Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Використання віконної обробки при гармонійному аналізі сигналів методом дпф

Скачати 182.87 Kb.

Використання віконної обробки при гармонійному аналізі сигналів методом дпф




Скачати 182.87 Kb.
Дата конвертації05.05.2017
Розмір182.87 Kb.
ТипКурс лекцій

© Ваврук Є.Я.

Курс лекцій "Проектування комп’ютерних засобів обробки сигналів та зображень"



Лекція №7

Тема: Використання віконної обробки при гармонійному аналізі сигналів методом ДПФ

Питання.

Ана́ліз (від грец. αναλυσις - «розклад») - розчленування предмету пізнання, абстрагування його окремих сторін чи аспектів. Метод дослідження, який вивчає предмет, уявно чи реально розчленовуючи його на складові елементи, як-от частини об'єкта, його ознаки, властивості, відношення, відтак розглядає кожен з виділених елементів окремо в межах єдиного цілого; протилежний метод - синтез.

Обробка сигналів - галузь схемотехніки, електротехніки і прикладної математики, яка досліджує теорію перетворення як цифрових, так і аналогових сигналів, що є змінними в часі або просторі фізичними величинами.


1. Загальні поняття про гармонійну обробку

2. Гармонійний аналіз кінцевих масивів даних і ДПФ

3. Просочування спектральних складових

4. Вікна та їх основні параметри

- еквівалентна шумова смуга

- підсилення і втрати перетворення

- кореляція ділянок, що перекриваються

- паразитна амплітудна модуляція спектру

- максимальні втрати перетворення

- мінімальна допустима смуга частот
1.

Смуга пропускання частот (англ. Bandwith) - діапазон частот, у межах якого амплітудно-частотна характеристика (АЧХ) акустичного, радіотехнічного або оптичного пристрою є досить рівномірною для того, щоб забезпечити передачу сигналу без суттєвого викривлення його форми.

Ампліту́дна модуля́ція (АМ) - вид модуляції, при якій параметром сигналу-носія, що змінюється, є амплітуда його коливань.

 Загальні поняття про гармонійну обробку

При обробці сигналів доводиться вирішувати задачі двох типів — задачу виявлення і оцінювання.

Оцінювання - (фр. evaluation від value ціна, вартість) оцінка, визначення ціни, вартості, визначення кількості, якості продукції, якості ресурсів, придатності тощо; аналіз даних, обстановки.

При виявленні потрібно дати відповідь на питання, чи спостерігається зараз деякий сигнал з апріорно відомими параметрами. Оцінювання - це задача вимірювання значень параметрів, що описують сигнал. Реальний сигнал є зачумленим: на нього накладаються інші сигнали. Тому для спрощення розв’язання вказаних задач сигнал звичайно розкладають по базисних складових. Для багатьох додатків найбільший інтерес представляють періодичні сигнали. Цілком природно, що рішення задач виявлення і оцінювання подібних сигналів пов'язано з їх розкладанням по базису, що складається з простих періодичних функцій sin і cos. Таке розкладання можна виконати за допомогою класичного перетворення Фур’є.

Необхідно пам’ятати, що при реалізації такого перетворенню вважається, що кожний оброблюваний сигнал повинен мати кінцеву тривалість.

Преса - друковані засоби масової інформації (періодичні друковані видання), які виходять під постійною назвою, з періодичністю один і більше номерів (випусків) протягом року. Під пресою розуміють газети, журнали, альманахи, збірки, бюлетені, рідше книги, листівки, що мають визначений наклад.

Про́даж - це оплатна передача майна однією особою у власність іншій особі.

Тривалість сигналу можна, зрозуміло, міняти і регулювати, але вона обов'язково повинна бути кінцевою. При обробці сигналів кінцевої тривалості виникають цікаві і взаємозалежні питання, які необхідно враховувати в ході гармонійного аналізу. Кінець інтервалу спостереження впливає _на знаходження тонів у присутності близьких сильних тонів, на знаходження тонів змінної частоти і на точність оцінок параметрів всіх вищезазначених сигналів.

На практиці оброблюваний масив даних складається з N еквідістантних відліків прийнятого сигналу. Для зручності будемо вважати, що N - парне складове число. Гармонійні оцінки одержувані за допомогою дискретного перетворення Фур’є (ДПФ), це N еквідістантних відліків відповідних періодичних спектрів. Такий підхід математично витончений і привабливий, коли схема _обробки сигналу реалізується як спектральне розкладання в N-мірному ортогональному векторному просторі.

Матема́тика (грец. μάθημα - наука, знання, вивчення) - наука, яка первісно виникла як один з напрямків пошуку істини (у грецькій філософії) у сфері просторових відношень (землеміряння - геометрії) і обчислень (арифметики), для практичних потреб людини рахувати, обчислювати, вимірювати, досліджувати форми та рух фізичних тіл.

Маси́в - впорядкований набір фіксованої кількості однотипних елементів, що зберігаються в послідовно розташованих комірках оперативної пам'яті, мають порядковий номер і спільне ім'я, що надає користувач.

Ве́кторний (ліні́йний) про́стір - основне поняття лінійної алгебри, узагальнення множини всіх векторів на площині чи в просторі з операціями додавання векторів та множення вектора на скаляр.

На жаль, на практиці для отримання задовільних результатів часто доводиться жертвувати цією витонченістю. Один з неминучих в таких випадках компромісів пов'язаний з тим, що послідовність відліків сигналу доводиться множити на вагові функції (вікна) або, що еквівалентно, згладжувати спектральні відліки.

