Первая страница
Наша команда
Контакты
О нас

    Головна сторінка



Задача Міжконтинентальна балістична ракета

Задача Міжконтинентальна балістична ракета




Дата конвертації04.05.2017
Розмір67.7 Kb.
ТипЗадача

11 клас
Задача 1. Міжконтинентальна балістична ракета «Агні – 5», виходячи на розрахункову траєкторію руху на висоті 20 км має швидкість 5.
Міжконтинента́льна балісти́чна раке́та (МБР) - стратегічна керована балістична ракета, з дальністю польоту (радіусом дії) понад 5 500 км.
7 км/с, напрямлену під кутом 45о до горизонту. Нехтуючи опором повітря на таких висотах знайдіть максимальну висоту підйому ракети над рівнем моря. Радіус Землі вважайте рівним 6374 км. Прискорення вільного падіння на рівні моря 9.
Прискорення вільного падіння (позначення g) - прискорення, яке отримує тіло, рухаючись під впливом сили тяжіння планети. Воно однакове для всіх тіл, залежить від географічної широти місцезнаходження тіла, його відстані від центра планети та інших факторів.
81 м/с2.
Розв’язок.

Прискорення вільного падіння вздовж «траєкторії руху» не можна вважати сталим, тобто на висотах понад 100 км зміною прискорення вільного падіння g не можна нехтувати.

ред.№ Вільне падіння - рух фізичного тіла в умовах, коли на нього діє лише гравітаційна сила. Попри слово падіння в назві, під дією сили тяжіння тіло не обов'язково повинно рухатися вниз. До прикладів вільного падіння належать рух тіла, підкинутого вертикально вгору або під кутом до горизонту, обертання Землі навколо Сонця тощо.
Відомо що , де – маса тіла, яке притягує; R- радіус кулі, якою є це тіло (формула (1) є вірною лише для матеріальних точок, кулі та сфери. При цьому розподіл мас в кулі повинен бути сферично-симетричним.

При з (1) отримуєм: . (2)

З (1), (2): , звідки (3)

Запишемо закон руху міжконтинентальної балістичної ракети:

(4),

де х – висота над рівнем моря.

В (4) враховано, що при підйомі вгору.

Так як , то (4) запишемо як , звідки .

Інтегруючи, маємо ;

C (5),

де С – стала інтегрування, значення якої знайдемо з початкових умов, вважаючи, що х можна також відраховувати від точки виходу МБР на розрахункову траєкторію, тобто висота цієї точки над рівнем моря (20 км) є такою, що , тому можна в (5) покласти, що при , де – модуль швидкості МБР в момент її виходу на орбіту, а кут нахилу до горизонту.

Задача Коші - одна з основних задач теорії диференціальних рівнянь - полягає в пошуку розв'язку (інтеграла) диференціального рівняння, що задовольняє початковим умовам (початковим даним).
Отже, , (6)

(6) →(5): ;

(7)
При , тому з (7) для цього моменту маємо: .

,

звідки - від точки виходу на орбіту (8)

Згадавши, що ми поклали для висоти , остаточно отримуємо:

(від рівня моря) (9)


Відповідь: . Задачу підготував Шевчук О.Г.

Задача 2. Два компресори адіабатично стискують двохатомний газ. Спочатку працює один компресор, стискуючи газ від об’єму V0 до проміжного об’єму V1. Потім стиснутий газ охолоджується до початкової температури, після чого в роботу вступає другий компресор, який стискує газ до об’єму V2. При якому об’ємі V1 повна робота обох компресорів мінімальна і чому вона дорівнює? Об’єми V0 і V2 вважати заданими, початковий тиск газу p0. Робота якого компресора при оптимальному значенні V1 більша?



Рис.1

V0

V1

V2

p0

p

1

2

3

4
Розв’язок.

Нехай під час роботи першого компресора об’єм газу прийняв значення V10 (рис.1). Тоді з рівняння Пуассона тиск в газі

(1), а робота по стискуванню газу зі стану 1 в стан 2

(2)

Після охолодження до початкової температури робота по стискуванню на ділянці 3-4 вираховується аналогічно:

(3).

