Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Тема 1. Елементи теорії функцій комплексної змінної 11. Поняття комплексного числа Означення 11. 1

Тема 1. Елементи теорії функцій комплексної змінної 11. Поняття комплексного числа Означення 11. 1




Сторінка1/5
Дата конвертації28.04.2017
Розмір1.03 Mb.
  1   2   3   4   5

Тема 11. Елементи теорії функцій комплексної змінної
11.
Компле́ксний ана́ліз, або тео́рія фу́нкції компле́ксної змі́нної (ТФКЗ) - розділ математики, що вивчає функції, які залежать від комплексної змінної. Використовується у багатьох розділах математики, зокрема у теорії чисел, прикладній математиці та фізиці.
1 Поняття комплексного числа

Означення 11.1. Комплексним числом називають вираз

, (11.1)

де та – дійсні числа, а символ – це уявна одиниця, яка визначається умовою . При цьому число називають дійсною частиною комплексного числа і позначають , а число уявною частиною , .



Означення 11.2. Вираз, що міститься у правій частині рівності (11.1), називають алгебраїчною формою запису комплексного числа.

Два числа та вважаються рівними тоді і лише тоді, коли відповідно рівні їх дійсні та уявні частини: , . Комплексне число дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли , .



Означення 11.3. Два комплексних числа та , які відрізняються лише знаком уявних частин, називають спряженими.

Основні дії над комплексними числами (додавання, віднімання, множення та ділення) виконуються за звичайними правилами цих дій з многочленами з врахуванням того, що :

Нехай , .

Відніма́ння - двомісна математична операція, обернена додаванню.
Тоді:

;

;

;

.

Для спряжених чисел та , тобто добуток спряжених чисел дорівнює сумі квадратів дійсної та уявної частини.

Таким чином, ми розширили множину чисел, ввівши в неї комплексні числа так, що дійсні числа стали лише окремими випадками комплексних. У цій розширеній множині виконуються дії додавання, віднімання, множення та ділення, причому властивості цих дій залишаються такими ж, як і для множини дійсних чисел. Рівняння , що є нерозв’язним на множині дійсних чисел, має розв’язки у множині комплексних чисел.

Додавання - бінарна арифметична операція, суть якої полягає в об'єднанні математичних об'єктів.
Дійсні числа Дійсні числа - елементи числової системи, яка містить у собі раціональні числа і, в свою чергу, є підмножиною комплексних чисел. Математична абстракція, яка виникла з потреб вимірювання геометричних і фізичних величин навколишнього світу, а також виконання таких математичних операцій як добування кореня, обчислення логарифмів, розв'язування алгебраїчних рівнянь.
Ко́мпле́ксні чи́сла - розширення поля дійсних чисел, зазвичай позначається C } . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума x + i y , де x і y - дійсні числа, i - уявна одиниця.
Множину комплексних чисел позначають літерою .

Комплексне число є дійсним числом, число називають уявним числом.



Приклад 11.1. Виконати дії , , , , , якщо , .

Розвязання. ,

,

,

.

.

Комплексні числа можна зображати точками на комплексній площині. Число на декартовій площині зображається точкою або її радіус-вектором . Таким чином, існує взаємно однозначна відповідність між множиною комплексних чисел та множиною точок декартової площини.

Ра́діус-ве́ктор (зазвичай позначається r) - вектор, проведений з початку координат до даної точки. Радіус-вектор повністю визначає положення точки в системі координат, а компоненти радіус-вектора відповідно дорівнюють координатам точки.
Комплексна площина C } - множина впорядкованих пар ( x , y ) , де x , y ∈ R } . Зазвичай проводиться утотожнення комплексної площини і поля комплексних чисел C } за принципом ( x , y ) ≡ x + i y .
Бієкція (бієктивна функція, бієктивне відображення, взаємно однозначна відповідність) - в математиці відображення, яке є одночасно сюр'єктивним та ін'єктивним.
Таку площину називають комплексною площиною змінної або -площиною, її вісь дійсною віссю, вісь уявною віссю. Дійсні числа зображуються точками осі , уявні – точками осі .

Полярні координати точки на комплексній площині називають відповідно модулем і аргументом комплексного числа :

, .

Оскільки для полярних координат , , то комплексне число можна записати у вигляді:



. (11.
Полярна система координат - двовимірна система координат, в якій кожна точка на площині визначається двома числами - кутом та відстанню. Полярна система координат особливо корисна у випадках, коли відношення між точками найпростіше зобразити у вигляді відстаней та кутів; в більш поширеній, Декартовій, або прямокутній системі координат, такі відношення можна встановити лише шляхом застосування тригонометричних рівнянь.
2)

Означення 11.4. Вираз, що знаходиться у правій частині рівності (11.2), називають тригонометричною формою комплексного числа .

Модуль комплексного числа визначається однозначно, а аргумент з точністю до : , . Тут під розуміють загальне значення аргументу. Воно має нескінченне число значень. На відміну від нього, головне значення аргументу визначається однозначно при . Його значення . Воно відраховується від додатного напряму осі проти годинникової стрілки для додатних значень, за годинниковою стрілкою – для від’ємних значень.

На різних етапах розвитку цивілізації людство використовувало сонячні, зоряні, водяні, вогневі, пісочні, колісні, механічні, електричні, електронні й атомні годинники.
Годинник Годинник (арх.: дзиґа́р, дзиґарі́) - пристрій для вимірювання часу.
Якщо , то , а невизначений. Якщо – дійсне додатне число, то , для дійсного від’ємного числа .
Дода́тне число́ - дійсне число, що більше за нуль. Додатні числа розташовані на числовій осі праворуч від нуля. Протилежне поняття - від'ємне число.
Якщо ж є уявним числом, тобто , , то при , при .

При і головне значення аргументу комплексного числа можна знайти за формулою:

(11.3)

Модуль цього комплексного числа



(11.4)

Для спряжених чисел та , .



Приклад 11.2. Знайти модуль та головне значення аргументу комплексних чисел , , , , , . Записати ці числа у тригонометричній формі.
Тригонометрія Тригономе́трія (від грец. τρίγονο - трикутник та μετρειν - вимірюю, тобто буквально вимірювання трикутників) - розділ елементарної математики, що лежить на перетині алгебри та геометрії і вивчає співвідношення між сторонами й кутами трикутників, дозволяючи проводити кутові обчислення через спеціально визначені функції кутів.

  1   2   3   4   5



  • Означення 11.1.
  • Означення 11.2
  • Означення 11.3.
  • Приклад 11.1
  • Означення 11.4