Результат, пі́дсумок, (заст. ску́ток, вислід) - кінцевий наслідок послідовності дій. Можливі результати містять перевагу, незручність, вигоду, збитки, цінність і перемогу. Результат є етапом діяльності, коли визначено наявність переходу якості в кількість і кількості в якість.

Компроміс (грец. compromissum - угода, згода) - згода з ким-небудь у чомусь, що досягається взаємними поступками; поступка заради досягнення мети.

Таким чином, дані звичайно піддаються двом виконуваним в довільному порядку операціям дискретизації і згладжуванню за допомогою вікон.

Дискретиза́ція - перетворення функцій неперервних змінних у функції дискретних змінних, за якими початкові неперервні функції можуть бути відновлені із заданою точністю. Роль відліків виконують квантовані значення функцій.

Що таке дискретизація і згладжування даних за допомогою вікон, достатньо добре знають всі, а ось що таке дискретні вікна для ДПФ, відомо лише небагатьом! Тому ми і звернемося до чинників, що визначають вибір вікон для гармонійного аналізу, надавши особливу увагу дискретним вікнам, використовуваним при ДПФ.


2. Гармонійний аналіз кінцевих масивів даних і ДПФ

Гармонійний аналіз кінцевих послідовностей даних пов'язаний із задачею проекції спостережуваного сигналу на базисні вектори, на які накладається інтервал спостереження. Введемо позначення, які знадобляться нам в наступних розділах. Нехай Т (сек) – часовий інтервал, NT (сек) – інтервал часу спостереження. Синуси і косинуси з періодами,


Рис 1. N відліки парної функції на інтервалі NT секунд


кратними інтервалу NT, утворюють ортогональний базис для безперервних сигналів тривалістю NТ.

Ортогональний базис - ортогональна система елементів лінійного простору зі скалярним добутком, що має властивість повноти.

Базисні функції визначаються як
(1)

Зауважимо, що, припустивши набір базисних функцій з впорядкованим індексом k, ми тим самим визначили спектр сигналу над лінією, званою частотною віссю, з якого далі виводяться поняття ширини смуги частот і частот, близьких і далеких від даної частоти (ці поняття пов'язані з роздільною здатністю).

Для дискретизованих сигналів базис, що стягує інтервал NT, ідентичний послідовності еквідістантних відліків векторів відповідного безперервного базису з індексами від 0 до N/2:

(2)

Відзначимо, що тригонометричні функції унікальні в тому відношенні, що послідовності їх еквідістантних відліків (на інтервалі, рівному цілому числу періодів) взаємно ортогональні.

Індекс (лат. index від indico - вказую, subscript) - число, букви або інша комбінація символів, що вказує місце елемента в сукупності або характеризує стан деякої системи (список, реєстр, покажчик). символ, який зв'язаний з іменем множини для визначення конкретної підмножини або її елементу; вираз, що вказує номер елементу масива; список, покажчик, перелік будь-чого; реквізит, що дозволяє забезпечити оперативний довідково-інформаційний пошук документа, його схоронність і контроль виконання; цифровий показник послідовних змін у розвитку будь-якого економічного явища: обсягу виробництва роздрібних цін реальної заробітної плати тощо.

Тригономе́трія (від грец. τρίγονο - трикутник та μετρειν - вимірюю, тобто буквально вимірювання трикутників) - розділ елементарної математики, що лежить на перетині алгебри та геометрії і вивчає співвідношення між сторонами й кутами трикутників, дозволяючи проводити кутові обчислення через спеціально визначені функції кутів.

Тригонометри́чні фу́нкції - це функції кута. Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін та кута трикутника або як відношення координат точок кола.

Еквідістантні відліки довільних ортогональних функцій не утворюють ортогональних послідовностей.

Ортогональність (від грец. ὀρθός - прямий, and грец. γωνία - кут) - термін, яким позначають перпендикулярність векторів.

Відзначимо також, що часовий інтервал, займаний N відліками, узятими через Т секунд, нерівний NT секундам. Це легко зрозуміти, якщо врахувати той факт, що інтервал, на якому беруться відліки, замкнутий зліва і відкритий справа (тобто [—)).

Розумі́ння - психологічний стан, який виражає собою правильність ухваленого рішення і супроводжуваний відчуттям упевненості в точності сприйняття або інтерпретації якої-небудь події, явища, факту.

Рис. 1 ілюструє цю обставину на прикладі дискретизації парної щодо центру інтервалу функції тривалістю NТ сек.

Оскільки для ДПФ потрібна періодичність ряду, опущену останню точку послідовності можна вважати початковою точкою наступного періоду періодичного продовження цієї послідовності. Дійсно, при періодичному, продовженні наступний відлік (на 16-й секунді на рис. 1) не відрізняється від відліку в нульовий момент часу.

Вказане порушення симетрії через відсутню кінцеву точку є постійним джерелом помилок при виборі типу вживаного вікна. Ці помилки сходять до ранніх робіт, присвячених збіжності часткових сум рядів Фур’є. Часткові суми (або кінцеве перетворення Фур’є) завжди мають непарне число членів і володіють парною симетрією щодо початкової точки.

Симетрíя (від грец. συμμετρεῖν - міряти разом) - властивість об'єкта відтворювати себе при певних змінах, перетвореннях чи трансформаціях, які називаються операціями симетрії. Розрізняють симетрію тіл, симетрію властивостей і симетрію відношень.

