Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Вища математика

Скачати 95.29 Kb.

Вища математика




Скачати 95.29 Kb.
Дата конвертації28.04.2017
Розмір95.29 Kb.

Вища математика

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Комплексні числа не є числами в елементарному значенні цього слова, що застосовуються при підрахунках і вимірюваннях, а є математичними об'єктами, які визначаються поданими нижче властивостями.

Комплексне число позначається символом а bі, де а і b - дійсні числа, які називаються відповідно дійсною i уявною частинами комплексного числа а bі, а символ і, визначений умовою і2 = –1, називається уявною одиницею.

Звичайно комплексне число а bі позначають однією буквою (найчастіше z): z = а bі.

Дійсну і уявну частини комплексного числа z = а bі позначають Re z і Im z відповідно:

а = Re z, b = Iт z.

Комплексні числа і вважаються рівними, якщо рівні їхні дійсні й уявні частини . Комплексне число z = а bі вважається рівним нулю, якщо його дійсна і уявна частини дорівнюють нулю (а = b = 0). Комплексне число z = а bі при b = 0 вважається таким, що збігається з дійсним числом а (а 0і = а),а при а = 0 вважається суто уявним і позначається bi (0 bі = bі).

Дійсні числа - елементи числової системи, яка містить у собі раціональні числа і, в свою чергу, є підмножиною комплексних чисел. Математична абстракція, яка виникла з потреб вимірювання геометричних і фізичних величин навколишнього світу, а також виконання таких математичних операцій як добування кореня, обчислення логарифмів, розв'язування алгебраїчних рівнянь.



Сумою комплексних чисел і є комплексне число ζ, дійсна частина якого дорівнює сумі дійсних частин, а уявна частина - сумі уявних частин, тобто

.

Про число z кажуть, що його дістали внаслідок додавання комплексних чисел z1, і z2, і записують .

Числа z1, і z2 звуть доданками.

Властивості операції додавання комплексних чисел:

1) асоціативність: ;

2) комутативність: .

Комплексне число називається протилежним комплексному числу . Комплексне число, протилежне комплексному числу z, позначається . Сума комплексних чисел z і дорівнює нулю .



Різниця комплексних чисел і є комплексне число z, що є сумою числа z1 і числа протилежного z2

,

тобто комплексним числом, дійсна і уявна частини якого дорівнюють відповідно різниці дійсних і уявних частин зменшуваного і від'ємника. Про число z кажуть, що його дістали внаслідок віднімання комплексного числа z2 від комплексного числа z1, і записують .



Добутком комплексних чисел і є комплексне число:

.

Про число z кажуть, що його дістали внаслідок множення комплексного числа z1 на комплексне число z2, і записують



.

Числа z1 і z2 називають співмножниками.



Властивості операції множення комплексних чисел:

1) асоціативність: ;

2) комутативність: .

Часткою двох комплексних чисел z1 і z2 є таке комплексне число z, що . Частку комплексних чисел і обчислюють за формулою

.

Про число z кажуть, що його дістали внаслідок ділення комплексного числа z1 на комплексне число z2, і записують



.

Додавання і множення комплексних чисел зв'язані правилом, яке називається законом дистрибутивності множення відносно додавання:

Число називається модулем комплексного числа .

Модуль комплексного числа позначають |z|. Модулі двох будь-яких комплексних чисел z1 і z2 (для частки вважається, що ) задовольняють співвідношення:



, ,

, , .

Комплексне число а – bi називається комплексно спряженим з числом z = а і позначають .

2. Геометричне зображення комплексного числа. Подібно до того, як дійсні числа можна зображати точками числової прямої, комплексні числа можна зображати точками площини. Можливість такого зображення грунтується на ототожненні множини комплексних чисел а множини пар дійсних чисел (а,b), які в прямокутній системі координат Оxу можна трактувати як координати точок площини.

Далі, з кожною точкою А координатної площини Оху можна зв'язати вектор , який виходить з початку координат і закінчується y точці А.

Система координат - спосіб задання точок простору за допомогою чисел. Кількість чисел, необхідних для однозначного визначення будь-якої точки простору, визначає його вимірність. Обов'язковим елементом системи координат є початок координат - точка, від якої ведеться відлік відстаней.
Початок координат - точка, де осі системи координат перетинаються. Початок координат поділяє кожну вісь системи на дві половини: позитивну та від'ємну.

Тому комплексні числа допускають те одну геометричну інтерпретацію: кожне комплексне число а можна геометричне інтерпретувати як вектор з координатами (а;b) (рис.80). Координати вектора при цьому будуть такими ж, як і координати точки А, а саме (а;b).


Рис. 80
3. Тригонометрична форма запису комплексного числа. Крім алгебраїчної форми запису комплексного числа застосовують також іншу, яка називається тригонометричною. Нехай комплексне число зображується вектором з координатами (а;b) (рис. 80). Позначимо довжину вектора буквою r:



,

а кут, який він утворює з додатним напрямом осі Ох, - через (кут вважається виміряним у радіанах) (рис.81).

