Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Тема Метричні простори Означення метричного простору. Приклади метричних просторів. Декартів добуток метричних просторів. 2 год

Скачати 188.79 Kb.

Тема Метричні простори Означення метричного простору. Приклади метричних просторів. Декартів добуток метричних просторів. 2 год




Скачати 188.79 Kb.
Дата конвертації09.05.2017
Розмір188.79 Kb.
ТипЛабораторна робота

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 1
Тема 1. Метричні простори

  1. Означення метричного простору.

    Метри́чний про́стір - це пара ( X , d ), яка складається з деякої множини X елементів і відстані d , визначеної для будь-якої пари елементів цієї множини.

    Приклади метричних просторів. Декартів добуток метричних просторів. – 2 год.

  2. Найпростіші властивості метрики. Збіжність послідовності елементів метричного простору. Відкриті множини в метричному просторі та їх властивості.

    Відкри́та множина́ - в математичному аналізі, геометрії - це множина, кожна точка якої входить в неї разом з деяким околом. Відкрита множина є фундаментальним поняттям загальної топології.

    – 2 год.

  3. Замкнені множини в метричному просторі та їх властивості. – 2 год.

  4. Сепарабельні метричні простори. Приклад несепарабельного метричного простору. Повні метричні простори. – 2 год.

  5. Функції на метричних просторах. Границя функції в точці.

    Границя функції в точці - фундаментальне поняття математичного аналізу, зокрема аналізу функцій дійсної змінної, число, до якого прямує значення функції, якщо її аргумент прямує до заданої точки. Строге математичне означення границі функції дається мовою δ-ε.

    Подвійні та повторні границі. – 2 год.

  6. Неперервні функції на метричних просторах. Приклади неперервних функцій на ().

    Непере́рвна фу́нкція - одне з основних понять математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі.

    Теорема про характеризацію неперервності. – 2 год.

  7. Компактні множини в метричних просторах та їх властивості. – 2 год.

  8. Критерій компактності Хаусдорфа. – 2 год.

  9. Компактні множини в (), (). Властивості неперервних функцій на компактних множинах. Рівномірна неперервність та теорема Кантора. – 2 год.

Лабораторна робота 1. Означення метрики та метричного простору. – 2 год.


Лабораторна робота 2. Границя послідовності в метричному просторі. – 2 год.
Лабораторна робота 3. Внутрішня, гранична та ізольована точки множини. - 2год.
Лабораторна робота 4. Відкриті та замкнені множини в метричних про-

сторах та їх властивості.

Рівномірна неперервність в математичному і функціональному аналізі - це властивість функції бути однаково неперервною в усіх точках області визначення.

За́мкнута множина́ - підмножина простору, доповнення до якої відкрита.

– 2 год.


Лабораторна робота 5. Скрізь щільні множини та сепарабельні метричні

простори. – 2 год.


Лабораторна робота 6. Фундаментальні послідовності та повні метричні

простори. – 2 год.


Лабораторна робота 7. Дійсні функції на (). Границя функції в точці.

Властивості границі. – 2 год.


Лабораторна робота 8. Границя функції в точці. Повторні границі. – 2 год.
Лабораторна робота 9. Контрольна робота. Метричні простори, границя

послідовностей в метричних просторах, відкриті та замкнені

множини, повні метричні простори, границя функції в точці. –

2 год.



Самостійна робота – 32 год. (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань).
Контрольні запитання і завдання.

  1. Означення метрики та метричного простору.

  2. Простір ().

  3. Простір ().

  4. Означення простору з дискретною метрикою.

  5. Означення відкритої та замкненої куль в метричних просторах.

  6. Означення збіжної послідовності в метричному просторі.

  7. Характеризація збіжності в ().

  8. Характеризація збіжності в ().

  9. Означення внутрішньої, граничної та ізольованої точок множини.

  10. Теорема про характеризацію граничної точки множини.

    Дискре́тний простір в загальній топології і суміжних областях математики - топологічний простір, в якому всі точки ізольовані одна від одної.

    Гранична точка множини або точка скупчення множини чи точка згущення множини - це така точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок даної множини.



  11. Означення відкритої та замкненої множини.

  12. Властивості відкритих множин.

  13. Властивості замкнених множин.

  14. Теорема про зв’язок між відкритими та замкненими множинами в метричних просторах.