Момент часу - точка на часовій осі. Про події, що відповідають одному моменту часу, говорять як про одночасні.

Па́рність або непарність - властивість цілих чисел. Зокрема, парним називається таке число, що можна поділити на 2 без залишку, в той час як непарне число ділиться на два із залишком.

Тому в бібліотеки стандартних програм включені вікна, що володіють істинною парною симетрією, а не симетрією з опущеною кінцевою точкою!

При обчисленні ДПФ дискретних даних слід пам’ятати, що парна симетрія означає, що проекція сигналу на послідовність відліків синуса тотожно рівна нулю. Але це ні в якому разі не означає, що числа відліків, розташованих справа і зліва від середньої точки, обов'язково рівні один одному.

Обчи́слення - є гілкою математики, зосередженою на функціях, похідних, інтегралах, і нескінченному ряду чисел. Цей предмет являє собою важливу частину сучасної математичної освіти. Воно складається з двох основних галузей - диференціального і інтегрального численнь, які пов'язують основні теореми обчислення.

Станда́рт - нормативний документ, заснований на консенсусі, прийнятий визнаним органом, що встановлює для загального і неодноразового використання правила, настанови або характеристики щодо діяльності чи її результатів, та спрямований на досягнення оптимального ступеня впорядкованості в певній сфері.

В геометрії, середня точка - це точка на заданому відрізку, що знаходиться на рівній відстані від обох кінців цього відрізка. Є центром мас як всього відрізка, так і його кінцевих точек. Середня точка ділить навпіл[en] відрізок.

Щоб відрізняти цю симетрію від звичайної парності, будемо називати звичайну парну послідовність з опущеною крайньою правою точкою ДПФ-парною. Іншим прикладом ДПФ-парної послідовності є послідовність відліків періодично продовженої трикутної хвилі (рис. 2).

Трику́тник у евклідовій геометрії - три точки, що не лежать на одній прямій, і три відрізки, що їх сполучають. Трикутник з вершинами A, B, і C позначається ABC. Трикутник є многокутником і 2-симплексом.


Рис. 2. Парна послідовність і її періодичне продовження при обчисленні ДПФ

Якщо обчислити кінцеве перетворення Фур’є ДПФ-парної послідовності (рахуючи відлік в точці N/2 рівним 0), то отримана безперервна періодична функція буде мати ненульову уявну компоненту. ДПФ тій же самій послідовності - це не що інше, як ряд відліків кінцевого перетворення Фур’є, проте уявна компоненту цих відліків тотожно рівна нулю. В чому причина цієї невідповідності? Не треба забувати, що відсутність в ДПФ-парному ряді кінцевої точки приводить до появи в кінцевому перетворенні уявної синусоїдальній компоненти з періодом 22π/(N/2) (відповідної непарному члену послідовності з номером N/2).

Театральна лабораторія «ВідСутність» - зразковий художній колектив заснований в 2010 році за ініціативи Юрія Паскара в місті Рівне. Діє на базі Рівненського міського Палацу дітей та молоді.

Компонент (англ. component, нім. Komponente f) - різновид, складова частина чогось.

Проте відліки ДПФ беруться в точках, кратних 22 π /N, які, звичайно, відповідають нулям уявної синусоїдальній компоненти. Приклад такої вдалої дискретизації показаний на мал. 3.

Відзначимо, що послідовність f(n) розбита на парну і непарну частини. Непарна частина і обумовлює появу уявній синусоїдальній компоненти в кінцевому перетворенні.





Рис 3. ДПФ як послідовність обчислень кінцевого перетворення Фур’є ДПФ-парної послідовності
3. Просочування спектральних складових

Вибір кінцевого часового інтервалу тривалістю NT секунд і ортогонального тригонометричного базису (безперервного або дискретного) на цьому інтервалі обумовлює цікаву особливість спектрального розкладання.

Особливість, або сингулярність в математиці - це точка, в якій математичний об'єкт (зазвичай функція) не визначений або має нерегулярну поведінку (наприклад, точка, в якій функція недиференційована).

3 множини можливих частот тільки співпадаючі з частотами базису будуть проектуватися на єдиний базисний вектор, а вся решта частот буде мати ненульові проекції на будь-який з векторів базисної множини. Це явище, яке звичайно називають розмиванням або просочуванням спектральних складових (spectral leakage), виникає через кінцеву тривалість оброблюваних записів. Хоча частота відліків і впливає на ступінь розмивання, сама по собі дискретизація не є його причиною.

Розми́в (рос. размыв, англ. wash-out, erosion; нім. Auswaschen n) - процес відокремлення водою частинок ґрунту та транспортування їх на певну відстань від загального масиву у вигляді гідросумішi.

Щоб інтуїтивно зрозуміти причину розмивання, достатньо помітити, що сигнали з частотами, відмінними від базисних, неперіодичні у вікні спостереження. Якщо природний період сигналу несумірний з тривалістю інтервалу спостереження, періодичне продовження сигналу буде мати розриви на межах інтервалу. Ці розриви дають спектральні внески на всіх базисних частотах (тобто відбувається розмивання). Види виникаючих розривів ілюструє рис. 4.



