Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Вимушені коливання. Резонанс

Скачати 103.59 Kb.

Вимушені коливання. Резонанс




Скачати 103.59 Kb.
Дата конвертації08.05.2017
Розмір103.59 Kb.

Вимушені коливання. Резонанс


1.Види коливань 2

2.Вимушені коливання. 3

4

2.1. Диференціальне рівняння вимушених коливань та його розв’язок 4



3.

Диференціа́льні рівня́ння - рівняння, що встановлює залежність між незалежними змінними, числами (параметрами), невідомими функціями та їх похідними. Невідома функція може бути як скалярною, так і векторною.

Резонанс 6

3.1.Резонансна амплітуда і резонансна частота. Резонансні криві. 6

3.2. Параметричний резонанс 9

Список літератури 12




  1. Види коливань


Власними (вільними) називаються коливання, які виникають в ізольованій системі внаслідок зовнішнього збудження, що спричинює початкові відхилення точок системи від положення рівноваги або початкові швидкості,тривають потім

завдяки внутрішнім пружним силам, які відновлюють рівновагу. Власні коливання є згасаючими.

Вимушеними називають коливання пружної системи, які відбуваються при дії на

систему (протягом усього періоду коливань) заданих зовнішніх сил, що періодично змінюються і діють неперервно незалежно від коливань у системі.

Перíод колива́нь - проміжок часу між двома послідовними максимальними відхиленнями фізичної системи від положення рівноваги.

Вимушені

коливання є незгасаючими.

Автоколиваннями, або самоколиваннями, пружної системи називають незгасаючі коливання, що підтримуються такими зовнішніми силами, характер дій яких визначається самими коливальними процесами механічної системи.

Автоколивання виникають у системі без зовнішньої періодичної дії. Це коливання, які підтримуються внутрішніми джерелами енергії системи.(Сиротюк & Баштовий, 2010)

Наприклад, настінний годинник з маятником або наручний механічний годинник.

У годинниках потенціальна енергія тягарця(або стиснутої пружини) поступово, окремими порціями передається маятнику і компенсує втрати на тертя.

Механічний годинник - годинник, для роботи якого використовується маятник, гирьове або пружинне джерело енергії. Як коливальна система використовується маятниковий або балансовий регулятор.

Потенціа́льна ене́ргія - частина енергії фізичної системи, що виникає завдяки взаємодії між тілами, які складають систему, та із зовнішніми щодо цієї системи тілами, й зумовлена розташуванням тіл у просторі.

На початку 30-х років минулого сторіччя весь авіаційних світ був шокований рядом авіа катастроф, які відбулися на швидкостях, що для того часу раніше були недосяжними.

Досить швидко з'ясувалося, що руйнування відбуваються через вібрацію,яка виникає від дії повітряного потоку.(Рис. 1.1 ) Цей особливий вид автоколивань було названо флатером (англ. flutter = вібрація).

Явище флатера пов'язано із взаємним розташуванням центру ваги і центру жорсткості крила та іншими характеристиками літака.

Саме флатер довгий час перешкоджав подоланню надзвукового бар'єру — сильна вібрація, перевантаження і страх змушували льотчиків-дослідників відступати.

Значний вклад в розв'язання задачі автоколивань авіаційних конструкцій вніс радянський вчений Мстислав Всеволодович Келдиш (академік АН СРСР).

Авіа́ція (фр. aviation - від лат. avis - птах) - галузь техніки, пов'язана з польотами в атмосфері апаратів важчих за повітря.

Мстисла́в Все́володович Ке́лдиш (рос. Мстислав Всеволодович Келдыш; *28 січня (10 лютого) 1911(19110210), Рига - †24 червня 1978, Москва) - радянський математик та механік, головний теоретик космонавтики, організатор науки.

У наш час флатер в значній мірі досліджено і відомо, як його уникнути. Але раніше він був причиною багатьох аварій літаків, руйнування підвісних мостів і таке ін.

Рис. 1.1






  1. Вимушені коливання.

Коливання реальних коливальних систем через наявність сил тертя або опору є згасаючими. Однак у техніці бувають випадки, коли потрібні незгасаючі коливання . Наприклад, у годинниках, у коливальних контурах генераторів (передавачів).

Колива́льний ко́нтур або коливний контур - електричне коло, складене з резистора, конденсатора та котушки індуктивності, в якому можливі коливання напруги й струму. Коливальні контури широко застосовуються в радіотехніці та електроніці, зокрема в генераторах електричних коливань, в частотних фільтрах.