  15. Скрізь щільні множини в метричному просторі.

  16. Означення сепарабельного метричного простору.

  17. Сепарабельність просторів () та ().

  18. Фундаментальні послідовності в метричному просторі.

  19. Повні метричні простори.

  20. Повнота просторів () та ().

  21. Означення дійсної функції декількох змінних.

  22. Означення границі функції змінних в точці.

  23. Властивості границь.

  24. Означення границі функції, визначеної на метричному просторі.

  25. Означення повторних границь.



ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 2

Тема 2. Відображення стиску. Теорема Банаха та її застосування. Диференціальне числення функцій декількох змінних.

Диференціальне числення - розділ математики, в якому вивчаються похідні, диференціали та їх застосування в дослідженні властивостей функцій. Формування диференціального числення пов'язано з іменами Ісаака Ньютона та Ґотфріда Лейбніца.




  1. Відображення стиску. Теорема Банаха про нерухому точку.

    Нерухома точка відображення множини в себе - точка, яка відображається сама в себе.

    – 2 год.

  2. Застосування теореми Банаха до розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь, диференціальних та інтегральних рівнянь, та існування неявної функції.

    Неявна функція - математична функція, задана за допомогою рівняння.

    Інтегральне рівняння - рівняння, яке містить невідому функцію під знаком інтеграла, наприклад,

    – 2 год.

  3. Теорема Стоуна-Вейєрштраса та її застосування. – 2 год.

  4. Похідні за напрямком та їх властивості. – 2 год.

  5. Частинні похідні та їх властивості. Формула для обчислення похідних за напрямком. Градієнт та його властивості. – 2 год.

  6. Диференційовність функції декількох змінних. Достатні умови диференційовності. – 2 год.

  7. Властивості диференційовних функцій. – 2 год.

  8. Похідні і диференціали порядку . Формула Тейлора для функцій -змінних.

    У математиці Ряд Те́йлора - представлення функції у вигляді нескінченної суми доданків, які обчислюються зі значень функцій похідних в одній точці.

    Приклади. – 2 год.

  9. Локальні екстремуми функцій -змінних. Необхідні і достатні умови локального екстремума. – 2 год.

Лабораторна робота 10. Означення дійсної неперервної функції - змінних.

Властивості неперервних функцій. – 2 год.
Лабораторна робота 11. Теорема про характеризацію неперервності. – 2 год.
Лабораторна робота 12. Компактні множини в метричному просторі.

Рівномірна неперервність. Теорема Кантора. – 2 год.


Лабораторна робота 13. Обчислення похідних за напрямком та частинних похідних.

В математиці, часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних - це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.

– 2 год.
Лабораторна робота 14. Диференційовні функції. Обчислення диференціалів. Диференціали складних функцій. – 2 год.
Лабораторна робота 15. Диференціювання неявних функцій. – 2 год.
Лабораторна робота 16. Диференціювання неявних функцій (продовж). – 2 год.
Самостійна робота – 32 год. (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань).
Контрольні запитання і завдання.

  1. Дійсні неперервні функції -змінних.

  2. Означення неперервного в точці відображення одного метричного простору в інший.

  3. Теорема про характеризацію неперервності.

  4. Компактні множини в метричному просторі.

  5. Критерій компактності в () та ().

  6. Рівномірно неперервні функції на компактних множинах та їх властивості.

  7. Теорема Кантора про рівномірну неперервність.

  8. Похідні за напрямком та їх властивості.

  9. Частинні похідні і їх властивості.

  10. Формула для обчислення похідних за напрямком.

  11. Означення диференційовної в точці функції -змінних.

  12. Достатні умови диференційовності.

  13. Означення диференціала функції -змінних.

  14. Означення диференціалів вищих порядків.

  15. Формула для обчислення похідної складної функції.

  16. Диференційовність неявної функції.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 3

Тема 3. Диференційовні відображення.


  1. Лінійні відображення в . Обернене відображення, суперпозиція лінійних відображень.

    Лінійним відображенням (лінійним оператором, лінійним перетворенням) - називається відображення векторного простору V над полем K в векторний простір W (над тим же полем K )

    Обернена функція (обернене відображення) до даної функції f - в математиці така функція g, яка в композиції з f дає тотожне відображення.

    Диференційовність векторних відображень. Приклади. – 2 год.