Рис. 4. На проміжку спостереження періодичне продовження синусоїди неперіодичне
Вікна представляють собою вагові функції, використовувані для зменшення розмивання спектральних компонент, обумовленого кінці вістю інтервалів спостереження. Так, можна вважати, що дія вікна на масив даних (як мультиплікативної вагової функції) полягає у зменшенні порядку розриву на межі періодичного продовження. Цього добиваються, погоджуючи на межі якомога більше число похідних зважених даних. Простіше всього забезпечити таке узгодження зробивши ці похідні рівними або принаймні близькими до нуля.

Узго́дження - тип підрядного зв'язку між головним і залежним словами у словосполученні, коли форма залежного слова відповідає формі головного, тобто узгоджується з ним у роді, числі, відмінку. Наприклад, червона троянда.

Таким чином, поблизу меж інтервалу зважені дані плавно прямують до нуля, так що періодичне продовження сигналу виявляється безперервним аж до похідних вищих порядків.

З другого боку, можна вважати, що вікно мультиплікативно впливає на базисну множину так, щоб сигнал довільної частоти мав значні проекції тільки на ті базисні вектори, частоти яких близькі до частоти сигналу. Обидва підходи ведуть до однакових результатів.



4. Вікна та їх основні властивості.

В гармонійному аналізі вікна використовуються для зменшення небажаних ефектів просочування спектральних складових. Вікна впливають на багато показників гармонійного процесора, у тому числі на можливість виявлення, роздільну здатність, динамічний діапазон, ступінь достовірності і простоту реалізації обчислювальних операцій.

Достовірність (validity, adequacy) - властивість інформації бути правильно сприйнятою, ймовірність відсутності помилок, безсумнівна вірність наведених відомостей, які сприймає людина. Таким чином, достовірність - не те ж саме, що істинність.

Дина́міка (грец. δύναμις - сила) - розділ механіки,в якому вивчаються причини виникнення механічного руху. Динаміка оперує такими поняттями, як маса, сила, імпульс, момент імпульсу, енергія.

Можливість - це дія, що може відбутися або ні (можливо, приїду, а, можливо, і ні). Можливість можна забезпечити чи покладатись на «авось» та якось буде. Альтернатива дає шанс, але не гарантує без відповідних дій забезпечення результату і адекватності та конструктиву діяльності.

Динамічний діапазон (англ. Dynamic range, DR or DNR) - це співвідношення між найбільшим і найменшим можливими значеннями якості, що може бути змінена, такої як в сигналах на кшталт звуку і світла. Він вимірюється як співвідношення або за базою 10 (децибел) або 2 (дублювання, біти чи стопи) логарифмічне значення.

Щоб мати нагоду порівнювати характеристики вікон, необхідно знати, які з їх параметрів є основними. Найпростіше виявити найістотніші параметри, розглянувши, як впливають різні типи вікон на результати гармонійного аналізу.

Найпростіші (лат. Protozoa, від дав.-гр. πρῶτος «перший» і ζῷα, форми множини ζῷον - «жива істота») - парафілетична або поліфілетична група одноклітинних або колоніальних еукаріотів, які мають гетеротрофний тип живлення.

Обмежений по смузі сигнал f(t) з перетворенням Фур’є F(ω) можна описати еквідістантною послідовністю відліків f (nT). Ця послідовність визначає періодично продовжений спектр NТ(ω) як його розкладання в ряд Фур’є.

Для машинної обробки в реальному масштабі часу послідовність даних повинна мати кінцеву тривалість, тому суму нескінченного ряду (3b) можна апроксимувати кінцевою сумою:




В (4а) легко впізнати кінцеве перетворення Фур’є; межі підсумовування тут вибрані задля зручностей, які дає, парна симетрія. Рівняння (4b) - - це кінцеве перетворення Фур’є з опущеною правою точкою, а (4с) — ДПФ, тобто ряд відліків спектру (4b). Бажано, звичайно, щоб при обробці реальних сигналів (для зручності застосування обчислювальних алгоритмів) індекси починалися з нуля.

Абсолют (від лат. absolutus - безумовний, необмежений) - в ідеалістичній філософії і релігійних тлумаченнях - вічна, незмінна нескінченна першооснова Всесвіту (бог, абсолютна ідея тощо). Те, що нічим не зумовлене, ні від чого не залежне.

Алгори́тм (латинізов. Algorithmi за араб. ім'ям узб. математика аль-Хорезмі) - набір інструкцій, які описують порядок дій виконавця, щоб досягти результату розв'язання задачі за скінченну кількість дій; система правил виконання дискретного процесу, яка досягає поставленої мети за скінченний час.

Застосунок, застосовна програма або прикладна програма (англ. application, application software, app) - користувацька комп'ютерна програма, що дає змогу вирішувати конкретні прикладні задачі користувача.

Цього можна добитися, зсовуючи початкову точку на N/2 точок вправо, тобто переходячи від (4с) до (4d). Рівняння (4d) — це пряме ДПФ. Втім, зсув індексу підсумовування на N/2 впливає лише на фазові кути перетворення, тому задля зручностей, обумовлених симетрією, будемо вважати, що всі вікна мають центр в початковій точці. Але потрібно пам'ятати, що ця зручність є основним джерелом неправильного застосування вікон. При обчисленні ДПФ за допомогою вікон зсув на N/2 точок і пов'язаний з ним фазовий зсув часто не враховують або враховують неправильно. Зокрема, це стається в тих випадках, коли множення на вагову функцію вікна в часовій області замінюється поєднанням спектру сигналу із спектром вікна (приклад -  вікно Хеннінга).