Щоб у реальній коливальній системі одержати незатухаючі коливання, треба компенсувати цій системі втрати енергії. Таку компенсацію можна здійснити за допомогою якого-небудь періодично діючого фактора X(t), який змінюється за гармонічним законом:

Тому використовуються вимушені коливання - коливання під дією періодичної сили, яка поповнює втрати енергії, що йдуть на подолання опору.

Для механічних коливань пружинного маятника роль X(t) відіграє зовнішня вимушуючи сила
(1)
З урахуванням цієї сили закон руху пружинного маятника запишеться у вигляді


    1. Диференціальне рівняння вимушених коливань та його розв’язок

(Сусь, 2007)

Якщо скористатися позначеннями , , то прийдемо до рівняння
(2)
Рівняння (2) є неоднорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку.

Пружинний маятник - це тіло масою m, закріплене на пружині, жорсткість якої k і яке коливається під дією сили пружності.

Механі́чні колива́ння - це фізичний процес у механіці, під час якого чергуються інтервали збільшення і зменшення фізичної величини.

Розв’язок такого рівняння складається з двох частин, загального розв’язку відповідного рівняння без правої сторони і часткового розв’язку цього рівняння з правою стороною, тобто

де A0 ─ амплітуда зміщення в початковий момент часу (t=0);

Момент часу - точка на часовій осі. Про події, що відповідають одному моменту часу, говорять як про одночасні.

А ─ амплітуда коливань, яка установиться через деякий час.

Ампліту́да (лат. amplitudo - широта) - найбільше значення величини, яка періодично змінюється. Наприклад, амплітудою називається найбільше зміщення маятника від положення рівноваги.

Через деякий час t1, завдяки дії вимушеної сили F0, амплітуда коливань досягне максимального значення (Рис. 2.1 ). З цього моменту часу розв’язком рівняння (2) буде лише функція


(3)

Рис. 2.1


Відповідні похідні від (3) підставимо в рівняння (2), одержимо

(4)

У виразі (4) сталі величини А і ω повинні мати такі значення, щоб гармонічна функція дорівнювала сумі трьох гармонічних функцій, які стоять в лівій частині рівняння. Для виконання цієї умови, необхідно щоб сума трьох векторів при відповідних косинусах в лівій частині (4) дорівнювала вектору, який стоїть біля косинуса в правій частині. Однак вектори і напрямлені по одній лінії, але в різні боки. Вектор напрямлений перпендикулярно до перших двох. Зазначена вище умова може бути реалізована за допомогою векторної діаграми (Рис. 2.1 ).

Векторна діаграма дає можливість визначити амплітуду і початкову фазу вимушених коливань. З діаграми видно, що


. (5)


Рис. 2.1
Звідки амплітуда вимушених коливань буде дорівнювати
(6)

Початкова фаза вимушених коливань, дорівнює



(7)
З урахуванням співвідношень (6) і (7) розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань (2) матиме вигляд
(8)

  1. Резонанс




    1. Резонансна амплітуда і резонансна частота. Резонансні криві.


Розглянемо залежність амплітуди А вимушених коливань від частоти ω. Механічні й електромагнітні коливання будемо розглядати одночасно, називаючи коливну величину або зміщенням (х) коливного тіла від положення рівноваги.

З формули (3.6) випливає, що амплітуда А зміщення має максимум. Щоб визначити резонансну частоту — частоту, при якій амплітуда А зміщення досягає максимуму, — потрібно дослідити на максимум функцію . Диференціюємо підкореневий вираз цієї функції по ω і прирівнюємо його до нуля:
,


Ця рівність виконується при двох умовах і фізичний зміст яких має лише позитивне значення. Отже, резонансна частота буде дорівнювати
(15)
Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти вимушеної сили до , називається резонансом (відповідно механічним або електричним). У випадку коли значення практично збігається з власною частотою коливної системи. Підставляючи (15) у формулу (6), одержимо
(16)
На рис. 3 наведені залежності амплітуди вимушених коливань від частоти при різних значеннях β. З виразів (15) і (16) випливає, що чим менше β, тим вище і правіше лежить максимум даної кривої. Якщо , то всі криві (Рис. 3.1 ) сходяться в одній точці, яка відповідає, відмінному від нуля граничному значенню амплітуди так званому статичному відхиленню.

Рис. 3.1

У випадку електромагнітних коливань . Якщо то всі криві мають асимптотичне наближення до нуля. Показані на Рис. 3.1 криві називаються резонансними кривими.