Скориставшись означеннями функцій і :

, ,

комплексне число z = а bі можна записати у вигляді



, (106)

де , а кут φ позначається з умов



, . (107)

Рис. 81
Вираз (106) має назву тригонометрична форма запису комплексного числа. Дійсне число r є модулем комплексного числа і позначається |z|, а кут , виміряний в радіанах, - його аргументом і позначається Argz.

Якщо комплексне число не дорівнює нулю, то модуль його додатний; якщо ж z = 0, тобто а = b = 0, то й модуль його дорівнює нулю. Модуль будь-якого комплексного числа визначено однозначно.

Якщо комплексне число не дорівнює нулю, то його аргумент визначається формулами (107) з точністю до кута, кратного 2. Якщо z = 0, то r = 0 і аргумент комплексного числа, що дорівнює нулю, не визначено.

Звичайно для того, щоб уникнути неоднозначності, яка виникає при обчисленні аргументу комплексного числа, використовують поняття головного значення аргументу комплексного числа (позначення argz), вважаючи, що . Аргумент комплексного числа відповідає співвідношенню: , (Z – множина цілих чисел).

Нехай z1 і z2 - два комплексні числа, що відмінні від нуля, записано в тригонометричній формі:



, .
Тригономе́трія (від грец. τρίγονο - трикутник та μετρειν - вимірюю, тобто буквально вимірювання трикутників) - розділ елементарної математики, що лежить на перетині алгебри та геометрії і вивчає співвідношення між сторонами й кутами трикутників, дозволяючи проводити кутові обчислення через спеціально визначені функції кутів.


Добутком двох комплексних чисел z1 і z2 є комплексне число, модуль якого дорівнює добутку модулів співмножників, а аргумент - сумі аргументів співмножників:

.

Вектор, що зображує добуток комплексних чисел z1 і z2, дістаємо поворотом вектора проти годинникової стрілки на кут, що дорівнює , i розтягом його в |z2| раз (для випадку |z2| > 1 див.

Годинник (арх.: дзиґа́р, дзиґарі́) - пристрій для вимірювання часу.
рис.82).



Частка двох комплексних чисел z1 і z2, що не дорівнюють нулю, є комплексне число, модуль якого дорівнює частці модулів діленого і дільника, а аргумент – різниці аргументів діленого і дільника:

.

Рис. 82 Рис. 83


Вектор, що зображує частку двох комплексних чисел z1 і z2, дістаємо поворотом вектора, який зображує комплексне число z1, за годинниковою стрілкою на кут, що дорівнює , і стиском його в |z2| раз (для випадку |z1| > 1 див.
На різних етапах розвитку цивілізації людство використовувало сонячні, зоряні, водяні, вогневі, пісочні, колісні, механічні, електричні, електронні й атомні годинники.
рис. 83).

4. Натуральний степінь комплексного числа. n - м степенем комплексного числа z називається комплексне число w, знайдене внаслідок множення числа z самого на себе n раз: .

Звичайно використовують коротший запис: , в якому число z є основою степеня, а натуральне число ппоказником степеня.

Натура́льні чи́сла - числа, що виникають природним чином при лічбі. Це числа: 1, 2, 3, 4, … Множину натуральних чисел прийнято позначати знаком N . .}


п -й степінь комплексного числа z, заданого в тригонометричній формі обчислюється за формулою Муавра:

.

5. Корінь п -го степеня з комплексного числа. Коренем п -го степеня з комплексного числа z називається таке комплексне число w, n -й степінь якого дорівнює z:



.

Корінь n -го степеня з комплексного числа z позначається символом . На відміну від кореня з дійсного числа, корінь n - го степеня з комплексного числа визначається неоднозначнo. Саме в множині комплексних чисел існує рівно n коренів n -го степеня з даного комплексного числа.

Ко́мпле́ксні чи́сла - розширення поля дійсних чисел, зазвичай позначається C } . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума x + i y , де x і y - дійсні числа, i - уявна одиниця.

Усі корені n -го степеня з комплексного числа z, заданого в тригонометричній формі, обчислюються за формулою

де .

Геометрично всі корені п -го степеня з комплексного числа зображуються точками, що лежать на колі з центром в початку координат, радіус якого дорівнює , а центральні кути між радіусами, проведеними у сусідні точки, дорівнює .

Приклад. Обчислити корені четвертого степеня з числа –1.

Розв'язання. Число –1 у тригонометричній формі можна записати так:

.

Корені четвертого степеня з числа –1 - це комплексні числа



,

де , тобто комплексні числа (рис.84):


Рис. 84
;



;

;

.

Аналогічно у множині комплексних чисел можна обчислити корінь п-го степеня з будь-якого дійсного числа. При цьому хоча б один корінь з додатного дійсного числа буде дійсним.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ


  1. Курош А.Г. Курс высшей алгебри. - М.: Физматгиз, 1959. -432 с.

  2. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. - М.: Физматгиз, 1961. - 300 с.

  3. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Физматгиз, 1963. - 748 с.