Рівняння Пуассона - неоднорідне еліптичне рівняння в часткових похідних другого порядку, загального виду
Очевидно повна робота обох компресорів

(4). Для знаходження екстремуму знайдемо похідну:

(5), і в екстремальній точці вона дорівнюватиме нулю:

(6). Після спрощення

(7). Таким чином максимальна робота буде при умові

(8). Підставивши в рівняння (4), отримуємо:

(9) . При цьому робота першого компресора

(10) , а другого
(11) .

0

τ

T

t

V0

V

Рис.2

Рис.1

R

r

V

C

Задача 3. На вхід схеми, вказаній на рис.1, подаються прямокутні імпульси з напругоюU0 і тривалістю кожного імпульсу τ. Період повторювальності імпульсів T. Вважаючи, що на протязі одного періоду напруга на конденсаторі змінюється дуже мало, визначити напругу, яка встановиться на конденсаторі.


Розв’язок.

R

C

Рис.4

Ір

Рис.3

R

r

V

C

І

І1

У відповідності до графіку залежності напруги, яка поступає на вхід схеми, від часу за інтервал τ на конденсатор поступить заряд (рис.3)

(1) . Причому, якщо на початку дії імпульсу заряд на конденсаторі був q (де q>>Δqз), то враховуючи паралельне включення конденсатора та резистора R, напругу на конденсаторі можна визначити з рівняння

(2) . Крім того, за другим правилом Кірхгофа

(3) . З рівнянь (1)-(3)

(4). За проміжок часу Т-τ відбуватиметься розряд конденсатора (рис.4). Якщо прийняти до уваги, що зменшення заряду на конденсаторі Δqр<

(5) , при цьому напруга на конденсаторі та опорі однакова:

(6) . З рівнянь (5)-(6)

(7) . В стаціонарному режимі

(8) . Тому з рівнянь (4) та (7)

(9) , звідки

(10) . Тоді напруга, яка встановиться на конденсаторі, матиме значення

(11) .

Задача 4. Мильна кулька, яка сполучається з атмосферою, має заряд q. Визначити радіус кульки, якщо коефіцієнт поверхневого натягу мильного розчину α.

Коефіціє́нт поверхне́вого на́тягу - кількісна характеристика поверхневого натягу рідини.


Е

R

Рис.1

Розв’язок.

Мильна кулька зберігає сталий розмір при умові, що тиск, зумовлений кривизною поверхні кульки, (Лапласів тиск) врівноважується тиском електричного поля кульки (рис.1). Мильна плівка має дві поверхні. Крім того, товщина її набагато менша від радіусу кульки. Тому поверхневий тиск мильної бульбашки радіуса R, який направлений в середину бульбашки, дорівнює

(1). Заряд бульбашки у відсутності поблизу інших заряджених тіл, буде рівномірно розподілений по її поверхні. При цьому поверхнева густина заряду σ однакова у всіх точках поверхні кульки

(2). Виділимо на поверхні малий елемент з площею поверхні ΔS і знайдемо силу, яка діє на цей елемент поверхні.

Ми́льна плі́вка (рос. мыльная пленка, англ. soap film) - термін вживається для П/В/П плівок (П/В/П означає повітря/вода/повітря, тобто це плівка води, з обох сторін оточена повітрям), стабілізованих поверхнево-активними речовинами, незважаючи на те, що ця оболонка не складається з мила, та й поверхнево-активна речовина, що стабілізує, не обов'язково є милом.
Густина́ заря́ду - характеристика неперервного розподілу електричного заряду в просторі, яка визначається, як заряд, що припадає на одиницю об'єму.
Пло́ща пове́рхні - площа заданої поверхні. Грубо кажучи, є числовою характеристикою «кількості» поверхні. Вимірюється в квадратних одиницях довжини.
Біля поверхні кульки напруженість поля дорівнюєЕ1



Е1

Рис.2

ΔS
(3). За принципом суперпозицій це поле можна розглядати, як векторну суму полів, створюваних виділеним елементом поверхні кульки ΔS і всією рештою частиною кульки. Оскільки виділений елемент малий, то його можна вважати плоским і тому напруженість поля, яке існує по обидві сторони елемента Е1 матиме значення

(4) . В середині бульбашки напруженість електричного поля дорівнює нулю.