З формули (16) випливає, що при малому затуханні резонансна амплітуда зміщення буде мати вигляд . (17)


Поділимо значення резонансної амплітуди (17) на статичне значення амплітуди , одержимо добротність коливальної системи
(18)
де ─ логарифмічний декремент затухання. Як видно з (18), добротність коливальної системи характеризує її резонансні властивості. Чим більше число добротності, тим більша резонансна амплітуда.

Рис. 3.1


Залежність φ від ω при різних коефіцієнтах β графічно показана на рис. 4, з якого випливає, що при зміні ω змінюється і зсув фаз φ. З формули (7) видно, що при ω = 0, φ = 0, а при незалежно від значення коефіцієнта затухання β, φ = π/2, тобто сила випереджає по фазі коливання на π/2. При подальшому збільшенні ω зсув фаз зростає і при , , тобто фаза коливань майже протилежна до фази зовнішньої сили. Сімейство кривих, зображених на

Рис. 3.1 , називається фазовими резонансними характеристиками.(Инушас & Малинко, 1987)

    1. Параметричний резонанс

Зупинимось коротко на явищі параметричного резонансу. Виявляється, що існують інші види зовнішніх взаємодій, з допомогою яких можна значно збільшити амплітуду коливань. Цей вид взаємодій полягає в тому, що в такт коливань періодично змінюють один із параметрів коливальної системи. Так наприклад збільшують довжину математичного маятника l, коли він перебуває в крайніх положеннях і дещо зменшують її, коли маятник проходить положення рівноваги, від цього маятник почне сильно розгойдуватись, амплітуда коливань буде швидко зростати, тобто наступить явище параметричного резонансу.

Збільшення енергії маятника відбувається за рахунок виконання механічної роботи по зміні довжини маятника. Сила тяжіння маятника в цьому випадку є різною, ─ меншою в крайніх положеннях і більшою при проходженні маятником положення рівноваги.

Математи́чний ма́ятник - теоретична модель маятника, в якій матеріальна точка масою m підвішена на невагомій нерозтяжній і продовгуватій нитці при цьому здійснюючи рух в вертикальній площині під впливом сил тяжіння з прискоренням вільного падіння g.

Гравіта́ція або тяжіння - властивість тіл із масою притягуватись одне до одного. Гравітаційна взаємодія найслабша із фундаментальних взаємодій, однак її характерною особливістю є те, що тіла, які мають масу, завжди притягаються одне до одного.

Від’ємна робота, яку виконують зовнішні сили по збільшенню довжини маятника є меншою за додатну роботу по зменшенню довжини маятника в положенні рівноваги.

Зо́внішні си́ли - сили взаємодії між розглядуваним елементом конструкції та пов'язаними з ним тілами. Зовнішні сили можуть бути класифіковані за декількома ознаками.

За час одного повного коливання (період коливань) сумарна робота по зміні довжини маятника є більшою за нуль.

Прикладом параметричного резонансу є коливання гойдалки (Рис. 3.2 ). Без будь-яких зовнішніх впливів дитина, перебуваючи на гойдалці, сама здатна збільшувати амплітуду коливань. Потрібно лише в крайніх положеннях присідати, а в положенні рівноваги ─ підніматись. В цьому випадку коливальна система поповнюється енергією за рахунок мускульної сили ніг.



егэ по физике. . задание а6

Рис. 3.2

Явища резонансу можуть бути як шкідливими, так і корисними. Наприклад, при конструюванні машин і різного роду споруд необхідно, щоб їх власна частота коливань не збігалася з частотою можливих зовнішніх впливів, інакше можуть виникнути вібрації, які приведуть до значних руйнувань. З іншого боку, наявність резонансу дозволяє знайти навіть дуже слабкі коливання, якщо їх частота збігається з частотою власних коливань приладу. Шкідливі прояви резонансу доводиться долати підчас обробки металів різанням. За певних режимів різання на металорізальних верстатах збуджуються коливання інструменту й оброблюваної деталі, що є шкідливим для верстатів, і для оброблюваних виробів. Якщо не усунути причину виникнення цих коливань, то погіршується якість обробки деталей, точність виготовлення виробів, швидше зношується верстат тощо.

У будівельній справі також багато уваги приділяють запобіганню виникнення резонансу.

То́чність ви́готовлення - ступінь наближення дійсних значень геометричних і інших параметрів деталей і виробів до їх заданих значень, вказаних в кресленнях або технічних умовах.