  2. Властивості диференційовних відображень. Теорема про середнє. Лема про гомеоморфізм. – 2 год.

  3. Теорема про існування і властивості оберненого відображення. Теорема про існування і властивості неявного відображення. – 2 год.

  4. Локальний відносний екстремум. Необхідні умови локального відносного екстремума. – 2 год.

  5. Достатні умови локального відносного екстремума. Екстремум квадратичної форми на сфері.

    Квадрати́чна фо́рма - однорідний многочлен другого степеня від однієї чи декількох змінних.

    – 2 год.

Лабораторна робота 17. Заміна змінних у диференціальних виразах. – 2 год.


Лабораторна робота 18. Перехід до полярних та сферичних координат. – 2 год.
Лабораторна робота 19. Формула Тейлора та ряд Тейлора для функцій

декількох змінних. – 2 год.


Лабораторна робота 20. Знаходження точок локального екстремуму для

функцій декількох змінних.

Екстремум - найбільше та найменше значення функції на заданій множині.

– 2 год.


Лабораторна робота 21. Дослідження функцій на локальний екстремум. – 2 год.

Тема 4. Невласні інтеграли.


  1. Невласні інтеграли по нескінченному проміжку. Ознаки порівняння для інтегралів від невід’ємних функцій. – 2 год.

  2. Абсолютно і умовно збіжні невласні інтеграли. Ознаки Діріхле і Абеля збіжності невласних інтегралів. – 2 год.

  3. Означені інтеграли, що залежать від параметру. Їх властивості. – 2 год.

  4. Невласні інтеграли, що залежать від параметру. Рівномірна збіжність.

    Рівномірна збіжність послідовності функцій - властивість послідовності f n : X → Y :X\to Y} , де X - довільна множина, Y = ( Y , d ) - метричний простір, n = 1 , 2 , … збігається до функції (відображення) f : X → Y , що означає, що для будь-якого ε > 0 існує такий номер N ε } , що для всіх номерів n > N ε } і всіх точок x ∈ X виконується нерівність

    Ознаки рівномірної збіжності Вейєрштраса, Діріхле та Абеля. – 2 год.

  5. Властивості функції що визначаються невласними інтегралами. – 2 год.

  6. Обчислення інтегралів Діріхле та Ейлера-Пуассона. – 2 год.

  7. Г – функція Ейлера, її властивості та основна теорема теорії Г-функції.

    Функція Ейлера φ ( n ) , де n - натуральне число, цілочисельна функція рівна кількості натуральних чисел, не більших за n і взаємно простих з ним.

    – 2 год.

  8. Основні формули для Г-функції. – 2 год.

  9. В – функція Ейлера. Властивості. Зв’язок із Г-функцією. – 2 год.

Лабораторна робота 22. Диференційовні відображення. Якобіанти. – 2 год.


Лабораторна робота 23. Обернені та неявні відображення. – 2 год.
Лабораторна робота 24. Локальний відносний екстремум. Множники Лагранжа.

  • 2 год.

Лабораторна робота 25. Достатні умови відносного локального екстремуму.



  • 2 год.

Лабораторна робота 26. Невласні інтеграли по нескінченному проміжку. – 2 год.


Лабораторна робота 27. Ознаки порівняння для невласних інтегралів від

невід’ємних функцій. – 2 год.

Лабораторна робота 28. Абсолютна і умовна збіжність невласних інтегралів.


  • 2 год.

Лабораторна робота 29. Інтеграли Рімана, що залежать від параметра. – 2 год.


Лабораторна робота 30. Властивості інтегралу Рімана, що залежить від параметру.

Інтегра́л Рі́мана - одне з найважливіших понять математичного аналізу, є узагальненням поняття суми, яке знаходить широке застосування в багатьох галузях математики. Був уведений Бернгардом Ріманом в 1854 році, і є однією з перших формалізацій поняття інтегралу.



  • 2 год.

Лабораторна робота 31. Обчислення інтегралів Рімана за допомогою

диференціювання та інтегрування за параметром під знаком інтегралу.

– 2 год.
Лабораторна робота 32. Контрольна робота. Диференційовні векторні

відображення. Локальні відносні екстремуми, невласні інтеграли по

нескінченному проміжку і від необмеженої функції, інтеграли Рімана,

що залежать від параметру. – 2 год.
Самостійна робота – 64 год. (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань).