Часова́ о́бласть - це аналіз математичних функцій, фізичних сигналів або часових рядів економічних або довкільних[en] даних у відношенні до часу. У часовій області значення сигналу або функції відоме для всіх дійсних чисел у випадку безперервного часу[en], або в різні окремі моменти у випадку дискретного часу[en].

Тепер задамося питанням про те, наскільки точно сума кінцевого ряду (4b) апроксимує суму нескінченного ряду (3b). Фактично це питання торкається більш загального випадку довільного вікна, що впливає на деяку часову функцію (або часовий ряд):



(5)
Подивимося як впливає вікно на наші спектральні оцінки. З рівняння (5) видно, що перетворення Fw(ω) – це перетворення добутку. Згідно даному нижче рівнянню (6), перетворення добутку еквівалентно згортці двох відповідних перетворень

(6)

Рівняння (6) є ключем до розуміння впливу кінцевої довжини послідовності даних на результати їх обробки. Інтерпретувати його можна двояко, але обидві інтерпретації еквівалентні. Легше всього пояснити це на конкретному прикладі. Візьмемо дискретне прямокутне вікно ω(nT)=1,0.

Логічна еквівалентність (еквіваленція) - двомісна логічна операція, що має значення «істина» тоді і тільки тоді, коли обидва операнди мають однакове значення. В інших випадках еквіваленція буде хибною.

Інтерпретатор мови програмування (interpreter) - програма чи технічні засоби, необхідні для виконання інших програм, вид транслятора, який здійснює пооператорну (покомандну, построкову) обробку, перетворення у машинні коди та виконання програми або запиту (на відміну від компілятора, який транслює у машинні коди всю програму без її виконання).

Прямоку́тник - це чотирикутник, усі кути якого прямі. Протилежні сторони прямокутника рівні. Є окремим випадком паралелограма.

Ми знаємо, що W()це ядро Діріхле, що має вигляд:



(7)

Якщо не враховувати член, що характеризує лінійний фазовий зсув (який зміниться через зсув на N/2 точок, необхідного для реалізації обчислювального алгоритму), то один період цього перетворення буде мати форму, показану на рис 5





Рис 5. Ядро Діріхле для послідовності з N точок
Щодо формули (6) можна сказати, що величина Fw) на заданій частоті ω є сумою всіх спектральних гармонік, заздалегідь зважених спектральним вікном, з центром на частоті ωо (рис 6).

Гармо́ніки (рос. гармоники, англ. harmonics, нім. Harmonische f) - фіз. Коливання, частоти яких кратні основній частоті складного коливання. матем. Періодичні функції виду a sin ⁡ ( ω t + ϕ ) .





Рис 6. Графічна Інтерпретація рівняння (6). Вікно представлене у вигляді спектрального фільтра,
А. Еквівалентна шумова смуга.

З рис. 6 видно, що оцінка амплітуди гармонійної компоненти на заданій частоті виявляться зміщеною через наявність широкосмугового шуму, що потрапляє в смугу пропускання вікна.

Ампліту́да (лат. amplitudo - широта) - найбільше значення величини, яка періодично змінюється. Наприклад, амплітудою називається найбільше зміщення маятника від положення рівноваги.

В цьому сенсі вікно поводиться як фільтр, потужність сигналу на виході якого пропорційна потужності гармонік вхідного сигналу в смузі його пропускання. Для виявлення гармонійного сигналу необхідно мінімізувати накопичений шум. Цього можна досягти за допомогою вузько смугового вікна. Зручною мірою ширини смуги пропускання вікна є його еквівалентна шумова смуга (ЕШС). ЕШС вікна - це ширина смуги пропускання прямокутного фільтра з тим же максимальним посиленням його потужності, який накопичує ту ж потужність шуму, що і дане вікно (рис 7).





Рис. 7 Еквівалентна шумова смуга вікна
Накопичена вікном потужність шуму визначається виразом:
Потужність шуму = (8)
Де N0 - потужність шуму в одиничній смузі частот. Згідно теореми Парсеваля, величину (8) можна обчислити таким чином:
Потужність шуму = (9)
Максимальне підсилення по потужності відповідає частоті ; воно називається підсиленням за потужністю на нульовій частоті і визначається виразами:
Максимальне підсилення сигналу =W(0)= (10а)

Максимальне посилення по потужності = W2(0) = (10b)


Таким чином, ЕШС вікна, нормована на величину N0/T- потужність шуму на бін (одиничний часовий інтервал), може бути записана у вигляді:
(11)
Значення ЕШС є різним для різних типів вікон.
В. Підсилення і втрати перетворення

З ЕШС вікна тісно зв'язані поняття підсилення (ПП) і втрат перетворення (ВП) при обчисленні ДПФ за допомогою вікон. ДПФ можна розглядати як результат пропускання сигналу через набір погоджених фільтрів, кожен з яких налаштований на одну з гармонік комплексної синусоїдальної послідовності базисної множини. З цієї точки зору ми і будемо аналізувати підсилення перетворення (зване також когерентним підсиленням) фільтра і втрати перетворення, викликані тим, що вікно згладжує, тобто зводить до нуля, величини відліків, розташованих поблизу його меж.