Металорізальний верстат - машина для розмірної обробки заготовок в основному шляхом зняття стружки. Крім металевих заготовок зі сталі та чавуну на верстатах обробляють також деталі з кольорових сплавів, пластмас й інших матеріалів.

Будівництво - галузь матеріального виробництва, в якій створюються основні фонди виробничого і невиробничого призначення: готові до експлуатації будівлі, будівельні конструкції, споруди, їх комплекси.

Будівлі, в яких встановлені швидкохідні машини, двигуни й верстати, фундаменти й перекриття їх, повинні бути споруджені так, щоб виключити можливість збудження коливань із частотою, яка дорівнює або близька до частоти коливань машини.

Надзвичайно важливим є запобігання виникнення резонансу під час конструювання й експлуатації всіх видів сучасного транспорту. Так,. наприклад, власна частота коливань корпусу теплохода чи крил літака має суттєво відрізнятися від частоти коливань, які можуть бути збуджені обертанням колеса турбіни, гребного гвинта чи пропелера.

Крило́ літака́ - тримальна поверхня, несиметрично обтічний профіль для створення аеродинамічної підйомної сили перпендикулярно до вектора руху літального апарату, що забезпечує політ літака. Крило бере участь у забезпеченні поперечної стійкості й керованості літака.

Гребни́й гвинт - судновий рушій, який складається з двох або більше лопатей, розташованих радіально на маточині.

Відомі випадки, коли доводилося перебудовувати гігантські океанські лайнери лише тому, що частота власних коливань корпусу корабля збігалася з частотою змін змушуючої сили, що виникала під час роботи двигунів.(Геденштейн & Ненашев, 2010)

Існують два основні методи запобігання резонансу:



а) забезпечення такого режиму роботи системи, в якому частота змушуючої сили і власна частота коливань системи істотно відрізняються за значенням. Скажімо, швидкість обертання сучасних парових турбін значно перевищує так звану критичну швидкість, яка відповідає резонансу;

Лайнер, тж. океанський лайнер (англ. Liner від англ. line - лінія, маршрут) - судно, як правило, пасажирське, яке використовується для здійснення рейсів за заздалегідь оголошеним розкладом по певному маршруту, транспортній лінії.

Парова турбіна – паровий двигун безперервної дії, що перетворює теплову енергію водяної пари в механічну роботу обертання ротора. Парова турбіна використовує не потенційну енергію, а кінетичну енергію пари.

б) збільшення затухання коливань системи. Для цього збільшують тертя в системі, застосовують спеціальні загасники коливань, або демпфери.

Явище резонансу має і корисне застосування, коли необхідно дістати в системі якомога більші коливання (у музичних інструментах, гучномовцях тощо).

Музи́чний інструме́нт - інструмент, призначений для виконання музики. В принципі будь-який інструмент, що здатний відтворювати звуки за певних умов і в певних музичних традиціях може бути використаним, як музичний.

Людське вухо сприймає звуки внаслідок резонансу коливань у вушній раковині.

Вушна раковина - зовнішня частина слухового аналізатора ссавців і людини, утворена еластичним хрящем, покритим шкірою.

Особливо широкого явище резонансу використовується в радіотехніці для підсилення коливань. Резонанс дає можливість відокремити сигнали даної радіостанції від сигналів інших одночасно працюючих радіостанцій.

Так, телебачення (Рис. 3.2 ), радіотехніка,(Рис. 3.2 ) прикладна акустика, що сприймають електричні коливання, засновані на використанні явища резонансу.



aqpfwvmi.jpegtelevision_16.gif


Рис. 3.2

Рис. 3.2

Список літератури


В., С. И. (1978). Курс общей физики, т.1. Наука.

Геденштейн, Л. Е., & Ненашев, Ю. І. (2010). Фізика 10. Гімназія.

Инушас, К. К., & Малинко, В. Н. (1987). Курс физики, т. 2, ч. 1. Киев: КВВИУС.

Савельев, И. В. (1973). Курс общей физики, т.1. Наука.



Сиротюк, В. Д., & Баштовий, В. І. (2010). Фізика 10. Харків: Сиция.

Сусь, Б. А. (2007). Курс лекцій для самостійної роботи студентів. Київ: ВІТІ НТУУ "КПІ".


Скачати 103.59 Kb.

  • Види коливань
  • Вимушені коливання.
  • Резонанс
  • Параметричний резонанс
  • Список літератури