  1. Лінійні векторні відображення.

  2. Суперпозиція лінійних відображень.

  3. Обернене відображення до лінійного.

  4. Неперервні векторні відображення.

  5. Диференційовні векторні відображення.

  6. Матриця якобі і якобіан.

  7. Лема про гомеоморфізм.

  8. Теорема про існування і властивості оберненого відображення.

  9. Теорема про існування і властивості неявного відображення.

  10. Локальний відносний екстремум. Необхідні умови. Множини Лагранжа.

  11. Достатні умови локального відносного екстремума.

  12. Екстремум квадратичної форми на сфері.

  13. Невласні інтеграли по нескінченному інтервалу.

  14. Властивості невласних інтегралів.

  15. Абсолютно і умовно збіжні невласні інтеграли.

  16. Ознаки Діріхле і Абеля збіжності невласного інтегралу.

  17. Невласні інтеграли від необмежених функцій.

  18. Функції визначені за допомогою інтегралів Рімана, що залежать від параметру.

  19. Теорема про неперервність інтеграла Рімана, що залежить від параметру.

  20. Теорема про диференційовність інтеграла Рімана по параметру.

  21. Теорема про інтегровність інтеграла Рімана за параметром.

  22. Рівномірна збіжність системи функцій.

  23. Теорема про граничний перехід по параметру під знаком інтеграла Рімана.


Система контролю знань.
Змістовий модуль 1 – 20 балів:
- виконання лабораторних робіт (відвідування, активність студента на

занаттях, виконання аудиторних та домашніх занять) – 5 балів;

- письмова контрольна робота – 15 балів.

Змістовий модуль 2 - 20 балів:


- виконання лабораторних робіт (відвідування, активність студента на

занаттях, виконання аудиторних та домашніх завдань) – 5 балів;

- колоквіум – 15 балів.
Змістовий модуль 3 - 20 балів:
- виконання лабораторних робіт (відвідування, активність студента на

занаттях, виконання аудиторних та домашніх занять) – 5 балів;

- письмова контрольна робота – 15 балів.
Іспит – 40 балів.
Всього за семестр – 100 балів.
Мінімальна кількість балів для зарахування модульної контрольної роботи – 9 балів.

Кожна незарахована контрольна робота може бути переписана один раз.

Колоквіум можна перескласти, якщо він був пропущений з поважної причини.

Рекомендована література.




  1. Дороговцев А.Я., Математичний аналіз, т.

    Математи́чний ана́ліз - фундаментальний розділ математики, що веде свій відлік від XVII століття, коли було строго сформульовано теорію нескінченно малих. Сучасний математичний аналіз включає в себе також теорію функцій, теорії границь і рядів, диференційне та інтегральне числення, диференціальні рівняння та диференціальну геометрію.

    ІІ, Київ, Либідь, 1994.

  2. Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. І, т. ІІ, М., Наука, 1969.

  3. Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1968.

  4. А.Я. Дороговцев, М.О. Денисьєвський, О.Г. Кукуш. Навчальні завдання до практичних занять з математичного аналізу, Київ, ВПЦ Київський університет, 2002.


Змістовий модуль 1
Тема 1. Невизначений інтеграл.



  1. Первісна. Узагальнена первісна. Невизначений інтеграл. Геометрична інтерпретація невизначеного інтегралу і його найпростіші властивості. Таблиця невизначених інтегралів. – 2 год.

  2. Інтегрування за допомогою заміни змінної та інтегрування за частинами в невизначеному інтегралі. – 2 год.

  3. Інтегрування раціональних функцій. Розклад раціональних функцій на елементарні дроби. Метод невизначених коефіцієнтів.

    Неви́значений інтегра́л для функції f - це сукупність усіх первісних цієї функції.

    Раціональна функція однієї змінної - це алгебраїчний вираз, що є відношенням двох многочленів, тобто має вигляд

    Метод невизначених коефіцієнтів - підхід для віднайдення частинного розв'язку для певних неоднорідних звичайних диференціальних рівнянь і Рекурентне співвідношення рекурентних співвідношень. Для знаходження найкращого можливого частинного розв'язку , робиться припущення в підхожій формі, яке потім тестується диференціюванням рівняння.

    – 2 год.

  4. Інтегрування елементарних дробів. – 2 год.