Аспект (лат. aspectus - вигляд, погляд) - поняття філософії (онтології, теорії пізнання). У філософії аспект розглядається

Хай вхідна послідовність відліків задана виразом:


(12)
Де - послідовність відліків білого шуму з дисперсією . Тоді огинаюча сигналу в спектрі, обчисленому за допомогою вікна (тобто вихід погодженого фільтра), буде рівна:
(13)

З (13) видно, що у відсутність шуму спектральна складова пропорційна вхідній амплітуді А. Таке ж буде і математичне очікування цієї складової за наявності шуму.

Математи́чне сподіва́ння, середнє значення - одна з основних числових характеристик кожної випадкової величини. Воно є узагальненим поняттям середнього значення сукупності чисел на той випадок, коли елементи множини значень цієї сукупності мають різну "вагу", ціну, важливість, пріоритет, що є характерним для значень випадкової змінної.

Коефіцієнт пропорційності рівний сумі всіх відліків дискретного вікна, а ця сума є не що інше, як підсилення вікна для постійного сигналу.

Коефіціє́нт - характеристика процесу, явища, речовини або поля, яка має відносно сталий характер.

Для прямокутного вікна цей коефіцієнт рівний N – числу відліків у вікні. Підсилення будь-якого іншого вікна менше, оскільки вагова функція поблизу меж вікна плавно спадає до нуля. Пов'язане з цим зменшення коефіцієнта пропорційності корисно знати, оскільки воно характеризує помилку (зсув) оцінок амплітуд спектральних складових. В літературі замість ПП іноді використовується інший параметр - когерентне підсилення за потужністю, тобто квадрат когерентного підсилення сигналу.

Когере́нтність - це властивість хвилі зберігати свої частотні, поляризаційні й фазові характеристики.

Некогерентна складова зваженого, тобто виконаного за допомогою вікна перетворення, обчислюється по формулі:
(14а)

а некогерентна потужність (середньоквадратичне значення цієї складової) визначається виразом:


(14b)
де Е{ } — оператор математичного очікування. Помітимо, що некогерентне підсилення за потужністю рівне сумі квадратів відліків вагової функції, а когерентне — квадрату суми цих відліків.

І нарешті, обчислимо ПП, яке визначається як приватне від розподілу відносин сигнал/шум на виході і на вході:


(15)
Зауважимо, що ПП — це величина, зворотна нормованій ЕШС вікна. Таким чином, збільшення ЕШС вікна веде до зменшення ПП. Це цілком зрозуміло, оскільки, чим ширше смуга пропускання, тим більша потужність шуму, що пройшов через вікно, вносячого внесок в спектральну оцінку.
С. Кореляція ділянок, що перекриваються

При використанні швидкого перетворення Фур'є (ШПФ) для обробки довгої послідовності, цю послідовність заздалегідь ділять на декілька послідовностей по N відліків кожна, при цьому N вибирається так, щоб забезпечити необхідну спектральну роздільну здатність. Спектральна роздільна здатність ШПФ визначається формулою (16), де - спектральна роздільна здатність, fsчастота дискретизації, вибрана згідно критерію Найквіста, і β - коефіцієнт, що характеризує збільшення ширини смуги для вибраного вікна.

Частота́ дискретиза́ції (англ. sample rate) - визначає кількість сигналів за секунду (або за іншу одиницю) при перетворенні безперервного сигналу в дискретний сигнал (тобто його дискретизації). Як правило, частота дискретизації вимірюється в герцах (Гц).

Розді́льна зда́тність або роздільність (англ. Resolution) - спроможність розрізняти дрібні деталі.

Відзначимо, що - це якнайкраща роздільна здатність, досяжна при ШПФ. Коефіцієнт β звичайно вибирається рівним ЕШС вікна в бінах:


(16)
Якщо вікно і ШПФ впливають на ділянки послідовності (рис. 8), що не перекриваються, то значна частина даних просто ігнорується, оскільки поблизу меж вікна значення його відліків близькі до нуля. Так, наприклад, якщо перетворення використовується для виявлення коротких вузькополосних сигналів, то при аналізі ділянок, що не перекриваються, поява сигналу може виявитися просто непоміченою. Для цього достатньо, щоб сигнал з'явився поблизу межі будь-якого з інтервалів. Щоб уникнути таких втрат даних, перетворенню звичайно піддають ділянки послідовності, що перекриваються (див. рис. 8). Ступінь перекриття в більшості випадків вибирається рівною 50 або 75%. Розбиття сигналу на ділянки, що перекриваються, звичайно, збільшує загальний об'єм обчислень, проте результати, що досягаються з його допомогою, цілком це виправдовують.



Рис 8, Розбиття послідовностей на інтервали, що перекриваються та не перекриваються.
Важливе питання, що виникає при обробці послідовностей, що перекриваються, торкається ступеня кореляції випадкових компонент сигналу в перетвореннях двох сусідніх ділянок послідовності. При відносно плоскому спектрі шуму в межах смуги пропускання вікна ця кореляція, як функція ступеня перекриття г, визначається формулою (17). На рис. 9 показано, як індекси підсумовування в цій формулі пов'язані із ступенем перекриття інтервалів. Значення коефіцієнта кореляції, визначуваного виразом:
(17)
В спектральному аналізі для зменшення дисперсії вимірювань часто усереднюють квадрати амплітуд перетворень окремих ділянок послідовності. Як відомо, при усереднюванні К незалежних вимірювань випадкової величини дисперсія середнього пов'язана з дисперсією Індивідуальних вимірювань наступним співвідношенням:
(18)
Задамося тепер питанням, наскільки зменшиться дисперсія при усереднюванні корельованих вимірювань, як це має місце при усереднюванні перетворень Фур'є ділянок, що перекриваються?