  4. Цубербиллер О.М. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. - М.: Физматгиз, 1966. - 336 с.

  5. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. Для ВТУЗОВ - М.: "Наука", 1973. - 720 с.

  6. Берман Γ.Η. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: "Наука", 1985. - 384 с.

  7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. t.i, ч.2: Учебное пособие для втузов. - М.: Наука, 1985. - 430 С.,560 с.

  8. Ципкін О.Г. Довідник з математики для середніх навчальних закладів.
    Сере́дня загальноосві́тня шко́ла - загальноосвітня школа, в якій учні здобувають середню освіту.
    - Київ: "Вища школа", 1988. - 414 с.

  9. Російсько-український словник. – Київ: "Радянська школа", 1979. - 1012 с.

  10. Російсько-український математичний словник. - Харків: "Основа", 1990. -156 с.

ЗМІСТ


Передмова .......................................……………………………..

Лінійна алгебра ...................................…………………………..

Розділ 1. Дійсні числа ........................……………………….

Розділ 2. Визначники ..........................………………………

Розділ 3. Матриці та операції над ними ........……………...

Розділ 4. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь і методи їх розв'язання ...............…………………………...

Векторна алгебра .................................…………..……………...

Розділ 1. Вектори. Основні поняття ...........…………...……

Розділ 2. Координати вектора ..................…………………..

Розділ 3. Добутки векторів ....................…………………….

Розділ 4. Правила дій над векторами, заданими

координатами ................………………………….

Аналітична геометрія на площині ..................…………………

Розділ 1. Метод координат .....................……………………

Розділ 2. Лінії першого і другого порядку на площині ..….

Розділ 3. Полярна система координат ……………………...

Диференціа́льні рівня́ння - рівняння, що встановлює залежність між незалежними змінними, числами (параметрами), невідомими функціями та їх похідними. Невідома функція може бути як скалярною, так і векторною.
Полярна система координат - двовимірна система координат, в якій кожна точка на площині визначається двома числами - кутом та відстанню. Полярна система координат особливо корисна у випадках, коли відношення між точками найпростіше зобразити у вигляді відстаней та кутів; в більш поширеній, Декартовій, або прямокутній системі координат, такі відношення можна встановити лише шляхом застосування тригонометричних рівнянь.

Аналітична геометрія у просторі ..................…………………..

Розділ 1. Площина .............................……………………….

Розділ 2. Пряма лінія у просторі ..............………………….

Диференціальне числення ..........................…………………….

Розділ 1. Змінна. функція .....................…………………...

Розділ 2. Границя функції. Неперервність функцій ......…..

Розділ 3. Похідна і диференціал .........……………………...

Розділ 4. Основні теореми диференціального числення .....

Границя функції в точці - фундаментальне поняття математичного аналізу, зокрема аналізу функцій дійсної змінної, число, до якого прямує значення функції, якщо її аргумент прямує до заданої точки. Строге математичне означення границі функції дається мовою δ-ε.
Пряма́ - одне з основних понять геометрії. При систематичному викладі геометрії пряма лінія зазвичай приймається за одне з вихідних понять, яке лише опосередковано визначається аксіомами геометрії. Якщо основою побудови геометрії служить поняття відстані між двома точками простору, то пряму лінію можна визначити як лінію, шлях уздовж якої дорівнює відстані між двома точками.
Математи́чний ана́ліз - фундаментальний розділ математики, що веде свій відлік від XVII століття, коли було строго сформульовано теорію нескінченно малих. Сучасний математичний аналіз включає в себе також теорію функцій, теорії границь і рядів, диференційне та інтегральне числення, диференціальні рівняння та диференціальну геометрію.

Розділ 5. Дослідження функції……………………………...

Розділ 6. функції кількох змінних .......…………………….

Інтегральне числення .......................……………………………

Розділ 1. Первісна. Невизначений інтеграл………………...

Розділ 2. Визначений інтеграл ...........

Інтеграл - центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі.
………………………

Диференціальні рівняння ....................………………………….

Ряди ..........................……………………………………………..

Комплексні числа………………………………………………..

Список літератури……………………………………………….


3

4

4



5

9
16

23

23

26



30
32

36

36



38

51

54



54

62

68



68

79

96



107

111


119

134


134

150


168

180


188

195





  • С.О. Станішевський, 1996, 2002

Навчальне видання



Станішевський Степан Олександрович

Вища математика


Навчальний посібник

Редактор: М.З. Аляб'єв


План 2002, поз.64



Підп. до друку 11.07.2002

Папір офісний.

Тираж 200 прим.

Замовл. №



Формат 60х84 1/16

Обсяг 12,5 вид.–друк. арк.

Друк на ризографі.

Ціна договірна



61002, ХДАМГ, Харків, вул. Революції, 12

Сектор оперативної поліграфії ІОЦ ХДАМГ

61002, ХДАМГ, Харків, вул. Революції, 12


_____________________________________________________________




Скачати 95.29 Kb.

  • Границя функції