  5. Інтегрування функції виду

Інтегрування квадратичних ірраціональностей за допомогою підстановок Ейлера. – 2 год.



  1. Інтегрування біноміальних диференціалів та раціональних функцій від тригонометричних функцій. Універсальна тригонометрична підстановка.

    Тригономе́трія (від грец. τρίγονο - трикутник та μετρειν - вимірюю, тобто буквально вимірювання трикутників) - розділ елементарної математики, що лежить на перетині алгебри та геометрії і вивчає співвідношення між сторонами й кутами трикутників, дозволяючи проводити кутові обчислення через спеціально визначені функції кутів.

    Підстановка тангенса півкута або універсальна тригонометрична підстановка (англ. tangent half-angle substitution) - підстановка використовна для віднайдення первісної і визначеного інтеграла раціональних функцій від тригонометричних функцій.

    – 2 год.

Лабораторна робота 1. Означення первісної та невизначеного інтегралу. Узагальнена первісна. Таблиця основних інтегралів. – 2 год.

Лабораторна робота 2. Знаходження невизначених інтегралів за допомо-

гою таблиці основних інтегралів та їх елементарних власти-

востей. – 2 год.

Лабораторна робота 3. Інтегрування за допомогою підстановки. – 2 год.

Лабораторна робота 4. Інтегрування за частинами. – 2 год.

Лабораторна робота 5. Інтегрування раціональних функцій. – 2 год.

Лабораторна робота 6. Інтегрування ірраціональних функцій. – 2 год.

Лабораторна робота 7. Інтегрування тригонометричних функцій.

Тригонометри́чні фу́нкції - це функції кута. Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін та кута трикутника або як відношення координат точок кола.

– 2 год.

Лабораторна робота 8. Різні прийоми інтегрування. – 2 год.

Лабораторна робота 9. Контрольна робота на основні методи обчислення

інтегралів. – 2 год.
Самостійна робота – 30 год. (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань).
Контрольні запитання і завдання.


  1. Означення первісної та узагальненої первісної.

  2. Неоднозначність визначення первісної.

  3. Невизначений інтеграл та його найпростіші властивості.

  4. Таблиця основних інтегралів.

  5. Інтегрування за допомогою підстановки.

  6. Правило інтегрування за частинами.

  7. Інтегрування раціональних функцій. Розклад раціональних функцій на елементарні дроби.

  8. Метод невизначених коефіцієнтів.

  9. Метод Остроградського.

  10. Інтегрування елементарних дробів.

  11. Інтегрування функцій виду



  1. Інтегрування квадратичних ірраціональностей. Три підстановки Ейлера.

  2. Інтегрування біноміальних диференціалів.

  3. Інтегрування функцій виду ,

універсальна тригонометрична підстановка.

  1. Різні випадки інтегрування тригонометричних функцій.



Змістовий модуль 2.
Тема 2. Інтеграл Рімана. Застосування інтеграла Рімана.


  1. Інтегровні на відрізку функції та означення інтеграла Рімана. – 2 год.

  2. Критерій інтегрованості. – 2 год.

  3. Класи інтегровних за Ріманом функцій. – 2 год.

  4. Інтеграл Рімана, як границя інтегральних сум. Теорема Дарбу.

    Теорема Дарбу - теорема в математичному аналізі, що стверджує - якщо деяка функція на замкнутому відрізку є похідною іншої функції, то на цьому відрізку вона набуває усіх проміжних значень між значеннями на краях відрізка.

    – 2 год.

  5. Властивості інтеграла Рімана. – 2 год.

  6. Інтеграл, як функція верхньої границі інтегрування. Основна формула інтегрального числення, або формула Ньютона-Лейбніца. – 2 год.

  7. Формула заміни змінної у інтегралі Рімана та формула інтегрування за частинами у інтегралі Рімана. Граничний перехід під знаком інтегралу Рімана. – 2 год.

  8. Обчислення площі плоських фігур, обчислення довжини дуги кривої. – 2 год.

  9. Обчислення об’ємів тіл обертання та площі поверхонь тіл обертання. – 2 год.

Лабораторна робота 10. Означення інтеграла Рімана. Критерій інтегров-

ності. – 2 год.

Лабораторна робота 11. Інтеграл як границя інтегральних сум. Теорема

Дарбу. – 2 год.