Випадкова величина (англ. Random variable) - одне з основних понять теорії ймовірностей.

Відповідь на це питання дала Уолш. Результат без доказу для окремих випадків 50- і 75%-ного перекриттів наведено нижче:
(19)
Від’ємні члени в (19) описують краєві ефекти усереднювання; їх можна не ураховувати при К>10. Для хороших вікон член с2(0.25) < 1.0, і його також можна опустити з допустимо малою похибкою. Зауважимо, що для хороших вікон перетворення перекриваються на 50% ділянок сигналу практично незалежні.
D. Паразитна амплітудна модуляція спектру,

Важливим чинником, що впливає на виявлення слабих сигналів, є паразитна амплітудна модуляція спектру (scalloping loss), або ефект ''частоколу" (picket-fence effect}.

Паразитизм - це вид взаємозв'язків між різними видами, за якого один з них (паразит) певний час використовує іншого (хазяїна) як джерело живлення та середовище існування, частково чи повністю покладає на нього регуляцію своїх взаємовідносин з довкіллям.

Раніше ми розглядали виконуване за допомогою вікна ДПФ як результат пропускання сигналу через набір погоджених фільтрів і аналізували обумовлені специфічними властивостями вікна підсилення і втрати для тонів, співпадаючих з базисними векторами. Базисні вектори – це тони, кратні частоті fs/N, де fs – частота відліків. Ці частоти не що інше, як точки відліків спектру, їх звичайно називають точками виходів, частотами гармонік або бінами ДПФ. Задамося тепер питанням, які будуть додаткові втрати при обробці сигналу, частота якого лежить посередині між частотами сусідніх бінів (тобто сигналу з частотою (k 1/2)fs/N)?

Знов звернувшись до формули (13) і замінивши в ній ωк на ωк 1/2 одержуємо, що підсилення вікна для частоти, зсунутої на 0.5 біна, рівна:
(20а)
За визначенням, втрати через паразитну амплітудну модуляцію (AM) спектру рівні відношенню когерентного посилення тону, розташованого посередині між двома бінами ДПФ, до когерентного посилення тону, співпадаючого з одним з бінів ДПФ, тобто
(20b)
Втрати через паразитну AM рівні максимальним втратам при найсприятливішій для ДПФ частоті сигналу.

Озна́чення, ви́значення чи дефіні́ція (від лат. definitio) - роз'яснення чи витлумачення значення (сенсу) терміну чи поняття. Слід зауважити, що означення завжди стосується символів, оскільки тільки символи мають сенс що його покликане роз'яснити означення.


Е. Максимальні втрати перетворення

Тепер зробимо одне цікаве зауваження. Визначимо максимальні втрати перетворення (ВП) як суму максимальних втрат через паразитну AM спектру для даного вікна (в дБ ) і втрат перетворення, обумовлених формою цього вікна. Введений параметр характеризує зменшення співвідношення виходу сигнал/шум в результаті дії вікна при якнайгіршому розташуванні частоти сигналу. Його величина, звичайно, впливає на мінімальну інтенсивність тону при якій він ще може бути знайдений в широкосмуговому шумі. Відзначимо, що рівень максимальних втрат завжди лежить між 3.0 і 4.3 дБ. Вікна, для яких максимальні ВП перевищують 3.8 дБ, абсолютно незадовільні і їх не слід застосовувати. Майже всі вікна (за винятком прямокутного) однаково придатні для виявлення чистих тонів в широкосмуговому шумі. Різниця у втратах біля різних вікон не перевищує 1.0 дБ, а для добрих вікон – 0.7 дБ.


F. Ще раз про просочування складових

Повертаючись до формули (6) і рис. 6 відзначимо, що на точність вимірювання амплітуди спектральної складової впливає, не тільки спектр широкосмугового шуму але і вузько смугові перешкоди, якщо вони потрапляють в смугу пропускання вікна.

Зава́ди, Перешкоди, (рос. помехи, англ. hindrance, disturbance; нім. Hindernis n, Störungen f pl) - у системах автоматичного керування - сигнали або дії, що спотворюють корисний сигнал, який несе основну інформацію у пристроях вимірювання, телевимірювання, зв'язку, САР і САК (САУ).

То́чність вимі́рювань (англ. accuracy of measurement) - головна характеристика якості вимірювання, що відображає близькість результату вимірювання до істинного значення вимірюваної фізичної величини .

Дійсно, деяка спектральна компонента, скажімо, з частотою ω= ω0 буде вносити внесок в спектральну компоненту з частотою ω = ω0, тобто буде спостерігатися на цій частоті.

Компоне́нт (від лат. componens, родовий відмінок componentis - складаючий) - складова частина, елемент чого-небудь.

Цей внесок буде визначатися підсиленням вікна з центром в ω0 на частоті ωа. Це і є ефект, званий просочуванням спектральних складових. Він показаний на рис. 10 для перетворення кінцевого тону частотою ω0.

Просочування приводить до зсуву оцінок амплітуд і положень гармонійних складових сигналу. Навіть для єдиної гармоніки (не співпадаючій з частотою гармоніки ДПФ) просочування від ядра на осі негативних частот впливає на ядро на осі позитивних частот. Це вплив найбільш сильний і неприємний при виявленні слабих сигналів у присутності сильних перешкод близької частоти. Для зменшення неприємних наслідків через спектральне просочування амплітуда 6ічних пелюсток вдалині від головної центральної пелюстки частотної характеристики вікна повинна бути малою, а перехід від центральної пелюстки до низько амплітудних бічних пелюсток – дуже швидким.

