючи середню третину двома новими відрізками. Позначимо через фігуру, отриману після n–го кроку. Послідовність кривих збігається до деякої граничної кривої , яку називають сніжинкою Коха [8:17].

Рис. 1.1.

На рис. 1.2 показана сніжинка Коха після трьох кроків побудови.

Рис 1.2.


Рис. 1.3.

Означення 2. Сніжинкою Коха називається крива, кожна третина якої будується інтерактивно, починаючи з однієї із сторін рівностороннього трикутника.

Рівносторонній трикутник - трикутник, усі сторони якого рівні. В Евклідовій геометрії всі три кути рівностороннього трикутника також рівні. Тому рівносторонні трикутники є правильними многокутниками і мають назву правильних.
Нехай - початковий відрізок (рис 1.1). Заберемо середню третину і додамо два нових відрізки такої самої довжини. До сніжинки Коха на цьому кроці належать точки , , (рис. 1.3). Повторимо цю процедуру багатократно, на кожному кроці заміняючи середню третину двома новими відрізками. На другому кроці сніжинці Коха крім вже названих будуть належати точки , , , , , , , , , , , .

На інших сторонах рівностороннього трикутника робимо аналогічні побудови і одержуємо відповідні точки сніжинки Коха. Після нескінченної кількості кроків отримаємо зліченну множину точок, зробивши замикання якої (множина вже матиме потужність континуум) і одержимо сніжинку Коха.

Зліченна множина - в теорії множин така нескінченна множина, елементи якої можна занумерувати натуральними числами. Множина, яка не є зліченною, називається незліченною. Таким чином, будь-яка множина є або скінченною, або зліченною, або незліченною.

Аналітичне задання. Ідея наведеного нижче способу побудови та аналітичного задання сніжинки Коха запропонована Працьовитим М.В. [2].

Означення 3. Візьмемо послідовність : і множину коренів шостого степеня з одиниці , . Кожному числу , яке належить відрізку [0,1] і має нескінченну кількість цифр після коми, поставимо у відповідність точку комплексної площини

(1.1)

Введемо обмеження на вибір : , коли ; , коли , причому забороняються такі комбінації :



21, 22, 201, 202, 2001, 2002,; 45, 44, 404, 405, 4004, 4005, (1.2)

Множина точок комплексної площини, утворена за правилом (1.

Комплексна площина C } - множина впорядкованих пар ( x , y ) , де x , y ∈ R } . Зазвичай проводиться утотожнення комплексної площини і поля комплексних чисел C } за принципом ( x , y ) ≡ x + i y .
1) із обмеженням (1.2) на вибір , утворить сніжинку Коха діаметром 2.

Змінюючи послідовність та групу комплексних коренів n-го степеня з 1, можна будувати різноманітні фрактали.
1.2. Властивості сніжинки Коха

Властивість 1. Крива K (див. означення) є самоподібною кривою із розмірністю самоподібності [13:62].



Доведення. Якщо взяти копію K, зменшену в три рази, то усю множину K можна скласти з чотирьох таких копій. Отже, крива K є самоподібною із розмірністю самоподібності . Доведено.

Властивість 2. Сніжинка Коха має нескінченну довжину.



Доведення. Досить показати, що кожний з трьох фракталів K, отриманих ітераціями (рис. 1.1), має нескінченну довжину. Нехай вихідний відрізок має одиничну довжину. Тоді довжина кривої рівна .
Довжиною кривої в метричному просторі ( X , ρ ) називається варіація відображення, що задає криву, тобто довжина кривої γ : [ a , b ] → X - це величина, що дорівнює
Довжина кривої рівна . Продовжуючи таким чином маємо, що крива після n-го кроку має довжину . Отже, довжина граничної кривої K рівна нескінченності: . А це і доводить, що сніжинка Коха має нескінченну довжину [8:19]. Доведено.

Властивість 3. Частина площини, яку обмежує сніжинка Коха, має площу , де a – довжина сторони початкового рівностороннього трикутника.



Доведення. Нехай - площа початкового рівностороннього трикутника (нульовий крок), на першому кроці до нього добудовуємо три трикутники, площа кожного з яких рівна (бо сторона зменшилася в три рази). Отже, площа фігури, утвореної на першому кроці . На другому кроці додається ще трикутники, площа кожного з яких дорівнює . Отже, площа фігури, одержаної на другому кроці буде . На третьому кроці додаємо ще трикутники, площа кожного з яких дорівнює і загальна площа фігури після трьох кроків побудови буде , .
Площа плоскої фігури - адитивна числова характеристика фігури, яка розташована в площині. У найпростішому випадку, коли фігуру можна розбити на кінцеву множину одиничних квадратів, площа дорівнює кількості квадратів.
Площа - фізична величина, що визначає розмір поверхні, одна з основних властивостей геометричних фігур, у математиці розглядається як міра множини точок, які займають поверхню або якусь її частину. Історично, обчислення площі називалося квадратурою.
На n – ому кроці до побудованої фігури добудуємо трикутники, площа кожного з яких , загальна площа фігури після n кроків побудови буде . Спрямувавши кількість кроків до нескінченності одержимо площу частини площини, обмеженої сніжинкою Коха. , де a - довжина сторони початкового рівностороннього трикутника. Отже, . Доведено.