Лабораторна робота 12. Властивості визначеного інтеграла.

Інтеграл - центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі.

Формула

Ньютона-Лейбніца. – 2 год.

Лабораторна робота 13. Інтегрування за частинами. Заміна змінної у

інтегралі Рімана. – 2 год.

Лабораторна робота 14. Обчислення площ. Обчислення довжини дуги

кривої. – 2 год.

Лабораторна робота 15. Обчислення об’ємів та площ поверхонь тіл

обертання. Теореми Гюльдена.

Самостійна робота – 30 год. (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань).


Контрольні запитання і завдання.

  1. Поняття розбиття відрізка та діаметра розбиття.

    Нехай [ a , b ] - відрізок. Набір точок x 0 , x 1 , … , x n ,x_,\ldots ,x_} таких, що



  2. Означення нижньої, верхньої сум Дарбу та інтегральної суми для функції обмеженої на відрізку.

  3. Властивості сум Дарбу та інтегральних сум.

  4. Означення нижнього та верхнього інтегралів.

  5. Означення функції інтегровного за Ріманом і інтеграла Рімана.

  6. Критерій інтегрованості. Класи інтегрованих функцій.

  7. Інтеграл як границя інтегральних сум. Теорема Дарбу.

  8. Використання теореми Дарбу для обчислення інтегралів Рімана і границь послідовностей.

  9. Властивості інтеграла Рімана. Теорема про середнє, нерівність Коші для інтегралів.

  10. Інтеграл як функція верхньої границі інтегрування. Властивості. Теорема про існування первісної.

  11. Основна формула інтегрального числення, або формула Ньютона-Лейбніца.

  12. Обчислення площі криволінійної трапеції.

    Нерівність Коші-Буняковського (Коші-Шварца; англ. Cauchy–Schwarz inequality, англ. Cauchy–Schwarz–Bunyakovsky inequality) - нерівність, що зв'язує норму та скалярний добуток векторів векторного простору.

    Криволінійна трапеція - фігура на площині, обмежена графіком невід'ємної неперервної функції y = f ( x ) , визначеною на відрізку [a; b], віссю абсциса і прямими x = a та x = b .



  13. Обчислення площі криволінійного сектора.

  14. Обчислення довжини дуги кривої.

  15. Обчислення об’ємів тіл обертання.

  16. Обчислення площ поверхонь тіл обертання.

  17. Обчислення координат центрів ваги для матеріальних кривих, фігур на площині та тіл в просторі.

  18. Перша і друга теореми Гюльдена.



Змістовий модуль 3.
Тема 3. Числові ряди і добутки.


  1. Означення числового ряду. Необхідні умови збіжності. Приклади. Елементарні властивості збіжних рядів. – 2 год.

  2. Ряди з невід’ємними членами. Критерій збіжності. Теореми порівняння для рядів з невід’ємними членами. – 2 год.

  3. Ознаки Д’аламбера, Коші, логарифмічна та Раабе збіжності рядів з невід’ємними членами. – 2 год.

  4. Інтегральна ознака Маклорена-Коші збіжності рядів з невід’ємними членами. – 2 год.

  5. Ряди з довільними членами. Ряд Лейбніца. Абсолютно і умовно збіжні ряди. Властивості абсолютно збіжних рядів. – 2 год.

  6. Ознаки Лейбніца, Діріхле та Абеля збіжності рядів. Властивості збіжних рядів. – 2 год.

  7. Добуток рядів за Коші. Теорема про добуток двох абсолютно збіжних рядів. – 2 год.

  8. Нескінченні добутки. Необхідна та достатні умови збіжності нескінченних добутків. – 2 год.

Лабораторна робота 16. Числові ряди. Необхідні умови збіжності.

Критерій збіжності ряду з невід’ємними членами. – 2 год.

Лабораторна робота 17. Збіжність рядів з невід’ємними членами.

Ознаки збіжності. – 2 год.

Лабораторна робота 18. Абсолютно та умовно збіжні ряди. Ознаки

Лейбніца, Діріхле та Абеля. – 2 год.

Лабораторна робота 19. Властивості збіжних рядів. Добуток рядів. – 2 год.

Лабораторна робота 20. Нескінченні добутки та їх збіжність. – 2 год.
Тема 4. Функціональні ряди.

