Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Вісник Київського університету імені Тараса Шевченка

Скачати 108.49 Kb.

Вісник Київського університету імені Тараса Шевченка




Скачати 108.49 Kb.
Сторінка1/2
Дата конвертації02.05.2017
Розмір108.49 Kb.
  1   2

____Вісник Київського університету імені_Тараса Шевченка_____
УДК 515.164.174

Е.В.Кулініч, О.О.Пришляк

Київський Університет ім. Тараса Шевченка

Email: prish@mechmat.univ.kiev.ua
Функції на поверхнях, критичні рівні яких -

вкладені графи та кола.
Критика - розгляд якогось явища, предмета, особи; його аналіз та оцінка згідно з існуючими нормами, масштабами, цінностями.[Джерело?] Аналіз і оцінка когось чи чогось із метою виявлення та усунення вад, хиб.

Отримано умови необхідні та достатні, щоб заданий набір графів та кіл був критичними рівнями гладкої функції. Побудовано інваріант таких функцій, який відрізняє їх на топологічну спряженість. Досліджено умови реалізації цього інваріанту.

Нехай F - замкнена поверхня. В даній роботі розглядаються функції на поверхні, для яких прообраз кожного критичного значення є вкладений граф в об’єднанні з колами і всі критичні точки є вершинами графів.

Тополо́гія (грец. τόπος - місце, logos - наука) - розділ математики, який наближений до геометрії. У той час як алгебра починається з розглядання операцій, геометрія - фігур, а математичний аналіз - функцій; найфундаментальніше поняття топології - неперервність.
Гла́дка функція або неперервно-диференційовна функція - це функція, що має неперервну похідну на всій області визначення.
Крити́чна то́чка - точка на фазовій діаграмі в координатах (p, T), в якій лінія співіснування фаз обривається.
Позначимо множину таких функцій через W. Ці функції є узагальненням функцій Морса, для яких графи мають валентність 4 або є точками (локальні мінімуми і максимуми), а також функцій з одним, крім мінімума та максимума, критичним рівнем, що є вкладений граф [ 1 ]. Топологічна еквівалентність функцій Морса розглядалась в роботах [ 2, 3 ].


1. Існування.
Логічна еквівалентність (еквіваленція) - двомісна логічна операція, що має значення «істина» тоді і тільки тоді, коли обидва операнди мають однакове значення. В інших випадках еквіваленція буде хибною.
Узага́льнення - основний елемент логіки та міркувань людини. Узагальнення бере за основу існування множини елементів та однієї або декількох властивостей, спільних для цих елементів. Це є основою дедуктивних міркувань.
Існування Існува́ння (від екзистенція) - центральне поняття екзистенціалізму, унікальна особистісна сутність людини, що втілює в собі духовну, психоемоційну неповторність особи.
Під вкладеним графом будемо розуміти такий 1-вимірний комплекс, у якого кожне ребро вкладене в поверхню і якщо два ребра перетинаються, то точками їх перетину є спільні вершини графу і всі перетини трансверсальні.

Нехай кожне Gi (і=1,...,n) є об’єднанням вкладених графів та кіл. Дослідимо питання: яким умовам повинен задовольняти набір Gі, щоб існувала така функція f W, що Gі є, в точності, прообрази критичних значень функції f.

Нехай y1,...,yn- критичні значення функції f і Gi=f-1(yi). Позначимо через Fi=f-1((yi,yi 1)).

Покажемо, що валентність графу парна у кожній вершині. Дійсно, валентність вершини, дорівнює кількості секторів, на які ребра, що виходять з цієї вершини розбивають окіл вершини.

Кількість - в Арістотелівській логіці друга з 10 категорій (класів, розрядів, які спрощують процес розумового визначення будь-якої речі), побічна обставина матеріальних речей , за допомогою якої вони поширюються в просторі, вимірюються якоюсь математичною нормою і здатні бути поділеними на окремі частини.
Назвемо сектор верхнім, якщо значення функції в будь-якій його внутрішній точці більше за значення в вершині, і нижнім в іншому випадку. Оскільки до кожного ребра графа граничить як верхній, так і нижній сектор, то числа верхніх і нижніх секторів однакове, а, отже, їх загальне число, як і валентість вершини, парне.

Оскільки прообразом будь-якого регулярного значення є об’єднання кіл, то кожне Fi гомеомрфно об’єднанню кіл помножених на інтервал, тобто циліндрів. Отже виконуються необхідні умови теореми:

Теорема 1. Нехай Gi (і=1,...,n) - набір графів, вкладених в гладку замкнуту поверхню F. Цей набір буде критичними рівнями функції f тоді і тільки тоді, коли він розбиває поверхню на відкриті циліндри, які розбиті на n-1 множин Fi так, що кожне ребро графа Gi міститься в границі як Fi-1, так і Fi.

Доведення. Доведемо достатність. Припустимо що умови теореми виконані. З того, що ребра в кожній вершині перетинаються трансверсально і того, що валентність кожної вершини парна випливає, що в околі Uk цієї вершини можна так задати систему координат (побудувати гомеоморфізм околу на площину), що ребра графа в перетині з цим околом будуть критичним рівнем функції Re zk.

Гомеоморфі́зм (грец. ομοιο - схожий, грец. μορφη - форма) - в топології, це взаємно-однозначне і неперервне відображення. Простори, зв'язані гомеоморфізмом, топологічно невідмінні.
Система координат Система координат - спосіб задання точок простору за допомогою чисел. Кількість чисел, необхідних для однозначного визначення будь-якої точки простору, визначає його вимірність. Обов'язковим елементом системи координат є початок координат - точка, від якої ведеться відлік відстаней.
Причому функція буде зростати від критичної точки на Gi в область Fi і спадати в Fi-1. Будемо припускати, що замикання побудованих околів Uj не перетинаються (інакше зменшимо ці околи). В кожному околі Uj виберемо іншій окіл Vj, замикання якого лежить в Uj. Нехай : F[0;1] - гладка функція, рівна 1 в кожному Vk і 0 на доповнені до Uj. Для кожного околу Uj вершин графа Gi позначимо gi=i Re zk. Нехай g: FR - така функція, що


21 Е.В.Кулініч,О.О.Пришляк,1998

Якщо і: Fi(0;1) - натуральні проекції циліндрів, то іх можна склеїти до відображення р всієї поверхні, поклавши



Тоді шукана функція fW задається формулою



f=(1-)p g.
  1   2


Скачати 108.49 Kb.

  • Функції на поверхнях, критичні