Рис. 1.4.

Властивість 4. Точки і , що ділять відрізок на три рівні частини, належать сніжинці Коха (рис. 1.4) [1].

Властивість 5. Крива К неперервна і не має дотичної в жодній своїй точці [28].


1.3. Острівець Коха та його властивості
Означення 4. Острівцем Коха називається сніжинка Коха разом із частиною площини, яку вона обмежує (рис 1.5).

Рис 1.5.


Властивість 1. До острівця Коха можна приєднати шість острівців Коха, які подібні до початкового з коефіцієнтом подібності , так, що між ними не залишиться точок, які не належать жодному острівцю Коха.

Властивість 2. Острівець Коха є самоподібною фігурою розмірності два.

Властивість 3. Існує неперервна крива, яка проходить через усі точки острівця Коха [2].

Доведення. На першому етапі розіб’ємо острівець Коха на сім острівців і пронумеруємо отримані острівці цифрами від 0 до 6 (рис. 1.7). Поставимо у відповідність кожному острівцю відрізок довжини (рис. 1.8). Так острівцю з номером 0 відповідатиме відрізок [0; ], острівцю з номером 1 відповідатиме відрізок [; ] і т.д. Перейшовши до сімкової системи числення, отримаємо відповідність:

острівцю з номером 0 – відрізок [0;

Системою числення, або нумерацією, називається сукупність правил і знаків, за допомогою яких можна відобразити (кодувати) будь-яке невід'ємне число. До систем числення висуваються певні вимоги, серед яких найбільш важливими є вимоги однозначного кодування невід'ємних чисел 0, 1,… з деякої їх скінченної множини - діапазону Р за скінченне число кроків і можливості виконання щодо чисел арифметичних і логічних операцій. Крім того, системи числення розв'язують задачу нумерації, тобто ефективного переходу від зображень чисел до номерів, які в даному випадку повинні мати мінімальну кількість цифр. Від вдалого чи невдалого вибору системи числення залежить ефективність розв'язання зазначених задач і її використання на практиці.
0,17],

острівцю з номером 1 – відрізок [0,17; 0,27],

острівцю з номером 2 – відрізок [0,27; 0,37],

острівцю з номером 6 – відрізок [0,67; 1].

На другому етапі кожен із острівців знову розбиваємо на 7 острівців, а кожен з відрізків на 7 відрізків і знову встановлюємо відповідність між острівцями і відрізками.

Острівцю 00 відповідає відрізок [0; 0,017],

острівцю 01 відповідає відрізок [0,017; 0,027],

острівцю 66 відповідає відрізок [0,667; 1].

Процес розбиття острівця на сім острівців можна продовжувати нескінченно, тому отримаємо відображення острівця Коха на відрізок [0;1]. При цьому кожній точці острівця відповідає деяка (можливо не єдина) точка відрізка [0;1]. Справді, візьмемо довільну точку Х острівця Коха і побудуємо для неї послідовність вкладених острівців, що містять точку Х. Ця послідовність задовольняє умови теореми про вкладені замкнені множини [7:70], і тому існує єдина точка (це точка Х), яка належить всім членам послідовності вкладених острівців.

За́мкнута множина́ - підмножина простору, доповнення до якої відкрита.
Для цієї послідовності острівців існує послідовність відповідних відрізків, яка в свою чергу задовольняє умовам теореми Кантора про вкладені відрізки [2]. Тому існує єдина точка на відрізку [0;1], яка відповідає точці Х.

Таким чином, можна побудувати неперервну криву, яка за одиничний відрізок часу пройде через усі точки острівця Коха. Доведено.

Рис. 1.7.



Рис. 1.8.

З властивості 3 слідує, що використовуючи генератор (рис. 1.9) на другому кроці побудови отримаємо певну криву (рис. 1.10) [9:104], а на п-ому кроці побудови отримаємо острівець Коха.

Рис. 1.9. Рис. 1.10.









Скачати 59.22 Kb.

  • 1.2. Властивості сніжинки Коха
  • 1.3. Острівець Коха та його властивості