Напру́женість електри́чного по́ля - це векторна фізична величина, яка виражає відношення сили, яка діє у даній точці простору у даний момент часу, на пробний одиничний електричний заряд у електричному полі.
Значить, в середині бульбашки поблизу елементу ΔS та частина поля цього елемента, яка направлена всередину, компенсується полем, створеним рештою бульбашки. Це означає, що в місці розташування виділеного елемента ΔS решта всієї бульбашки створює поле з напруженістю Е2, направленою назовні, причому величина напруженості Е2 також визначається рівнянням (4). Зовні це поле з напруженістю Е2 має однаковий напрямок з полем, створеним елементом ΔS, і, складаючись з ним, дає повне поле, напруженість якого вдвічі більша і визначається співвідношенням (3). Сила, яка діє на елемент ΔS з боку решти поля, дорівнюватиме

(5). Звідси тиск електричного поля на поверхню кульки, буде

(6) . Розміри бульбашки визначаються з рівності тиску з боку електричного поля, тиску за рахунок кривизни поверхні бульбашки:

(7) . Тому, з рівнянь (7) та (1)

(8). Тоді радіус кульки матиме значення

(9).

Задача 5. Точкове джерело світла знаходиться на відстані L від екрану. Збиральну лінзу з фокусною відстанню F>(L/4), паралельну екрану, переміщують між джерелом і екраном.

Джере́ла сві́тла - природні тіла або технічні пристрої різної конструкції і різними способами перетворення енергії, основним призначенням яких є отримання світлового випромінювання з різною довжиною хвилі, - як видимої частини спектру, так і невидимі для людського ока промені (наприклад, інфрачервоні).
Фо́кусна ві́дстань (фокальна відстань) - характеристика оптичної системи, у першому наближенні - відстань від центра оптичної системи до її головного фокуса.
Опти́чна лі́нза (нім. Linse, від лат. Lens - сочевиця) - найпростіший оптичний елемент, виготовлений із прозорого матеріалу, обмежений двома заломлюючими поверхнями, які мають спільну вісь, або взаємно перпендикулярні площини симетрії.
При якому положенні лінзи діаметр плями, яка буде спостерігатись на екрані, буде мінімальним?

Розв’язок.c:\users\iren\desktop\сканирование0001.tif

Нехай лінза рухається в сторону так, що відстань між нею і екраном не змінюється. Тоді залишаються незмінними і розміри плями на екрані, адже пучок променів за лінзою має вигляд конуса з вершиною в дійсному або уявному зображенні джерела і твірними, що проходять через периметр лінзи. Так як точки перетину площин лінзи і екрана з висотою конуса при такому зсуві не змінюються, то (з подібності) не змінюється і розмір плями.

Тому ми можемо зсунути лінзу так, щоб джерело знаходилось на її головній оптичній осі. Нехай – відстань від джерела до лінзи. Тоді при умові F>(L/4) отримати чітке зображення джерела (точку) на екрані неможливо – при любому положенні лінзи на екрані буде видно пляму, діаметр якої залежить від і найменший при . Насправді, зображення джерела потрапляє на екран, якщо , або ,

Але це рівняння не має розв’язків – його дискримінант



за умовою менше нуля.

Якщо , то пучок променів за лінзою розходиться, і пляма тим більша, чим далі лінза від екрану. При маємо для всіх можливих і в цьому випадку мінімально при , тобто коли лінза встановлена впритул до екрану. Якщо ж , то очевидно, що (пучок повинен сходитись). В цьому випадку зображення джерела знаходиться за екраном на відстані від лінзи, так що



, тобто .

З міркувань подібності отримуємо (див. малюнок) , звідки .

Цей вираз має мінімальне значенні при , і .

Таким чином, розмір плями мінімальний, при , якщо , при , якщо .





  • Прискорення вільного падіння
  • Розв’язок. R C Рис.4 І р Рис.3 R r
  • Рис.1 Розв’язок.