Функціональний ряд - ряд, кожен член якого є деякою функцією від однієї чи багатьох незалежних змінних.




  1. Рівномірна збіжність функціональної послідовності. Критерій Коші рівномірної збіжності. Рівномірна збіжність функціонального ряду. – 2 год.

  2. Ознаки Вейєрштрасса, Діріхле та Абеля рівномірної збіжності функціональних рядів. – 2 год.

  3. Властивості рівномірно збіжних функціональних рядів. – 2 год.

  4. Степеневі ряди. Радіус збіжності степеневого ряду. Теорема Коші-Адамара. – 2 год.

  5. Область рівномірної збіжності степеневого ряду. Властивості сум степеневих рядів. – 2 год.

  6. Розклад функцій в степеневі ряди. Ряд Тейлора. – 2 год.

  7. Степеневі ряди з комплексними членами. Область збіжності. Формули Ейлера.

    Формула Ейлера - співвідношення, що пов'язує комплексну експоненту з тригонометричними функціями. Названа на честь Леонарда Ейлера, який її запропонував.

    – 2 год.

Лабораторна робота 21. Поточкова і рівномірна збіжність функціональної

послідовності. Геометрична інтерпретація. – 2 год.

Лабораторна робота 22. Множина збіжності функціонального ряду.

Рівномірна збіжність функціонального ряду. – 2 год.

Лабораторна робота 23. Ознаки рівномірної збіжності функціональних

рядів. – 2 год.

Лабораторна робота 24. Властивості сум рівномірно збіжних функціональ-

них рядів. – 2 год.

Лабораторна робота 25. Степеневі ряди. Радіус збіжності. Властивості сум

степеневих рядів. – 2 год.

Лабораторна робота 26. Ряд Тейлора. Розклади основних функцій в ряд

Тейлора-Маклорена. – 2 год.

Лабораторна робота 28. Степеневі ряди в комплексній площині.

Комплексна площина C } - множина впорядкованих пар ( x , y ) , де x , y ∈ R } . Зазвичай проводиться утотожнення комплексної площини і поля комплексних чисел C } за принципом ( x , y ) ≡ x + i y .

– 2 год.

Лабораторна робота 29. Контрольна робота. Числові та функціональні

ряди. Степеневі ряди та ряд Тейлора. – 2 год.


Тема 5. Функції обмеженої варіації та інтеграл Стілтьєса.

Інтеграл Стілтьєса (або інтеграл Рімана-Стілтьєса) - узагальнення визначеного інтеграла, дане в 1894 році голландським математиком Томасом Стілтьєсом.




  1. Монотонні функції та їх властивості. – 2 год.

  2. Функції обмеженої варіації та їх властивості. Теорема Йордана. – 2 год.

  3. Інтеграл Стілтьєса відносно функцій з обмеженою варіацією. – 2 год.

  4. Граничний перехід під знаком інтеграла Стілтьєса. Теорема Хеллі. – 2год.

Лабораторна робота 30. Означення функції обмеженої варіації. Властиво-

сті варіації. – 2 год.

Лабораторна робота 31. Розклад Жордана функції обмеженої варіації. – 2

год.

Лабораторна робота 32. Означення інтеграла Рімана-Стілтьєса. – 2 год.



Лабораторна робота 33. Формула для обчислення інтегралу Рімана-

Стілтьєса. – 2 год.

Лабораторна робота 34. Обзорне заняття за матеріалом другого семестру.

- 2 год.



Самостійна робота – 60 год. (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань).
Контрольні запитання і завдання.

  1. Числові ряди. Необхідні умови збіжності. Геометричний ряд. Гармонічний ряд. Узагальнений гармонічний ряд.

  2. Властивості збіжних числових рядів. Залишок ряду. Критерій Коші збіжного ряду.

  3. Критерій збіжності ряду з невід’ємними членами. Теореми порівняння для рядів з невід’ємними членами.

  4. Ознаки д’Аламбера, Коші, логарифмічна та Раабе збіжності рядів з невід’ємними членами.

  5. Інтегральна ознака Маклорена-Коші.

  6. Ряд Лейбніца.

  7. Абсолютно і умовно збіжні ряди.

  8. Властивості абсолютно збіжних рядів.

  9. Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца.

  10. Ознака Діріхле та Абеля збіжності рядів.

  11. Властивості збіжних рядів. Теорема Діріхле. Теорема Рімана.