Причи́нність, також причи́нно-наслідко́вий зв’язо́к, причи́новість, причи́ново-наслідко́вий зв’язо́к, кауза́льність - (неформально, нестрого розуміючи) зв’язок між подією А («причиною») й іншою подією Б («наслідком»), яка необхідно настає за першою чи витікає з неї.

Центр (давн.-гр. - стрекало, осереддя) - # Середня частина чогось. геом. центр кола (кулі), точка, рівновіддалена від усіх точок кола (поверхні кулі). центр еліпса - точка перетину великої і малої осей його.

Ампліту́дно-часто́тна характери́стика (АЧХ) - графік залежності амплітуди вихідного сигналу передавача від частоти вхідного сигналу сталої амплітуди.

Одним з параметрів, що вказують наскільки добре вікно подавлює просочування, є максимальний рівень бічних пелюсток (по відношенню до головної пелюстки), інший параметр – це асимптотична швидкість спаду бічних пелюсток.
G. Мінімальна допустима смуга частот

Рис.11 характеризує ще один критерій, який повинен використовуватися при виборі оптимальних вікон. Оскільки вікно додає спектральній лінії деяку ефективну ширину, цікаво знати, при якій мінімальній відстані між двома спектральними лініями рівної інтенсивності головні пелюстки цих ліній ще можуть бути розділені незалежно від положення ліній щодо бінів ДПФ.

О́птимум (рос. оптимум, англ. optimum, нім. Optimum n) - сукупність найсприятливіших умов для будь-чого. Найкращий варіант вирішення задачі або шлях досягнення мети за даних умов та ресурсів.

Поло́ження - нормативно-правовий або локально-правовий акт, що визначає основні правила організації та діяльності державних органів, структурних підрозділів органу, а також установ, організацій і підприємств (філій), що їм підпорядковуються, тимчасово створюваних комісій, груп, бюро і т. ін.

Спектральна лінія - світла або темна вузька смуга в оптичному спектрі, пов'язана з надлишком або відсутністю фотонів з відповідною частотою.

Класичний критерій такого розділу – ширина вікна між точками, в яких потужність головної пелюстки спадає наполовину (ширина вікна по рівню 3.

Класика (з лат. classicus - зразковий) - явище перевірене часом, висока якість якого є загальновизнаною.

0 дБ). Цей критерій відображає той факт, що дві головні пелюстки рівної інтенсивності, віддалені один від одного по частоті менш ніж на ширину вікна по рівню 3.0 дБ, будуть мати один загальний спектральний пік і не будуть розділятися як дві окремі лінії.





Рис. 11. Спектральний дозвіл двох близько розташованих ядер.

Проте трудність використовування цього критерію в тому, що він несумісний з когерентним підсумовуванням, використовуваним в ДПФ. Точки ДПФ виходів виходять шляхом когерентного складання спектральних компонент, зважених вікном з центром на даній частоті.

Якщо в когерентне підсумовування вносять внесок двоє ядер, їх сума в точці перетину (номінально посередині між ними) повинна бути менше ніж індивідуальні найвищі точки, якщо ці найвищі точки розділені.

Індивідуальність (лат. individuitas - неподільність) - сукупність своєрідних особливостей і певних властивостей людини, які характеризують її неповторність і виявляються у рисах характеру, у специфіці інтересів, якостей, що відрізняють одну людину від іншої.

Таким чином, в точках перетину ядер посилення від кожного ядра повинне перевищувати 0.5, тобто відстань між піками повинна перевищувати ширину вікна по рівню 6.0 дБ. Слід, проте, пам'ятати, що роздільна здатність ДПФ визначається шириною використовуваного вікна по рівню 6.0 дБ.

Вікна, для яких цей показник лежить в межах 4.0—5.5%, потрапляють в лівий нижній кут діаграми на рис. 12, що характеризує якість їх роботи.





Рис 12. Порівняння вікон по рівню бічних пелюсток і максимальних втрат при перетворення.
Точки, відповідні кращим вікнам, лежать в лівому нижньому кутку діаграми. Такі вікна мають низький рівень бічних пелюсток і низькі максимальні втрати перетворення. Проте рис.12 не дає повної інформації про порівняльну ефективність вікон стосовно задачі гармонійного аналізу.


Скачати 182.87 Kb.

  • 1. Загальні поняття про гармонійну обробку 2. Гармонійний аналіз кінцевих масивів даних і ДПФ 3. Просочування спектральних складових
  • 4. Вікна та їх основні параметри - еквівалентна шумова смуга - підсилення і втрати перетворення - кореляція ділянок, що перекриваються
  • - паразитна амплітудна модуляція
  • 2. Гармонійний аналіз кінцевих масивів даних і ДПФ
  • 3. Просочування спектральних складових
  • 4. Вікна та їх основні властивості.
  • Інтерпретувати
  • А. Еквівалентна шумова смуга.
  • В. Підсилення і втрати перетворення
  • С. Кореляція ділянок, що перекриваються
  • D. Паразитна
  • Е. Максимальні втрати перетворення
  • F. Ще раз про просочування складових
  • G. Мінімальна допустима смуга частот