  12. Добуток рядів. Добуток рядів за Коші, добуток двох абсолютно збіжних рядів.

  13. Нескінченні добутки, збіжність, необхідна умова збіжності. Зв’язок з рядами.

  14. Достатні умови збіжності нескінченних добутків.

  15. Рівномірна збіжність функціональної послідовності. Приклади. Критерій Коші рівномірної збіжності.

  16. Леми про неперервність та інтегрованість граничної функції.

  17. Множина збіжності функціонального ряду. Рівномірна збіжність функціонального ряду. Критерій Коші рівномірної збіжності.

  18. Ознаки Вейєрштраса, Діріхле та Абеля рівномірної збіжності функціонального ряду.

  19. Властивості сум рівномірно збіжних рядів: неперервність, по членне інтегрування, граничний перехід, диференціювання.

  20. Степеневі ряди, радіус збіжності, область збіжності. Теорема Коші-Адамара.

  21. Область рівномірної збіжності степеневого ряду.

  22. Властивості сум степеневих рядів. Теореми про почленне інтегрування та диференціювання степеневого ряду.

  23. Розклад функцій в степеневі ряди. Ряд Тейлора. Теорема про розклад функцій в степеневий ряд.

  24. Приклади розкладу основних функцій в ряди Тейлора-Маклорена.

  25. Ряди з комплексними членами. Степеневі ряди з комплексними членами. Радіус збіжності. Круг збіжності.

  26. Теорема Коші-Адамара для степеневих рядів в комплексній площині.

  27. Показникові функція в комплексній площині. Формули Ейлера.

  28. Монотонні функції і їх властивості. Теорема про представлення монотонної не спадної функції у вигляді суми функції стрибків і монотонно не спадної неперервної функції.

  29. Функції обмеженої варіації і їх властивості. Теорема Жордана.

    У топології, Жорданова крива - це довільна замкнена без самоперетинів крива в площині, інакше відома як проста замкнена крива.



  30. Інтеграл Стілтьєса відносно монотонно не спадної функції. Критерій інтегрованості.

  31. Класи інтегрованих за Ріманом-Стілтьєсом функцій.

  32. Властивості інтеграла Стілтьєса.

  33. Інтеграл Стілтьєса відносно функцій обмеженої варіації.

  34. Обчислення інтегралів Стілтьєса.

  35. Граничний перехід під знаком інтеграла Стілтьєса. Теорема Хелі.



Система контролю знань
Змістовий модуль 1 – 20 балів;


  • виконання лабораторних робіт (відвідування, активність студента на заняттях, виконання аудиторних та домашніх занять) – 5;

  • письмова контрольна робота – 15;


Змістовий модуль 2 – 20 балів;



  • виконання лабораторних робіт (відвідування, активність студента на заняттях, виконання аудиторних та домашніх занять) – 5;

  • колоквіум – 15;


Змістовий модуль 3 – 20 балів;


  • виконання лабораторних робіт (відвідування, активність студента на заняттях, виконання аудиторних та домашніх занять) – 5;

  • письмова контрольна робота – 15;



Іспит – 40 балів.

Всього за семестр – 100 балів.
Мінімальна кількість балів для зарахування модульної контрольної роботи – 9 балів, для колоквіуму – 9 балів.

Кожна не зарахована контрольна робота може бути переписана один раз.



Колоквіум можна перескласти, якщо він був пропущений з поважної причини.


Скачати 188.79 Kb.

  • Рівномірна неперервність
  • ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 2 Тема 2. Відображення стиску. Теорема Банаха та її застосування. Диференціальне числення
  • ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 3 Тема 3. Диференційовні відображення.
  • Обернене відображення
  • Тема 4. Невласні інтеграли.
  • Змістовий модуль 1 Тема 1. Невизначений інтеграл .
  • Змістовий модуль 2. Тема 2. Інтеграл Рімана. Застосування інтеграла Рімана.
  • Змістовий модуль 3. Тема 3. Числові ряди і добутки.
  • Тема 5. Функції обмеженої варіації та інтеграл Стілтьєса
  • Система контролю знань Змістовий модуль 1 – 20 балів;
  • Змістовий модуль 2 – 20 балів;
  • Змістовий модуль 3 – 20 балів;
  • Іспит – 40 балів. Всього за семестр – 100 балів.